【推荐】专题2-4 二次函数与幂函数-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-4 二次函数与幂函数-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

真题回放 ‎1.【2017年浙江卷第5题】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．‎ ‎【考点】二次函数的最值 ‎ ‎2.【2017年山东卷理数第10题】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ 3.【2017年天津卷理数第8题】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】 ‎【解析】不等式为(*)，‎ 当时，(*)式即为，，‎ 又（时取等号），‎ （时取等号），‎ 所以，‎ 当时，(*)式为，，‎ 又（当时取等号），‎ （当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A． ‎ 考点分析 ‎ ‎ ‎ 从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.‎ 融会贯通 考点一　幂函数的图象和性质 ‎【例1】下列说法正确的是（ ）‎ A.幂函数一定是奇函数或偶函数 B.图像不经过（-1,1）的幂函数一定不是偶函数 C.任意两个幂函数都有两个以上交点 D.奇函数的图像一定过坐标原点 ‎【答案】B ‎【例2】若点在的图像上，则的值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】因为点在的图像上，所以，‎ ，故选D. ‎ ‎【变式训练】‎ 设幂函数的图像经过点，设，则与的大小关系是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：将代入，求得，，，由于，所以.‎ 考点：幂函数，比较大小. ‎ ‎【例3】幂函数f(x)=(m‎2‎-2m+1)‎x‎2m-1‎在‎(0,+∞)‎上为增函数，则实数m的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2‎ ‎【答案】C ‎【变式训练】‎ 幂函数，当时为减函数，则实数的值为（ ）‎ A．或2 B． ‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵为幂函数，∴，即．解得：或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数（舍去），∴使幂函数为上的减函数的实数的值．故选C. ‎ 考点：幂函数的性质.‎ ‎【例4】已知函数为幂函数，且为奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 考点：1、幂函数；2、函数的奇偶性；3、函数的值域.‎ ‎【知识链接】‎ ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)幂函数的图象比较 ‎(3)幂函数的性质比较 ‎ 函数 特征 ‎ ‎ 性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋∞)‎ ‎{y|y∈R且y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 ‎【解题方法与技巧】‎ ‎1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．‎ ‎2．在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ 考点二　二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式 ‎【例1】已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集是，求实数、的值.‎ ‎【答案】（1）;（2）， .‎ ‎【变式训练】‎ 已知函数.‎ ‎（1）若关于的不等式的解集是，求实数的值；‎ ‎（2）若，，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1），（2）当时，解集为；‎ 当时，解集为. ‎ ‎【解析】（1）由题是方程的两根.‎ 代入有，∴ ‎ ‎（2）当时， ‎ ‎∵，∴化为 ‎①当，即时，解集为或 ‎ ‎②当，即时，解集为或 ‎ 综上，时，解集为；‎ 时，解集为. ‎ ‎【知识链接】‎ ‎1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．‎ ‎2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系 当的图像与x轴无交点无实根 的解集为或者是R; ‎ 当的图像与x轴相切有两个相等的实根 的解集为或者是R;‎ 当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是.‎ 命题二：二次函数的单调性 ‎【例1】若函数f(x)=x‎2‎+bx+c的对称轴方程为x=2‎，则 （ ）‎ A. f(2)0）有最大值3，最小值1，则m的取值范围是_______。‎ ‎【答案】[2，4]‎ ‎【解析】由题意可知抛物线的对称轴为，开口向上，由于，则函数在上单调递减或者先减后增，∵函数在上有最大值3，最小值1，且， ，∴，∵抛物线的图象关于对称即，‎ ‎∴，故答案为． ‎ ‎【例2】已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．‎ ‎【例3】函数 在区间[-1,1]上的最大值的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数是偶函数，所以只需分析的函数，当 时， ，函数在是单调递增函数，当时，函数取得最大值，当时，函数在 单调递减，在 单调递增，当，即当时，函数的最大值是，当 时，函数的最大值是，当时，函数在单调递减，函数的最大值是，所以 ，所以当时， 的最小值是 ‎ ，故填： .‎ ‎【变式训练】‎ 将二次函数的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，便得到函数的图像 ‎（1）当时，求的解析式 ‎（2）讨论函数在上的最大值 ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【知识链接】‎ ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递减在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 ‎【解题方法与技巧】‎ ‎ （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； ‎ ‎ （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．‎ 考点三　二次函数的应用(多维探究)‎ 命题角度一　二次函数的恒成立问题 ‎【例1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【变式训练】‎ 若不等式ax‎2‎+2ax-4<2x‎2‎+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )‎ A. ‎(-2,2)‎ B. ‎‎(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ C. ‎(-2,2]‎ D. ‎‎(-∞,-2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解析：由题设可得‎(2-a)x‎2‎+(4-2a)x+4>0‎，当a=2‎时，‎0x‎2‎+0x+4>0‎对一切实数恒成立；当‎2-a>0‎时，Δ=4‎(2-a)‎‎2‎-16(2-a)<0‎，解之得‎-20‎a+1‎a‎≥3‎⇒00‎f(1)<0‎f(2)>0‎⇒{‎b>0‎a+b+1<0‎‎2a+b+4>0‎，在平面直角坐标系aOb中，画出不等式组‎{‎b>0‎a+b+1<0‎‎2a+b+4>0‎表示的区域如图，则‎2-b‎3-a‎=‎b-2‎a-3‎可以看做坐标平面内的动点M(a,b)‎与定点P(3,2)‎连线的斜率kPM的取值范围问题。如图，因kPA‎=‎2-0‎‎3-(-1)‎=‎1‎‎2‎,kPB=0‎，故kPB‎

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