安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（理）试题

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（理）试题

安徽省池州市2020届高三上学期期末考试 数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据集合和集合所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为集合 集合表示满足的点的集合，即直线的图像，‎ 集合表示满足的点的集合，即直线的图像，‎ 所以表示两条直线的交点，‎ 解，得 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简单题.‎ ‎2．已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】对复数进行化简，从而得到，再得到在复平面内对应点所在的象限.‎ ‎【详解】‎ ‎·25·‎ ‎，‎ 则，‎ 在复平面内对应点为，在第二象限 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.‎ ‎3．如图所示，中，，半圆O的直径在边BC上，且与边AB，AC都相切，若在内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆O内）的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件得到半圆的半径，然后计算出的面积和半圆的面积，根据几何概型的公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，，，，‎ 所以的面积，‎ 半圆O的面积，‎ ‎·25·‎ 根据几何概型公式得：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题 ‎4．将函数的图象向左平移后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，若的解析式为，则的解析式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将横坐标压缩到原来的一半得到，再向右平移得到函数 ‎【详解】‎ 先将图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线 ‎，‎ 再将曲线上所有的点向右平移得到 函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式，属于简单题.‎ ‎5．函数的定义域为（ ）‎ ‎·25·‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式，得到，解出的取值范围，得到定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为函数有意义，‎ 所以，解得 所以解集为 所以定义域为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求具体函数定义域，属于简单题.‎ ‎6．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A． B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系，求出离心率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的渐近线为 ‎·25·‎ 因为两条渐近线均与圆相切，‎ 所以点到直线的距离等于半径 即，‎ 又因为 整理得到，‎ 故双曲线C的离心率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.‎ ‎7．已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据约束条件画出可行域，‎ 图中阴影部分为可行域，‎ ‎·25·‎ 目标函数，‎ 表示可行域中点与连线的斜率，‎ 由图可知点与连线的斜率最大，‎ 故的最大值为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.‎ ‎8．如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）‎ A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为 ‎【答案】B ‎【解析】设，得到，所求的篱笆长度为，根据基本不等式，得到最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，‎ ‎·25·‎ 因为矩形的面积为，所以，‎ 所以围成矩形所需要的篱笆长度为 ‎，‎ 当且仅当即时，等号成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎9．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出的值，再将所要求的，根据诱导公式进行化简，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 ‎·25·‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.‎ ‎10．若,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.‎ 详解：，，，‎ 令，则在上是单调增函数.‎ 又，所以 即.故选D.‎ 点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.‎ ‎11．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）‎ A．若为的外心，则 ‎·25·‎ B．若为等边三角形，则 C．当时，与平面所成角的范围为 D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 ‎【答案】B ‎【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.‎ ‎【详解】‎ 若为的外心，则，由射线相等即可知，故A正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故B错误；‎ 当时，，，过作，连结，易知为与平面所成角，，故的范围为，故C正确；‎ 取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故D正确 ‎【点睛】‎ 本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.‎ ‎12．已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）‎ A．或 B．或 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎·25·‎ ‎【解析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据，得到为中点，得到与的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出点坐标，从而得到的斜率，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的离心率为，‎ 又，所以，‎ 所以双曲线渐近线为 当点A在直线上，点B在直线上时，‎ 设，‎ 由及B是AF中点可知，‎ 分别代入直线方程，得，解得，‎ 所以，‎ 所以直线AB的斜率，‎ 由双曲线的对称性得，也成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.‎ ‎·25·‎ 二、填空题 ‎13．等腰直角三角形ABC中，，则有________.‎ ‎【答案】-2.‎ ‎【解析】先求出，再根据向量数量积公式，求出的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 等腰直角三角形ABC中，，‎ 所以 所以 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计算向量的数量积，属于简单题.‎ ‎14．的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎·25·‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.‎ ‎15．数列的最大项所在的项数为________.‎ ‎【答案】11.‎ ‎【解析】，时，，得到关于的不等式组，解得的范围，结合，得到的值，再与时进行比较，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 当时，设为最大项，则 即 解得.‎ 而，所以 又时，有，‎ 所以数列的最大项所在的项数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列中的最大项，属于简单题.‎ ‎16．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，则球O的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎·25·‎ ‎【解析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，将三棱锥补成长方体，‎ 球为长方体的外接球，边长分别为，，，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎·25·‎ ‎【解析】（1）设等比数列公比，根据，得到关于的方程，解出，从而得到数列的通项公式；（2）写出的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 因为各项均为正数 解得（负值舍去），‎ 所以；‎ ‎（2）由已知得，，‎ 所以为等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.‎ ‎18．如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.‎ ‎（1）求b和；‎ ‎（2）如图，设D为AC边上一点，，求的面积.‎ ‎·25·‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以在中，由正弦定理，‎ 得，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 由余弦定理得，‎ ‎，‎ 所以，‎ 在中，由正弦定理，‎ 所以；‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ ‎·25·‎ 而 所以，‎ 由，设，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.‎ ‎19．如图，三棱锥D-ABC中，，E，F分别为DB，AB的中点，且.‎ ‎（1）求证：平面平面ABC；‎ ‎（2）求二面角D-CE-F的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】（1）取的中点，可得，，从而得到平面，得到，由，，得到，从而得到平面，所以平面 ‎·25·‎ 平面；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角的余弦值 ‎【详解】‎ ‎（1）如图取的中点，连接，，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以平面，‎ 平面 所以.‎ 因为，分别为，的中点，所以.‎ 因为，即，‎ 则.‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 又因为平面DAB，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）因为平面，则以为坐标原点，‎ 过点与垂直的直线为轴，为轴，AD为轴，‎ 建立如下图所示的空间直角坐标系.‎ ‎·25·‎ 因为，‎ 在中，‎ ‎，‎ 所以.‎ 在中，，‎ 所以点，，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为 ‎.‎ 所以，即，‎ 可取.‎ 设平面的法向量为 ‎.‎ ‎·25·‎ 所以，即，‎ 可取，‎ 则 因为二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.‎ ‎20．高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）‎ 分组 频数 ‎6‎ ‎9‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；‎ ‎（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；‎ ‎（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”‎ ‎·25·‎ 同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.‎ ‎【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）见解析.‎ ‎【解析】（1）根据频率之和等于，a，b，c成等差数列，，解出的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据频率分布直方图得，‎ 又因，‎ 解得，‎ 故数学成绩的平均分 ‎（分），‎ ‎（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间，‎ 所以物理成绩的中位数为75分. ‎ ‎（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，‎ 因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，‎ 故两科均为“优”的人数为3人，‎ 故X的取值为0、1、2、3. ‎ ‎·25·‎ ‎.‎ 所以分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 期望值为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.‎ ‎21．已知函数，为的导函数.‎ ‎（1）求在处的切线方程；‎ ‎（2）求证：在上有且仅有两个零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）对求导，得到，代入得到切线斜率，利用切点，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据解析式，得到为偶函数，且，对求导，得到，判断出的正负，得到的单调性，结合，由零点存在定理得到在上有且仅有一个零点，从而得到在上有且仅有两个零点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 又，所以切点为.‎ ‎·25·‎ 故在处的切线方程为； ‎ ‎（2）因为为偶函数，且，‎ 则只需证明在上有且仅有一个零点即可.‎ ‎，‎ 当时，‎ 故在上单调递减，‎ 因为，，‎ 由零点存在定理，可知存在使得，‎ 所以在上有且仅有一个零点，‎ 因此在上有且仅有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.‎ ‎22．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎·25·‎ ‎【解析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆P的半径为r，‎ 因为动圆P与圆M外切，所以，‎ 因为动圆P与圆N内切，所以，‎ 则，‎ 由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，‎ 设椭圆方程为，‎ 则，，故，‎ 所以曲线C的方程为.‎ ‎（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，‎ 联立，‎ 得，‎ 设点，则，‎ ‎·25·‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 得.‎ 则，‎ 因为，所以.‎ 即，‎ 直线，‎ 所以直线l过定点.‎ ‎②当直线l斜率不存在时，设直线，且，‎ 则点 ‎，‎ 解得，‎ 所以直线也过定点.‎ 综上所述，直线l过定点.‎ ‎·25·‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎·25·‎