2018-2019学年山东省淄博市部分学校高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省淄博市部分学校高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年山东省淄博市部分学校高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1．已知集合 A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|2x2﹣x＞0}，则 A∩B＝（ ） A．（0， ） B．（0，2） C．（ ，2） D．（﹣∞，0）∪（ ，2） 【答案】C 【解析】求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解： , ， ． 故选： ． 【点睛】 本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了 计算能力，属于基础题． 2．设命题 p：∀x＜0，x3＜1，则￢P 为（ ） A．∃x0＜0，x03≥1 B．∀x＜0，x3≥1 C．∀x≥0，x3＜1 D．∃x0≥0，x03＜1 【答案】A 【解析】根据全称命题的否定为特称命题可以判断. 【详解】 解：由全称命题的否定为特称命题， 故选： 【点睛】 本题考查全称命题的否定形式，属于基础题． 3．在等差数列{an}中，a4+a8＝0，a3+a6＝9，则公差 d＝（ ） 1 2 1 2 1 2 A B { }2| log 1A x x= < { }2| 2 0B x x x= − > { | 0 2}A x x∴ = < < 1| 0 2B x x x = < >  或 ∴ 1 1| 2 ,22 2A B x x   = < < =       C 3: 0, 1p x x∀ < < 3 0 0: 0, 1p x x∴¬ ∃ < ≥ A A． B． C．3 D．﹣3 【答案】D 【解析】等差数列 中， ， ，利用通项公式可得： ， ，解出即可得出． 【详解】 解：由题意知等差数列 中， ， ， ， 解得： ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．已知 a＞b．则下列关系正确的是（ ） A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D． 【答案】A 【解析】取特殊值即可判断出 的正误，由函数 在 上单调递增，可知 的 正误． 【详解】 解：当 ， 都为负数时， ， 都错误． 取 ， 时， 错误． 由函数 在 上单调递增，可知 正确． 故选： ． 【点睛】 本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 5．已知双曲线 C： 的一条渐近线的斜率为 ，焦距为 10，则 双曲线 C 的方程为（ ） 9 2 9 2 − { }na 4 8 0a a+ = 3 6 9a a+ = 12 10 0a d+ = 12 7 9a d+ = { }na 4 8 0a a+ = 3 6 9a a+ = 1 1 2 10 0 2 7 9 a d a d + =∴ + = 1 15 3 a d =  = − D 1 1 a b ＜ BCD 3y x= R A a b B C 2a = 1b = − D 3y x= R A A 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 4 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到 双曲线方程． 【详解】 焦距为 10， ， 曲线的焦点坐标为 ， 双曲线 C： 的一条渐近线的斜率为 ， ， ，解得 ， ， 所求的双曲线方程为： ． 故选：D． 【点睛】 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 6．已知数列{an}是公比大于 1 的等比数列，若 a2a4＝16，a1+a5＝17，则 a1+a2+…+a8＝ （ ） A．34 B．255 C．240 D．511 【答案】B 【解析】根据题意，设数列 的公比为 ，由等比数列的性质可得 ，结合 ，计算可得 ， ，进而求出 的值，由等比数列的前 项公式 分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，设数列 的公比为 ， 若 ，则有 ， 又由 ，且 ， 解可得： ， ，则 ，则 ； 则 ； 2 2 132 18 x y− = 2 2 13 4 x y− = 2 2 19 16 x y− = 2 2 116 9 x y− =  5c = ∴ ( )5,0±  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 4 3 4 b a ∴ = 2 225 a b= + 4a = 3b = 2 2 116 9 x y− = { }na q 1 5 16a a = 1 5 17a a+ = 5 16a = 1 1a = q n { }na q 2 4 16a a = 1 5 16a a = 1 5 17a a+ = 5 1a a> 5 16a = 1 1a = 4 5 1 16aq a = = 2q = ( )8 8 8 1 1 2 1 1 2(1 ) 2551 1 2 a qa a a q × −−+ +…+ = = =− − 故选： ． 【点睛】 本题考查等比数列的前 项和公式的应用，关键是求出数列的公比，属于基础题． 7．“0＜m＜2”是“方程 表示的曲线为双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】求出方程 表示的曲线为双曲线的充要条件，结合充分条件和必要 条件的定义判断即可． 【详解】 解：方程 表示的曲线为双曲线， 则 ， 解得 ， 故“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的充要条件， 故选： ． 【点睛】 本题考查了充要条件的判断，考查了双曲线的定义，主要考查推理能力和计算能力，属 于基础题． 8．在底面是正方形的四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝1，AA1＝2，∠A1AD＝∠A1AB ，则| |＝（ ） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】 ，将两边取模，并平方可求得． 【详解】 解：因为 ， 所以 ， B n 2 2 12 x y m m + =− 2 2 12 x y m m + =− 2 2 12 x y m m + =− ( 2) 0m m − < 0 2m< < 0 2m< < 2 2 12 x y m m + =− C 3 π= 1AC 2 3 10 1 1AC AB AD AA= + +    1 1AC AB AD AA= + +    2 2 2 2 2 1 1 1 1 1| | | | | | | | | | 2 2 2AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA= + + = + + + + +                2 2 21 1 2 2 1 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos2 3 3 π π π= + + + × × × + × × × + × × × 1 1 4 2 2 10= + + + + = 所以 故选： ． 【点睛】 本题考查了利用空间向量求线段长度的知识点，属于基础题． 9．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，若点 P 满足 ， 则点 P 到直线 AB 的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过 作 平面 于点 ，过 作 于点 ，连接 ， 则 即为所求， 【详解】 解：如图，过 作 平面 于点 ，过 作 于点 ， 连接 ，则 即为所求， 因为满足 ， 所以 ， ， ， 所以 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题． 10．已知数列{an}满足 a1＝2，a2＝5，an an+1 ，则 a100﹣a99＝（ ） A．398 B．399 C．3100 D．3101 【答案】B 【解析】利用数列的递推关系式，推出 ，利用等比数列的通项公 式求解即可． 【详解】 1| | 10AC = D 1 3 1 1 5 3 4AP AB AD AA= + +    25 144 5 12 13 20 105 15 P PM ⊥ ABCD M M NM AB⊥ N PN PN P PM ⊥ ABCD M M NM AB⊥ N PN PN 1 3 1 1 5 3 4AP AB AD AA= + +    3 5AN = 1 3MN = 1 4MP = 2 2 5 12PN MN MP= + = B 4 3 = 2 1 3 na +− 2 1 13( )n n n na a a a+ + +− = − 解：数列 满足 ， ， ， 可得 ， 所以数列 是等比数列，所以 ， 所以 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查数列的递推公式，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 11．点 在椭圆 上， 的右焦点为 ，点 在圆 上，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要求 的最小值，根据椭圆的定义可以转化为 （其中 为椭 圆的左焦点），即求 的最小值，即为圆心与 的距离减去半径，进而 解决问题。 【详解】 解：设椭圆的左焦点为 则 故要求 的最小值， 即求 的最小值， 圆 的半径 为 2 所以 的最小值等于 ， 的最小值为 ，故选 D。 【点睛】 { }na 1 2a = 2 5a = 1 2 4 1 3 3n n na a a+ += − 2 1 13( )n n n na a a a+ + +− = − 1{ }n na a+ − 1 1 2 1( ) 3 3n n n na a a a − + − = − × = 99 100 99 3a a− = B P 2 2 1 : 14 3 x yC + = 1C F Q 2 2 2 : 6 8 21 0C x y x y+ + − + = PQ PF− 4 2 4− 4 4 2− 6 2 5− 2 5 6− | | | |PQ PF− | | | | | | ( | | ) | | | |1 1PQ PF PQ 2a PF PQ PF 2a− = − − = + − 1F | | | |1PQ PF+ 1F 1F | | | | | | ( | | ) | | | |1 1PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4− = − − = + − | | | |PQ PF− | | | |1PQ PF+ 2C r | | | |1PQ PF+ ( )2 2 2 1C F 2 1 3 4 2 2 5 2− = − + + − = − | | | |1PQ PF+ 2 5 6− 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需 要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少 （单）个动点”问题，从而解决问题。 12．设双曲线 M： 1（a＞0，b＞0）的上顶点为 A，直线 y 与 M 交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线交于点 D 若 D 到点（0， 2 ）的距离不超过 8 7a，则 M 的离心率的取值范围是（ ） A．[ 1，+∞） B．[ 1，+∞） C．（1， 1] D．（1， 1] 【答案】D 【解析】求出双曲线的渐近线方程，令 ，求得 ， 的坐标，由双曲线的对称性 知 在 轴上，设 ，则 ，利用 到直线 的距离不超过 ，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论 【详解】 解：记 ，由题意可得 ， ， ， ， 由双曲线的对称性可知 点在 轴上，设 ， 则 ， 则 ， ， ， ， 即 ， 解得 ， ， ， ， 故选： ． 【点睛】 2 2 2 2 y x a b − = 2 2a b= + 2 2a b+ 2 2a b+ − 7 + 7 − 7 + 7 − x c= B C D x (0, )D t 2 2 1 0 0 c t c a b b a a − −× = − − − − D BC 2 28 7a b a+ − 2 2c a b= + 2 (bB a )c 2 ( bC a − )c D y (0, )D t 2 2 1 0 0 c t c a b b a a − −× = − − − − 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c a c at c ca c a a + −= − = −− 2 2 2 2 ( ) ( )2 [ ] 8 7 8 7c a c ac c a b a c aa + −∴ − − + − = − ∴ 2 2 ( ) ( ) 7( )c a c a c aa + − − 2 2 22 7c ac a a∴ + +  2 2 6 0e e+ −  1 7 1 7e− − − +  1e > (1e∴ ∈ 7 1]− D 本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜 率之积为 ，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题 13．抛物线 的焦点坐标为______． 【答案】 【解析】直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标． 【详解】 抛物线 的焦点坐标 ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 14．已知直线 3（a＞0，b＞0）过点（2，3），则 3a+2b 的最小值是_____． 【答案】8． 【解析】根据直线过点 ，求出 ， 的关系．利用“乘 1 法”与基本不等式的性质 即可得出． 【详解】 解：由题意可得， ， ， ， 则 ， 当且仅当 即 时取等号． 此时 取得最小值 8． 故答案为：8． 【点睛】 本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题． 15．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M，N 分别为 AD，C1D1 的中点，O 为侧面 BCC1B1 的中心，则异面直线 MN 与 OD1 所成角的余弦值为_____． 【答案】 【解析】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标 系，利用向量法能求出异面直线 与 所成角的余弦值． 1− 2 4 3x y= ( )0, 3 2 4 3x y= ( )0 3， ( )0 3， x y a b + = (2,3) a b 2 3 3a b + = 0a > 0b > 1 2 3 1 4 9 1 4 93 2 (3 2 )( ) (12 ) (12 2 ) 83 3 3 b a b aa b a b a b a b a b + = + + = + + + = 4 9b a a b = 2 3b a= 3 2a b+ 1 6 D DA x DC y 1DD z MN 1OD 【详解】 解： 如图以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 令 ，则 ， ， ， ， ， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 ． 异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．在数列{an}中，若函数 f（x）＝sin2x+2 cos2x 的最大值是 a1，且 an＝ （an+1﹣an﹣2）n﹣2n2，则 an＝_____． 【答案】an＝2n2+n 【解析】 ，可得 ．由已知条件推出 ，然后求解数列的通项公式． 【详解】 解： ， 当 ， ， 取得最大值 3， ． ， D DA x DC y 1DD z 2AB = ( )1 0,0,2D ( )2,1,1O ( )1,0,0M ( )0,1,2N ∴ ( )1,1,2MN = − ( )1 2,1, 1OD = − − MN 1OD θ 1 1 1cos 6 MN OD MN OD θ = =       ∴ MN 1OD 1 6 1 6 2 ( ) sin 2 2 2 cos2 3sin(2 )f x x x x ϕ= + = + 1 3a = 1 21 n na a n n + − =+ ( ) sin 2 2 2 cos2 3sin(2 )f x x x x ϕ= + = + 2 2 2x k πϕ π+ = + k Z∈ ( )f x 1 3a∴ = 2 1( 2) 2n n na a a n n+= − − − ， ， 是以 为首项， 为公差的等差数列， ， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题． 三、解答题 17．在公差不为零的等差数列{an}中，a6＝17，且 a3，a11，a43 成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令 ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 【答案】（1）an＝3n﹣1（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为 ，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质， 解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）求得 ，由裂项 相消求和化简计算即可得到所求和． 【详解】 解：（1）设数列 的首项为 ，公差为 ． 因为 ， 所以 ， 解得 ， 所以 ； 2 1 ( 1) 2 2n nna n a n n+∴ = + + + 1 21 n na a n n + − =+ na n  ∴   1 31 a = 2 ( )3 2 1na nn ∴ = + − 2[3 2( 1)] 2na n n n n∴ = + − = + 22n n+ 2 1 2n n n b a a = + − 3 1 n n + d 2 1 1 1 1 1 1( )2 ( 1)( 2) (3 2)(3 1) 3 3 2 3 1n n n n n b a a a a n n n n = = = = −+ − − + − + − + { }na 1a ( )d d ≠ 0 6 2 11 3 43 17a a a a =  = 1 2 1 1 1 5 17 ( 10 ) ( 2 )( 42 ) a d a d a d a d + =  + = + + 1 2 3 a d =  = 2 3( 1) 3 1na n n= + − = − （2） ， 所以 ． 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求 和，以及化简运算能力，属于中档题． 18．已知等比数列{an}的各项均为数，且 3a1+2a2＝27，81a22＝a3a5． （1）求{an}的通项公式； （2）设 bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，cn ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）联立解方程组，求出首项和公比，代入即可； （2）求出 ，代入求出 ，利用错位相减法求出数列 的前 项和 ． 【详解】 解：（1）设等比数列的首项为 ，公比为 ，由题意得 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ； （2）因为 ，所以 ， ， 所以 ， ， 两式相减得， ， 2 1 1 2 ( 1)( 2)n n n n n b a a a a = =+ − − + 1 1 1 1( )(3 2)(3 1) 3 3 2 3 1n n n n = = −− + − + 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]3 1 4 4 7 3 2 3 1nS n n = × − + − +…+ −− + 1 1(1 )3 3 1 3 1 n n n = − =+ + 2 n na b n = 3n na = ( ) 12 1 3 3 4 n n nT ++ −= nb nc { }nc n nT 1a q 1 1 2 2 2 6 1 1 3 2 27 81 a a q a q a q + =  = 0q > 1 3 3 a q =  = 3n na = 3log na n= 3 1 3 2 3 ( 1)log log log 1 2 2n n n nb a a a n += + +…+ = + +…+ = ( 1)3n nc n= + 1 22 3 3 3 ( 1)3n nT n= + +…+ +  2 3 13 2 3 3 3 ( 1)3n nT n += + +…+ +  2 3 12 6 (3 3 3 ) ( 1)3n n nT n +− = + + +…+ − + 1 1 13 9 3 2 16 ( 1)3 32 2 2 n n nnn + + +− += + − + = −  故 ． 【点睛】 考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和，属于中档题． 19．已知动圆 C 过定点 F（2，0），且与直线 x=-2 相切，圆心 C 的轨迹为 E， （1）求圆心 C 的轨迹 E 的方程； （2）若直线 l 交 E 与 P，Q 两点，且线段 PQ 的中心点坐标（1，1），求|PQ|． 【答案】（1）y2=8x（2） 【解析】根据题意，动圆的圆心 C 到定点 F 距离等于圆心 C 到直线 的距离，可 判断圆心 C 的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得 E 的轨迹方程。 设出直线斜率，及 P、Q 的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程， 联立抛物线方程，利用弦长公式即可求出 。 【详解】 解：（1）由题设知，点 C 到点 F 的距离等于它到直线 x=-2 的距离， 所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点 x=-2 为基准线的抛物线， 所以所求 E 的轨迹方程为 y2=8x． （2）由题意已知，直线 l 的斜率显然存在， 设直线 l 的斜率为 k， 则有 ， 两式作差得 即得 ， 因为线段 PQ 的中点的坐标为（1，1），所以 k=4， 则直线 l 的方程为 y-1=4（x-1），即 y=4x-3， 与 y2=8x 联立得 16x2-32x+9=0， 得 ， ． 【点睛】 在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用 直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率， 1(2 1)3 3 4 n n nT ++ −= 119 2 2x = − PQ 1 1P x y（ ， ）， 2 2Q x y（ ， ）， 2 2 1 1 2 28 8y x y x= =， 2 2 1 2 1 28y y x x- = -（ ） 1 2 8k y y = + 1 2 1 2 92 16x x x x，+ = = 2 2 1 2 1 2 9 1191 ( ) 4 17 4 4 16 2PQ k x x x x= + ⋅ + − = × − × = 然后利用中点求出直线方程。将直线 代入曲线方程，化为关于 （或关于 ） 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。 20．在如图所示的几何体中，四边形 CDEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形， ， ， ， 平面 ABCD． 求 BE 与平面 EAC 所成角的正弦值； 线段 BE 上是否存在点 M，使平面 平面 DFM？若存在，求 的值；若 不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 求出平面 EAC 的法向量，利用向量法能求出 BE 与平面 EAC 所成角的正弦值． 设线段 BE 上存在点 b， ， ， ，使平面 平面 DFM，求出平面 DMF 的法向量和平面 EAC 的法向量，利用向量法求出线段 BE 上不存 在点 M，使平面 平面 DFM． 【详解】 四边形 CDEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形， ， ， 平面 ABCD． 以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴， CF 为 z 轴，建立空间直角坐标系， y kx b= + x y / /AB CD 2 2AB BC CD= = DC FB⊥ CF ⊥ ( )1 ( )2 EAC ⊥ BM BE 2 3 ( )1 ( )2 ( ,M a )c BM BEλ=  0 1λ≤ ≤ EAC ⊥ EAC ⊥ ( )1  / /AB CD DC FB⊥ CF ⊥ ∴ 设 ，则 1， ， 0， ， 1， ， 0， ， 0， ， ， 1， ， 0， ， 设平面 EAC 的法向量 y， ， 则 ，取 ， 得 ， 设 BE 与平面 EAC 所成角为 ， 则 ． 与平面 EAC 所成角的正弦值为 ． 线段 BE 上不存在点 M，使平面 平面 DFM． 理由如下： 设线段 BE 上存在点 b， ， ， ，使平面 平面 DFM， 则 ， ， ， 0， ， 设平面 DMF 的法向量 y， ， 则 ，取 ，得 ， 2 2 2AB BC CD= = = (0,B 0) (1,E 1) (2,A 0) (0,C 0) (0,F 1) ( )1, 1,1BE = − (2,CA = 0) (1,CE = 1) ( ,n x= )z 2 0 0 n CA x y n CE x z  ⋅ = + = ⋅ = + =   1x = ( )1, 2, 1n = − − θ 2 2sin 33 6 BE n BE n     θ ⋅ = = = ⋅⋅ BE∴ 2 3 ( )2 EAC ⊥ ( ,M a )c BM BEλ=  0 1λ≤ ≤ EAC ⊥ ( ) ( ), 1, , ,a b c λ λ λ− = − ( ),1 ,M λ λ λ∴ − ( ),1 ,DM λ λ λ= − (0,DF = 1) ( ,m x= )z ( )1 0 0 m DM x y z m DF z λ λ λ ⋅ = + − + = ⋅ = =   1x = 1, ,01m λ λ  =  −  平面 平面 DFM，平面 EAC 的法向量 ， ，解得 ， 线段 BE 上不存在点 M，使平面 平面 DFM． 【点睛】 本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合 思想，是中档题． 21．在三棱锥 P﹣ABC 中，AB＝1，BC＝2，AC ，PC ，PA ， PB ，E 是线段 BC 的中点． （1）求点 C 到平面 APE 的距离 d； （2）求二面角 P﹣EA﹣B 的余弦值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用向量的距离公式得 解；（2）求出两个平面的法向量，利用向量公式求解． 【详解】 ∵AB2+BC2＝AC2，PC2+BC2＝PB2，PA2+AB2＝PB2， ∴ ， 过点 P 作 PO⊥平面 ABC，垂足为 O，易得 OP＝1，且 BC⊥OC，BA⊥OA， ∴四边形 ABCO 为矩形， （1）以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1）， ， 设平面 APE 的法向量为 ，则 ， 令 x＝1，则 ，  EAC ⊥ ( )1, 2, 1n = − − 21 01m n λ λ∴ ⋅ = − =−   [ ]1 0,1λ = − ∉ ∴ EAC ⊥ 5= 2= 5= 6= 6 6 6 3 − APE 2ABC PCB PAB π∠ = ∠ = ∠ = ( ) ( ) ( )0 21 1 1 0 01 0AP AE CE= − = − =  ， ，， ， ， ， ，， ( )n x y z ， ，= 2 0 0 n AP y z n AE x y  ⋅ = − + =  ⋅ = − =   ( )11 2n = ，， ∴ ； （2）由（1）知平面 APE 的法向量为 ，取平面 ABE 的一个法向量 ， 且二面角 P﹣EA﹣B 为钝角，设其为 θ，故 ． 【点睛】 本题考查利用空间向量求距离及空间角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础 题． 22．设 A 是圆 O：x2+y2＝16 上的任意一点，l 是过点 A 且与 x 轴垂直的直线，B 是直 线 l 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 l 上，且满足 4|BQ|＝3|BA|．当点 A 在圆 O 上运动时， 记点 Q 的轨迹为曲线 C． （1）求曲线 C 的方程； （2）已知直线 y＝kx﹣2（k≠0）与曲线 C 交于 M，N 两点，点 M 关于 y 轴的对称点为 M′，设 P（0，﹣2），证明：直线 M′N 过定点，并求△PM′N 面积的最大值． 【答案】（1） 1（2）证明见解析,△PM′N 面积的最大值为 【解析】（1）点 在圆 上运动，引起点 的运动，我们可以由 ，得到点 和点 坐标之间的关系式，并由点 的坐标满足圆的方程得 到点 坐标所满足的方程； （2）设 ， ， ， ，则 ， ，联立 ，得 ，利用直线的斜率，求直线 的方程，即可直线 过 定点，并求出 面积的最大值． 【详解】 解：（1）设 ， ， ， ， 在直线 上， 6 6 CE n d n ⋅ = =    ( )11 2n = ，， ( )0 01m = ，， 6 3 n mcos n m θ ⋅= − = −    2 2 16 9 x y+ = 10 3 A 2 2 16x y+ = Q 4 | | 3| |BQ BA= A Q A Q 1(M x 1)y 2(N x 2 )y 1(M x′ − 1)y 2 2 116 9 2 x y y kx  + =  = − 2 2(16 9) 64 80 0k x kx+ − − = M N′ M N′ PM N∆ ′ ( , )Q x y 0(A x 0 )y 4 | | 3| |BQ BA= Q l ， ．① 点 在圆 上运动， ．② 将①式代入②式即得曲线 的方程为 ． 证明：（2）设 ， ， ， ，则 ， ， 联立 ，得 ， ， ． 直线 的斜率 ， 直线 的方程为 ． 令 ，得 ， 直线 过定点 ． 面积 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 面积的最大值为 ． 【点睛】 本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法， 考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算 求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 0x x∴ = 0 4| | | |3y y=  A 2 2 16x y+ = ∴ 2 2 0 0 16x y+ = C 2 2 116 9 x y+ = 1(M x 1)y 2(N x 2 )y 1(M x′ − 1)y 2 2 116 9 2 x y y kx  + =  = − 2 2(16 9) 64 80 0k x kx+ − − = 1 2 2 64 16 9 kx x k ∴ + = + 1 2 2 80 16 9x x k −= +  M N′ 2 1 2 1 M N y yk x x′ −= + ∴ M N′ 2 1 1 1 2 1 ( )y yy y x xx x −− = ++ 0x = 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 92 2 y x y x kx x kx x kx xy x x x x x x + − + −= = = − = −+ + + ∴ M N′ 9(0, )2D − PM N∆ ′ 1 2 2 1 5 64 | | 80 80 10| | ( ) 92 4 16 9 3916 | | 2 16 | || | | | PM N kS PQ x x k k kk k ′ = + = × = =+ + ×    916 | | | |k k = 3 4k = ± ∴ PM N∆ ′ 10 3