甘肃省会宁县第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试卷（解析版）
2019届甘肃省会宁县第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合A=1,2,3,4,B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=
A． 1,2 B． 1,4 C． 2,3 D． 9,16
2．函数y=2x-x2x∈R的图象为
A． B． C． D．
3．下列命题中正确的是
A． 命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x∈R,x2-x≥0”
B． 命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件
C． 若“am2≤bm2，则a≤b”的否命题为真
D． 若实数x,y∈-1,1，则满足x2+y2≥1的概率为π4.
4．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于
A． 5 B． 2 C． 3 D． 4
5．设函数fx=21-x,x≤11-log2x,x>1,则满足f(x)≤2的x的取值范围是
A． [-1,2] B． [0,2] C． [0,+∞) D． [1,+∞)
6．函数在区间上是增函数，且，则
A． 0 B． C． D． 1
7．ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cb
0的导函数f'x的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是
A． x=π9 B． x=π6 C． x=π3 D． x=π2
10．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为
A． 1 B． 2 C． -2 D． -1
11．已知fx为R上的可导函数，且∀x∈R,均有fx>f'x，则有
A． e2013f-2013e2013f0
B． e2013f-2013f0,f2013>e2013f0
D． e2013f-2013>f0,f20130为增函数，则a的取值范围是
A． -2e,+∞ B． -32e,+∞ C． -∞,-2e D． -∞,-32e
二、填空题
13．已知函数f(x)的导函数为f'x，且满足fx=2xf'1+x2，则f'1=______
14．化简sin(kπ-α)⋅cos(k-1)π-αsin(k+1)π+α⋅cos(kπ+α)=______________．
15．由曲线y=sinx.y=cosx与直线x=0,x=π2所围成的平面图形的面积是______.
16．函数fx的定义域为A，若x1,x2∈A且fx1=fx2时总有x1=x2，则称fx为单函数．例如：函数fx=2x+1x∈R是单函数．给出下列命题：
①函数fx=x2x∈R是单函数；
②指数函数fx=2xx∈R是单函数；
③若fx为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2，则fx1≠fx2；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,
其中的真命题是 ______________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．已知α，β∈(0，π)，tanα＝－13，tan(α＋β)＝1.
(1)求tanβ及cosβ的值；
(2)求1+2cos(2β-π4)sin(π2-β)的值.
18．在ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b，c，记m=2sinB,-3，n=cos2B,2cos2B2-1，且m∥n.
（1）求锐角∠B的大小；
（2）若b=2，求SΔABC的最大值.
19．(本小题满分12分)
设f(x)=ex1+ax *，其中a为正实数
（Ⅰ）当a =43时，求f(x)的极值点；
（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。
20．设函数fx=sinx+sinx+π6+cosx+π3.
⑴求函数fx的最小正周期和对称轴方程；
⑵在△ABC中，fC=1，求2cos2A-π4+3sinA-B的取值范围.
21．已知函数fx=x+1x+ax2为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（2）记集合E=yy=fx,x∈-1,1,2，λ=lg22+lg2lg5+lg5-14，判断λ与E的关系；
（3）当x∈1m,1nm>0,n>0时，若函数fx的值域为2-3m,2-3n，求m,n的值.
22．已知直线l的参数方程是x=22ty=22t+42（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ+π4．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
23．已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.
(1)求1x+1y+1z的最小值；
(2)证明：x2+y2+z2≥3
2019届甘肃省会宁县第一中学
高三上学期第二次月考数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】
∵A=1,2,3,4，B=1,4,9,16，∴A∩B=1,4．
故选B．
2．A
【解析】
【分析】
根据偶函数的对称性排除B、D，再由图象过点（0，1），故排除C，从而得出结论．
【详解】
由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．
再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，
从而得到应选A，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查判断函数的奇偶性，函数的图象特征，用排除法、特殊值法解选择题，属于中档题．
3．C
【解析】
【分析】
选择题可以逐一判断，对于A项，x2﹣x≤0”的否定应该是x2﹣x＞0”.
对于B项，“p∧q为真”是“pVq为真”的充分不必要条件.
对于C选项，若“am2≤bm2，则a≤b”的否命题为“若am2＞bm2，则 a＞b”，正确.
对于D项，由几何概型，x2+y2＜1的概率为π4，应由对立事件的概率的知识来求x2+y2≥1的概率.
【详解】
由全称命题的否定是特称命题可知“∀x∈R，x2﹣x≤0”的否定应该是“∃x∈R，x2﹣x＞0”，因此选项A不正确．
对于B项，p∧q为真可知p、q均为真，则有pVq为真，反之不成立，故“p∧q为真”是“pVq为真”的充分不必要条件，因此B错误．
对于选项C，“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题是“若am2＞bm2，则a＞b”，显然其为真命题．
对于D项，由几何概型可知，区域D为边长为1的正方形，区域d为1为半径，原点为圆心的圆外部分，则满足x2+y2≥1的概率为p=1-π⋅122×2=1﹣π4=4-π4，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断问题，充要条件，命题的否定，全称命题以及特称命题的概念，本题还涉及到了命题与概率的综合内容．
4．B
【解析】
【分析】
利用扇形的周长与面积的数值相等，建立等式，即可求得结论．
【详解】
因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则12lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，
∴l=4RR-2
∵l＞0，∴R＞2
故选：B．
【点睛】
本题考查扇形的周长与面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
【详解】
当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥12，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
6．D
【解析】
试题分析：因为函数在区间上是增函数，且，所以所以1.
考点：三角函数的性质；三角函数的最值对应的x的值。
点评：若.
7．B
【解析】
【分析】
由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.
【详解】
∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∵cb＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA
∴sin（A+B）＜sinBcosA
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA
∴sinAcosB＜0 又sinA＞0
∴cosB＜0 即B为钝角
故选：B．
8．D
【解析】
试题分析：由图可知函数的周期T=4(π12+π6)=π，可排除A、C，又过点(-π6,0)，故选D．
考点：三角函数的图像性质．
9．A
【解析】
【分析】
先对函数求导，由导数f′（x）的最大值为3，可得ω的值，从而可得函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得函数的对称轴处取得函数的最值从而可得．
【详解】
对函数求导可得，f'(x)=ωcos(ωx+π6)
由导数f′（x）的最大值为3可得ω=3
∴f（x）=sin（3x+π6）﹣1
由三角函数的性质可得，函数的对称轴处将取得函数的最值结合选项，可得x=π9
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了函数的求导的基本运算，三角函数的性质：对称轴处取得函数的最值的应用，属于基础试题，试题难度不大．
10．C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，进而得到xn、an，再利用“裂项求和”即可得出．
【详解】
∵y′=（n+1）xn，∴曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线的斜率为y′|x=1=n+1．
∴切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0，得xn=1-1n+1=nn+1．
∴an=lgxn=lgnn+1=lgn﹣lg（n+1），
∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+…+（lg99﹣lg100）
=lg1﹣lg100
=﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、切线的方程、“裂项求和”，属于基础题．
11．D
【解析】
【分析】
根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=f(x)ex，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】
令g（x）=f(x)ex，则g′（x）=f'(x)-f(x)ex，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，即函数g（x）为R上的减函数，
∴g（﹣2013）＞g（0）＞g（2013），
即∴e2013f（﹣2013）＞f（0），
∴f（2013）＜e2013f（0）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题.
12．A
【解析】
【分析】
函数f（x）=（2x﹣1）ex+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，可得f′（x）≥0，化为2a≥﹣(2+1x)ex，令g（x）=﹣(2+1x)ex，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【详解】
∵函数f（x）=（2x﹣1）ex+ax2﹣3a（x＞0）为增函数，
∴f′（x）=（2x+1）ex+2ax≥0，化为2a≥﹣(2+1x)ex，
令g（x）=﹣(2+1x)ex，则g′（x）=﹣(2x-1)(x+1)exx2，
可得：x=12时，函数g（x）取得极大值即最大值，g(12)=﹣4e．
∴a≥﹣2e．
∴a的取值范围是[﹣2e，+∞）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．-2
【解析】
【分析】
利用导数的运算法则求出f′（x），令x=1可得f′（1）=2f′（1）+2，计算可得答案．
【详解】
f′（x）=2f′（1）+2x，
令x=1得f′（1）=2f′（1）+2，
∴f′（1）=﹣2，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，令导函数中的x用自变量的值代替．
14．-1
【解析】
【分析】
利用诱导公式、分类讨论k，求得要求式子的值．
【详解】
当k=2n，n∈Z时，sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)=-sinα⋅(-cosα)-sinα⋅cosα=﹣1；
当k=2n+1，n∈Z时，sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)=sinα⋅cosαsinα⋅(-cosα)=﹣1，
综上可得，：sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)=﹣1．
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
15．22-2
【解析】
【分析】
三角函数的对称性可得S=20π4(cosx-sinx)dx，求定积分可得．
【详解】
由三角函数的对称性和题意可得S=20π4(cosx-sinx)dx
=2（sinx+cosx）|0π4=2（22+22）﹣2（0+1）=22﹣2
故答案为：22﹣2
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．
16．②③④
【解析】
【分析】
根据单函数的定义分别进行判断即可．
【详解】
①若函数f（x）=x2（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得x12=x22，即x1=﹣x2或x1=x2，∴不满足单函数的定义．
②若指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数，则由f（x1）=f（x2）得2x1=2x2，即x1=x2，∴满足单函数的定义．
③若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），则根据逆否命题的等价性可知，成立．
④在定义域上具有单调性的函数一定，满足当f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，∴是单函数，成立．
故答案为：②③④.
【点睛】
本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用单函数的定义是解决本题的关键．
17．（1）55；（2）655
【解析】
【分析】
（1）先进行角的变换，由β=α+β﹣α，得tanβ=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)⋅tanα代入已知，可求出tanβ，再由同角三角函数的关系求出cosβ
（2）先求出sin(π2-β)，再对2cos(2β-π4)用差角公式展开求出它的值，然后就可求出1+2cos(2β-π4)sin(π2-β)的值
【详解】
（1）tanβ=tanα+β-α=tanα+β-tanα1+tanα+β⋅tanα=1+131-13=2
∵β∈0,π,tanβ=2>0
∴β∈0,π2，∴cosβ=55
（2）sinβ=1-cos2β=255
∴1+2cos2β-π4sinπ2-β=1+cos2β+sin2βcosβ=2cos2β+2sinβcosβcosβ=2cosβ+2sinβ=655
【点睛】
本题考查同角三角函数基本关系的运用，解题的关键是熟练掌握三角函数中的相关公式及符号判断的规则，正确利用这些性质求出函数值，本题在求值过程中用到了角的变换，这是所求的三角函数值的角与已知三角函数值的角之间关系式学采用的技巧，其规律是用已知表示未知．
18．（1）B＝π3 .（2）S△ABC 的最大值为3 .
【解析】
．解：（1）…………2分
………………4分
（2）
………………8分
又
………………10分
……12分
19．
【解析】
略
20．（1）见解析；（2）00
∴fx在1m,1n上单调递增
∴f1m=2-3mf1n=2-3n
∴1-m2=2-3m1-n2=2-3n
∴m,n为x2-3x+1=0的两个根，又由题意可知：1m<1n，且m>0,n>0
∴m>n
∴m=3+52,n=3-52
【点睛】
本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．
22．（1）x2+y2-2x+2y=0；（2）26
【解析】
【分析】
（1）在圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+π4）的两边同时乘以ρ，即可得圆的直角坐标方程，从而求圆心的直角坐标.
（2）先把切线长表示出来再去求最小值.
【详解】
（1）∵ρ=2cosθ-2sinθ，
∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0，
即x-222+y+222=1，
∴圆心直角坐标为22,-22．
（2）直线上的点向圆C 引切线长是
22t-222+22t+22+422-1=t2+8t+40=t+42+24≥26
∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是26
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，属于中档题．
23．（1）3；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据基本不等式：x+y+z≥33xyz﹣﹣﹣﹣﹣①；1x+1y+1z≥331xyz﹣﹣﹣﹣﹣②；再两式同向相乘即可．
（2）构造柯西不等式：（12+12+12）（x2+y2+z2）=3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2这个条件进行计算即可．
【详解】
(1) 因为x＞0，y＞0，z＞0，根据基本不等式：
x+y+z≥33xyz﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
1x+1y+1z≥331xyz﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①②两式同向相乘得，
（x+y+z）•（1x+1y+1z）≥（33xyz）•（331xyz）=9，
所以，1x+1y+1z≥9x+y+z=3，
当且仅当：x=y=z=1时，原式取得最小值，
即1x+1y+1z的最小值为3．
(2) 由柯西不等式可得（12+12+12）（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=9，
可得：x2+y2+z2≥3，
即x2+y2+z2的最小值为3.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式和柯西不等式在求最值问题中的应用，以及不等式同向相乘的性质，属于基础题．