吉林省长春市2021届高三第一次质量监测（一模）数学文试题 Word版含解析

吉林省长春市2021届高三第一次质量监测（一模）数学文试题 Word版含解析

长春市2021届高三第一次质量监测（一模）‎ 文科数学 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则集合的元素个数有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎2.若平面向且 ,则的值为 ‎3.函数的图象的一条对称轴是 A. B. C. D. ‎ ‎4.已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是 A. 10% B. 50% C. 60% D. 90%‎ ‎6.将长、宽分别为和的长方形沿对角线折起,得到四面体,‎ 则四面体的外接球体积为 A. B. C. D. ‎ ‎7.曲线在处的切线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎1 2 3 4 5‎ ‎8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 - 8 -‎ 模型可以近似地刻画茶水温度随时间变化的规律 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.如图,长方体中为 的中点,则异面直线与所成角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎10.已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为 A. B. C. D. ‎ ‎11.如图,在面积为1的正方形内做四边形使 以此类推,在四边形内再 做四边形……，记四边形的面积为 ‎，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12.已知定义在上的函数满足当时当时则 ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若则 .‎ ‎14. .‎ - 8 -‎ ‎15.若复数满足则 .‎ ‎16.已知是数列的前项和,满足,则 ;‎ 数列的前项和 .‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,⊥底面,,为的中点,为线段上的动点.‎ ‎(I)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求点到平面的距离.‎ ‎18.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(Ⅱ)若,求外接圆的半径.‎ ‎19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 ‎ 1 2 3 4 5 6 购买量/kg ‎ ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.20‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ 频率/组距 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).‎ ‎(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数;‎ - 8 -‎ ‎(Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量 在单位:)的居民为A组,购买量在 ‎(单位:]的居民为B组,采用分层抽样的方式从 该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B组户数为2的概率.‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆,直线分别与轴轴交于两点,与椭圆交于两点.‎ ‎(I)若求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若点的坐标为求面积的最大值.‎ ‎21.(12分)‎ 设函数.‎ ‎(I)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:‎ ‎(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)‎ 已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为 ‎(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与圆相交于两点,求 - 8 -‎ ‎23.[选修4-5不等式选讲](10分)‎ 已知 ‎(I)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求证:.‎ 长春市2021届高三质量监测数学(文科)试题参考答案及评分参考 一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1. A.【解题思路】所以故选A.‎ ‎2.C【解题思路】由可知即,故选C.‎ ‎3.C【解想思路】令则,故选C.‎ ‎4.B【解题思路】由渐近线方程可知故选B.‎ ‎5.D【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D ‎6. A【解题思路】中点到A,B,C,D的距离均为1,故球的体积为,故选A.‎ ‎7.B【解题思路】当 x = e时, k = 2 ,故选B.‎ ‎8.C由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C ‎9.D【解题思路】⊥平面平面即故选D ‎10．C【解题思路】如图,过A,B作AA’,BB’垂直准线,垂足为A’,B’，过B作AA’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知所以 - 8 -‎ ‎,,所以直线倾斜角为,故选C.‎ ‎11.B【解题思路】由图可知所以其前项和为,故选B.‎ ‎12.A【解题思路】由可知周期为5,由函数图象可知每个周期 由 故选A.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)‎ ‎13. 【解题思路】‎ ‎14. 0【解题思路】‎ ‎15. 【解题思路】设有 ‎16. ，【解题思路】,所以 ‎,故的前项和.‎ 三，简答题 ‎17.【答案】(1)因为,E为PB中点,所以因为平面ABCD,所以 由所以BC⊥平面PAB,所以又 所以AE⊥平面PAB,所以平面平面PAB.‎ ‎(2)‎ ‎,则 (12分)‎ ‎18. 【答案】(1)由正弦定理知 有,所以（6分）‎ - 8 -‎ 所以 (12分)‎ ‎19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为;‎ ‎(Ⅱ)依据分层抽样,A组有2人,设为x，y，B组有3人,设为a，b，c 从中任选2人,可能的情况为xya、xyb、xyc、xab 、xbc、xac、yab、ybc、yac、‎ abc共10种情况,其中B组户数有2户的有xab、xbc、xac、yab、ybc、yac共6‎ 种,因此选出的B组户数为2的概率为.‎ ‎20．【答案】(1)设联立直线方程与椭圆方程有 有有，‎ 所以AB中点坐标为 由中点坐标为 因为所以线段MN的中点与AB的中点重合,有 解得(6分)‎ ‎(2)由(1)可知 因为所以 所以当k=0时面积最大.(12分)‎ ‎21.【答案】时，‎ 易知为增函数,且 - 8 -‎ 所以当时单调递减,当时单调递增.(4分)‎ ‎(2) ,当时,易知为上增函数,‎ 当时；当时；当时,‎ 而 所以存在即 当时单调递减,‎ 当时单调递增:‎ 所以.(12分)‎ ‎22.【答案】(1)直线的普通方程是,圆的直角坐标方程是 ‎（5分）‎ ‎(2)圆心(1,2)到直线的距离圆半径所以|（10分）‎ ‎23.【答案】(1)证明:因为, ‎ 所以,(当且仅当时取等号)(5分)‎ ‎(2)因为,所以 所以 ‎,当且仅当时取等号(10分)‎ - 8 -‎