2020学年度高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2
2.3 幂函数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
幂函数的定义
2,4,12
幂函数的图象
3,6,7,10
幂函数的性质
1,5,8,9,11,12,13,14,15
1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )
(A)y= (B)y=x3
(C)y=x2 (D)y=x
解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.
2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C )
(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2
解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,
所以m2-4m+4=1,
解得m=3或m=1.
由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,
解得2
m>0
(D)m>n>0
解析:由题图及其单调性可得mb=().
因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,
所以b=()>c=(),
所以a>b>c.故选B.
6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于 .
解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.
答案:
7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点 .
解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).
答案:(1,3)
8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为 .
解析:由题意设f(x)=xm,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.
所以f(x)=x-2=,
故其值域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.
解:设函数y=,
函数为R上的单调递增函数,
得m2+m≤-m+3,
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即m2+2m-3≤0,
得(m-1)(m+3)≤0,
所以m的取值范围为m∈[-3,1].
10.下列结论中,正确的是( C )
(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)
(B)幂函数的图象可以出现在第四象限
(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数
(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.
11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是( B )
(A)m=2 (B)m=-1
(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1
解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.
又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,
当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;
当m=-1时,m2+2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.
综上,m=-1.故选B.
12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 .
解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.
答案:1
13.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .
解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,
则指数是偶数且大于0,
因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,
因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,
所以m=-1,即f(x)=x4.
所以f(2)=24=16.
答案:16
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14.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.
解:由x2-logmx<0,得x2x1>0,
所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
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所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,
所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,
当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.
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