【数学】2018届一轮复习人教A版第二章函数概念与基本初等函数1第4讲幂函数与二次函数学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第二章函数概念与基本初等函数1第4讲幂函数与二次函数学案

第4讲　幂函数与二次函数 最新考纲　1.了解幂函数的概念；掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 ‎ 函数 特征 性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x y＝x－1‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R，‎ 且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋ ∞)‎ ‎{y|y∈R，‎ 且y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 ‎2.二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式：‎ 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).‎ 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).‎ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在上单调递减；‎ 在上单调递增 在上单调递增；‎ 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)‎ ‎(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.(　　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(　　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)　‎ 解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.‎ ‎(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.‎ ‎(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)‎ A.ba>b.‎ 答案　A ‎3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是(　　)‎ A.5 B.－‎5 ‎ C.6 D.－6‎ 解析　由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.‎ 答案　C ‎4.(2017·杭州测试)若函数f(x)是幂函数，则f(1)＝________，若满足f(4)＝‎8f(2)，则f＝________.‎ 解析　由题意可设f(x)＝xα，则f(1)＝1，由f(4)＝‎8f(2)得4α＝8×2α，解得α＝3，所以f(x)＝x3，故f＝＝.‎ 答案　1　 ‎5.若幂函数y＝(m2－‎3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.‎ 解析　由解得m＝1或2.‎ 经检验m＝1或2都适合.‎ 答案　1或2‎ ‎6.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.‎ 答案　(－∞，－2]‎ 考点一　幂函数的图象和性质 ‎【例1】 (1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ A. B‎.1 ‎ C. D.2‎ ‎(2)若(‎2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(－1，2) D. 解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，‎ 所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，‎ 且在定义域内为增函数，‎ 所以不等式等价于 解得 即≤m<2.‎ 答案　(1)C　(2)D 规律方法　(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；‎ ‎(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.‎ ‎(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.‎ ‎【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ ‎(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)‎ A.－3 B‎.1 ‎ C.2 D.1或2‎ 解析　(1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，‎ ‎∴α＝，因此f(x)＝x，根据图象的特征，C正确.‎ ‎(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴∴n＝1，‎ 又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.‎ 答案　(1)C　(2)B 考点二　二次函数的图象与性质 ‎【例2】 (2017·湖州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].‎ ‎(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；‎ ‎(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间.‎ 解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，‎ ‎∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，‎ ‎∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，‎ 故f(x)的最大值是35.‎ ‎(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，‎ 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).‎ ‎(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝ 其图象如图所示，‎ 又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数.‎ 规律方法　解决二次函数图象与性质问题时要注意：‎ ‎(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.‎ ‎【训练2】 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)‎ ‎(2)(2017·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋‎2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ 解析　(1)由A，C，D知，f(0)＝c<0，‎ 从而由abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－>0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)＝c>0，‎ 所以ab>0，所以x＝－<0，B错误.‎ ‎(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，‎ ‎∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋‎2a2，‎ 又f(x)的值域为(－∞，4]，‎ ‎∴‎2a2＝4，‎ 故f(x)＝－2x2＋4.‎ 答案　(1)D　(2)－2x2＋4‎ 考点三　二次函数的应用(多维探究)‎ 命题角度一　二次函数的恒成立问题 ‎【例3－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.‎ 解　(1)由题意知 解得 所以f(x)＝x2＋2x＋1，‎ 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].‎ ‎(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.‎ ‎2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.‎ ‎3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.‎ ‎4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.‎ ‎2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况. ‎