数学理卷·2018届吉林省长春市一五0中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届吉林省长春市一五0中学高三上学期期中考试（2017

‎20172018学年度第一学期期中考试 高三数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知向量，，且，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知数列为等比数列，若，则数列的前项之积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.函数的一个单调增区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.在中，已知三边、、满足，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.三个数，，之间的大小关系是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.“”是“或”成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.已知为坐标原点，平面向量，，，且（为实数）.当时，点的坐标是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数（）的大致图象是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设集合，，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为）.若的容量是奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若函数的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对为的“友情点对”，点对与可看作同一个“友情点对”，若函数恰好有两个“友情点对”，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“任意，的个位数字不等于”的否定是 ．‎ ‎14.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则 ．‎ ‎15.在等差数列中，首项，公差,若，则 ‎ ．‎ ‎16.在中，内角、、所对的边长分别为、、，且，，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列是公差为（）的等差数列，为的前项和，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，且的前项和为，求.‎ ‎18. 在中角，，所对的边长分别为，，，，.‎ ‎（1）证明：为钝角三角形 ‎（2）若，求的值.‎ ‎19. 已知函数，，令.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）求函数的最大值.‎ ‎20. 已知正项等比数列（）中，公比，且，，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列.‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎21. 已知函数（，，）的图象的一部分如图所示.‎ ‎（1）求函数在上的单调递增区间；‎ ‎（2）已知求函数与图象的所有交点坐标.‎ ‎22. 已知函数，，其中.‎ ‎（1）若，求函数在上的值域；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20172018学年度第一学期期中考试 高三数学试卷（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCAAD 6-10:ACABB 11、12：DB 二、填空题 ‎13.存在，的个位数字等于 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解（1），即.又，，得，，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）因为，由正弦定理得，又，可得，所以，所以为钝角.故为钝角三角形.‎ ‎（2）由（1），所以，‎ 所以，得，即.‎ ‎19.解：（1）∵，‎ 由，∴函数的定义域为关于原点对称，‎ ‎∵，∴为偶函数.‎ ‎（2），.令，∴，‎ ‎∴当时，取得最大值，且最大值为.‎ ‎20.解：（1）由知，是方程的两根，注意到，得，，因为，所以或（不可题意，舍去）.‎ 所以，所以，.‎ 因为，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎21.解：（1）由图像可得函数的最小正周期，则，‎ ‎∵（），，∴，‎ 又，∴.‎ 由（），得（），‎ 当时，；当时，.‎ ‎∵，∴函数的单调递增区间为，.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴当时，由，得；‎ 当时，方程无解；‎ 当时，，得或.‎ ‎∴交点坐标为，，.‎ ‎22.解：（1）若，则，，故当时，，故函数在上单调递增，故，，的值域为.‎ ‎（2）令，，，‎ 于是.‎ 令，则，‎ 即在上是增函数.‎ ‎∵，而当时，，‎ ‎∴，使得.‎ 当时，，即，此时单调递减；‎ 当时，，即，此时，单调递增；‎ ‎∴.①‎ 由可得，整理得，②‎ 代入①中，得，‎ 由，恒有，转化为，③‎ 因为，③式可以化为，整理得，解得.‎ 再由，于是.由②可得.‎ 令，则根据的单调性易得在上是增函数，‎ ‎∴，即，得.‎