吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（理）试题

吉林省实验中学2019—2020学年度上学期高二年级 第一次月考数学（理）试卷 ‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.下列全称命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①末位是或的整数，可以被整除；②钝角都相等；③三棱锥的底面是三角形.‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎①正确；②错误，钝角不一定都相等，如，是钝角，但不相等；③正确，三棱锥四个面都是三角形.‎ 考点：全称命题的真假判断.‎ ‎2.平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是　　‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 直线 D. 线段 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由定点和的坐标可得的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，两定点，则，‎ 而动点M到两定点和的距离之和为10，‎ 则M的轨迹为线段，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．‎ ‎3.设，则“”是“”( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。‎ ‎4.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.命题：，，命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出命题，命题，命题，命题，并判断命题的真假性，即可得到答案 ‎【详解】命题：，为真命题 命题：，为假命题 命题：，为假命题 命题：，为真命题 明显地，答案选A ‎【点睛】本题考查命题的概念并判断命题的真假，属于基础题 ‎6.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以。在中，因为，所以，即，所以，则，故选B。‎ ‎7.给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. －3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根的判别式求出a的范围，在选项中选出符合条件的值即可.‎ ‎【详解】方程无实根，所以，解得：，所以只有1符合；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的应用以及一元二次方程根的判别式，根据题意列式，即可得出结果.‎ ‎8.直线与椭圆的位置关系为(　　)‎ A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线，得到直线恒过点，只需判定点在椭圆的内部，即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意，直线，可得直线恒过点，‎ 又由，所以点在椭圆的内部，‎ 所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的判定，其中解答中把直线与椭圆的位置关系转化为点与椭圆的位置关系的判定是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎9.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按规则写出存在性命题的否定即可.‎ ‎【详解】命题“”的否定为“”，‎ 故选C ‎【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎10.已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法求解可得直线和斜率间的关系，进而得到，再根据椭圆离心率的定义可得所求．‎ ‎【详解】设，‎ ‎∵点在椭圆上，‎ ‎∴，‎ 两式相减整理得，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆的离心率为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．‎ ‎11.已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎：取的中点，连接，根据向量的加减法的几何意义和三角形中位线的性质，以及已知，对这个等式，进行化简，得到，再根据椭圆的定义，结合，可以求出离心率.‎ ‎【详解】如下图所示：取的中点，连接，‎ ‎，， ，‎ ‎，，因为，所以设，，‎ ‎..由椭圆的定义可知：，，‎ ‎，，‎ ‎，，故本题选C.‎ ‎..【点睛】本题考查了借助向量的加减法的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的定义及离心率.本题考查了运算能力.‎ ‎12.已知椭圆 的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，再由直线斜率的取值范围得出直线斜率的取值范围．‎ ‎【详解】由题意得，设，则，其中，所以 ，‎ 又因为直线斜率的取值范围是，所以直线斜率的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中直线斜率的取值范围，解题的关键是设，表示出，属于一般题．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎13.若，则“”是“”____条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用充要条件的判断方法判断即可．‎ ‎【详解】“”则“”，但是“”可得“或”，所以“”是“”的充分不必要条件．‎ ‎【点睛】本题考查充要条件的判断，属于简单题．‎ ‎14.椭圆的长轴为________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将椭圆方程化标准形式，进而求出答案．‎ ‎【详解】由题可得椭圆的标准方程为，则即，所以长轴长为．‎ ‎【点睛】本题考查由椭圆的标准方程求长轴长，属于基础题．‎ ‎15.已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得曲线的焦点为，得到双曲线的焦点为，进而求得曲线的一条渐近线的倾斜角，得出曲线的一条渐近线方程，得到，再由，求得的值，即可得到答案。‎ ‎【详解】由题意得的焦点为，所以双曲线的焦点为，即．‎ 而的一条渐近线为，其斜率，即的一条渐近线的倾斜角．‎ 而的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，即的一条渐近线为，即．‎ 而，解得，‎ 所以的方程为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方程是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合圆与圆的位置关系得．根据双曲线的定义，动点的轨迹为双曲线的左支，由此能求出双曲线的方程．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 设动圆与圆及圆分别外切于点和点，根据两圆外切的充要条件得，‎ 因为，所以，所以动点到两定点，的距离之差是常数，根据双曲线的定义，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支（点到点的距离小，到的距离大），其中，则，‎ 所以动圆圆心的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查由双曲线的定义求双曲线的标准方程，解题的关键是由圆的外切得出，属于一般题．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题为10分，18-22每小题12分）‎ ‎17.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.‎ ‎【答案】逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.‎ 否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.‎ 逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找出命题的条件和结论，根据其它三种命题的书写方式，写出命题，结合方程根的判断方式判断出命题真假即可.‎ ‎【详解】逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,根据，解得：，所以是假命题.‎ 否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,当时，判别式，不一定有实根，所以假命题.‎ 逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,根据，解得：，此时成立，所以真命题.‎ ‎【点睛】本题考查四种命题之间的变换方式，熟练掌握命题条件与结论的拆分，并联系相应的知识点判断命题真假即可.‎ ‎18.设实数x满足，其中，命题实数x满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）为真, 均为真命题，分别计算范围得到答案.‎ ‎（2）p是q的必要不充分条件，根据表示范围关系解得答案.‎ ‎【详解】解：实数x满足，其中，解得 命题实数x满足，解得，即．‎ ‎（1）时， ‎ 为真，可得p与q都为真命题， ‎ 则 ‎ 解得．所以实数x的取值范围是 ‎（2）p是q的必要不充分条件，， ‎ 解得.‎ 实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了命题与充分必要条件，属于简单题型.‎ ‎19.（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程: 对称轴为坐标轴，经过点和.‎ ‎（2）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题判断出焦点位置，再写出标准方程．‎ ‎（2）先由题判断出焦点位置，再求出，进而写出方程．‎ ‎【详解】（1）由题可知椭圆的焦点在轴上，且，所以标准方程为．‎ ‎（2）由题可知双曲线的焦点为在轴上，且，，又因为，所以可得，则双曲线的标准方程为．‎ ‎【点睛】本题考查由的值写出椭圆与双曲线的标准方程，属于简单题．‎ ‎20.已知点P是曲线x2＋y2＝16上的一动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12,0)．当点P在曲线上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【答案】(x－6)2＋y2＝4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点M的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，根据P在圆上，得到轨迹方程．‎ ‎【详解】设M（x，y），‎ 则P（2x﹣12，2y），‎ ‎∵P在圆上运动，‎ ‎∴（2x﹣12）2+（2y）2＝16，‎ 即（x﹣6）2+y2＝4，‎ ‎∴线段PA的中点M的轨迹方程为（x﹣6）2+y2＝4‎ ‎【点睛】本题考查求中点轨迹方程的方法：相关点法，其步骤：设出动点坐标，求出相关点的坐标，代入已知的曲线方程．‎ ‎21.已知双曲线，问：过点能否作直线，使与双曲线交于两点，并且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】符合条件的直线不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线方程为或，利用设而不求法，通过判别式与韦达定理求出斜率即可判断．‎ ‎【详解】设过点的直线方程为或 ‎（1）设 当存在时联立，得 因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有，‎ ‎，且 又为线段的中点，即 解得，与矛盾，‎ 故过点与双曲线交于两点且为线段中点的直线不存在.‎ ‎（2）当时，直线经过点但不与双曲线交于两点．‎ 综上，符合条件的直线不存在 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线与直线相交问题，常用的方法是设而不求法，借助韦达定理与判别式，属于一般题．‎ ‎22.已知椭圆 过点，且一个焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆的三条弦，所在的直线分别与轴交于点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据焦点坐标得，将点坐标代入椭圆方程，与联立方程组，求得.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，可求出点的坐标，同理得出直线的方程和点的坐标.利用坐标计算得 ‎，由此求出直线的方程.‎ 试题解析：(1)依题意，得，又解得椭圆方程为.‎ ‎(2)由题意知直线的斜率存在，设.‎ 据，得，‎ ‎，又直线的斜率为.‎ 用代替，得，‎ ‎.又直线的方程为，即.‎ 点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系.‎ ‎ 考查椭圆的简单的几何性质的应用，同时考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，第一问是方程的思想，利用焦点和椭圆上一点坐标列方程组，可求得椭圆的标准方程，第二问直接设出直线方程，联立方程组求得交点坐标，进而求得所求直线斜率.‎ ‎ ‎ ‎ ‎