华附、省实、深中、广雅2020届高三数学（理）四校联考试卷（Word版附答案）

华附、省实、深中、广雅2020届高三数学（理）四校联考试卷（Word版附答案）

www.ks5u.com 数 学（理科）‎ 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页， 满分150分，考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.‎ ‎2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.‎ 第一部分 选择题 (共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 集合，，则（***）‎ A． B．M N C．N M D．‎ ‎2. 原命题为“若互为共轭复数，则”，其逆命题，否命题，逆否命题真假性依次为（***） ‎ ‎ A．真，假，真 B．真，真，假 C．假，假，真 D．假，假，假 ‎3. 已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（***）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎4. 平面平面的一个充分条件是（***）‎ A．存在一条直线 ‎ B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 ‎5. 函数零点的个数是（***）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎6. 已知函数（，为常数，，）在处取得最大值，则函数是（***）‎ A. 奇函数且它的图象关于点对称 B. 偶函数且它的图象关于点对称 C. 奇函数且它的图象关于对称 D. 偶函数且它的图象关于对称 ‎7. 已知函数的图象连续且在上单调，又函数的图象关于轴对称，‎ 若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2019项之和为（***）‎ A．0 B．2019 C．4038 D．4040‎ ‎8．函数在上的单调减区间为（***）‎ A．和 B．和 ‎ C．和 D．‎ ‎9. 函数的值域是（***）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知圆，点，△内接于圆，且，当，在圆上运动时，‎ 中点的轨迹方程是（***）‎ A． B．‎ C． D. ‎ ‎11. 已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，‎ 交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率（***）‎ A． B． C． D. 2‎ ‎12. 若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB，平面SBC，平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是（***）‎ A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段 第二部分 非选择题 (共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.‎ ‎13. 在区间上分别任取两个数m，n，若向量，，则满足的概率是***． ‎ ‎14. 已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则***． ‎ ‎15. 已知随机变量X~B(2，p)，Y~N(2，σ2)，若P(X≥1)0.64，P(04)***． ‎ ‎16. 在△中，角，，所对的边分别为，，，，当取最大值时，角的值为***． ‎ 三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个 试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列满足：，（）.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某花店根据过往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.‎ ‎ （Ⅰ）求在未来的4天中，有2天的日销售量低于100枝 且另外2天不低于150枝的概率；‎ ‎ （Ⅱ）用表示在未来的4天日销售量不低于100枝的天 数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直 线平面，，分别是，的中点.‎ ‎（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与 平面的位置关系，并加以证明；‎ ‎（Ⅱ）设，求二面角大小的取值范围. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆（）的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为 为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线，，，分别与曲线交于三点(不包括极点)，其中．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，若两点在直线上，求与的值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C A D B A ‎ C ‎ B C D A A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 0.1 16. ‎ 三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由（）可化为.‎ ‎ 令，则，即.‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即，故 ……6分 ‎ （若用不完全归纳，没有证明，可给4分）‎ ‎ （Ⅱ）由，‎ ‎ 可知，‎ ‎ 两式作差得，‎ ‎ 即. ……10分 ‎ 又当时，也满足上式， ……11分 ‎ 故. ……12分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设日销售量为x，“有2天日销售低于100枝，另外2天不低于150枝”为事件A.‎ ‎ 则，……1分 ‎，……2分 ‎……4分 ‎ （Ⅱ）日销售量不低于100枝的概率，则.……6分 ‎ 于是……8分 ‎ 则分布列为 ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ……10分 ‎……12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）. ……………1分 ‎ 证明如下：‎ ‎，，，‎ ‎. ……………2分 又，平面与平面的交线为，‎ ‎． ……………3分 而，‎ ‎． ……………………4分 ‎（Ⅱ）解法一：设直线与圆的另一个交点为，连结DE，FB．‎ 由（Ⅰ）知，，而．‎ 平面，．‎ 而，‎ 又，，‎ 是二面角的平面角． ………………8分 ‎．‎ 注意到，．‎ ‎，，‎ 即二面角的取值范围是．‎ ‎ ………………12分 解法二：由题意，AC⊥BC，以CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，‎ 设AB2，BCt，则，‎ ‎. …………6分 设平面DBF的法向量为，‎ 则由得，取得．‎ 易知平面BCD的法向量， …………8分 设二面角的大小为，易知为锐角．‎ ‎， …………11分 ‎，‎ 即二面角的取值范围是． …………12分 ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在.‎ 设，，由于点，都在椭圆上，‎ 所以①，②‎ ‎①—②，化简得③ ‎ 又因为离心率为，所以. …………2分 又因为直线过焦点，线段的中点为，‎ 所以，，，‎ 代入③式，得，解得. …………5分 再结合，解得，，‎ 故所求椭圆的方程为. …………6分 ‎（Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，‎ ‎，‎ 又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，‎ 所以， ④‎ 因为过点且与垂直，所以， ⑤………10分 联立④⑤，消去，得，‎ 又，所以，从而可得，‎ 所以与的交点在定直线上． …………12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，．…………………1分 ‎（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；‎ ‎（2）当时， 令，得．‎ 当时，，函数为减函数；‎ 当时，，函数为增函数．…………………2分 综上所述，当时，函数的单调递增区间为．‎ 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎……………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，‎ ‎（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，‎ 所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；………………4分 ‎（2）当时，即时，函数在上为减函数，在 上为增函数，所以．‎ 依题意有，解得，所以．………………5分 ‎（3）当时，即时，在区间上为减函数，‎ 所以．‎ ‎ 依题意有，解得，所以． …………6分 ‎ 综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………7分 ‎（Ⅱ）另解：当时，显然恒成立. …………4分 当时，恒成立恒成立的最大值.‎ 令，则，易知在上单调递增，‎ 所以最大值为，此时应有. …………6分 综上，的取值范围是. …………7分 ‎（Ⅲ）设切点为，则切线斜率，‎ 切线方程为．‎ ‎ 因为切线过点，则．‎ ‎ 即．………………① ………………8分 ‎ 令，则． ‎ ‎（1）当时，在区间上，，单调递增；‎ 在区间上，，单调递减，‎ 所以函数的最大值为．‎ 故方程无解，即不存在满足①式．‎ 因此当时，切线的条数为． ………………9分 ‎（2）当时, 在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．‎ 取，则．‎ 故在上存在唯一零点．‎ 取，则．‎ 设，，则．‎ ‎ 当时，恒成立．‎ 所以在单调递增，恒成立．‎ 所以．‎ 故在上存在唯一零点．‎ 因此当时，过点P存在两条切线． ………………11分 ‎（3）当时，，显然不存在过点P的切线．‎ 综上所述，当时，过点P存在两条切线；‎ 当时，不存在过点P的切线．………………………………12分 ‎（Ⅲ）另解：设切点为，则切线斜率，‎ 切线方程为．‎ ‎ 因为切线过点，则，‎ ‎ 即． ………………8分 当时，无解. ………………9分 当时，，‎ 令，则，‎ 易知当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增. ………………10分 又，且，‎ 故当时有两条切线，当时无切线，‎ 即当时有两条切线，当时无切线. ………………11分 综上所述，时有两条切线，时无切线. ………………12分 ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 证明：（Ⅰ）依题意，，………………………………………………1分 ‎ ，，……………3分 则 ‎ …………5分 解：（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分 化成直角坐标为，. ……………………………7分 经过点的直线方程为，……………………………8分 又直线经过点，倾斜角为，且，‎ 故，. ………………10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵，∴. …………………………………1分 ① 当时，得，即，∴； …………2分 ② 当时，得，即，∴； …………3分 ③ 当时，得，即，∴. …………4分 综上所述，实数的取值范围是． ……………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎，‎ 当时，等号成立，‎ ‎∴的值最小为. …………8分 ‎∴， ‎ 解得或．……………………………………9分 ‎∴ 实数的取值范围是. …………10分