高考数学专题复习练习：第二章 2_5分数指数幂
1．分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
【知识拓展】
1．指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘．( × )
(3)( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )
(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × )
(6)函数y＝2x－1是指数函数．( × )
1．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，)，则f(－1)等于( )
A. B. C. D．4
答案 B
解析 由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝()x，所以f(－1)＝()－1＝.
2．(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
答案 B
解析 由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
3．已知则a，b，c的大小关系是( )
A．cb>1，
又
∴cf(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如图，观察易知，a，b的关系为af(c)>f(b)，结合图象知，
00，
∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2，故选D.
思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．01.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
答案 (1)B (2)(－3,1)
解析 (1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，
即()a<8，即()a<()－3，
∴a>－3.又a<0，∴－30，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
答案 (1) (2)或3
解析 (1)令t＝x，因为x∈[－3,2]，
所以t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
2．指数函数底数的讨论
典例 (2016·日照模拟)已知函数(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有最大值3，最小值， 则a，b的值分别为________．
错解展示
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵－≤x≤0，∴－1≤t≤0.
∵≤at≤1，∴b＋≤b＋at≤b＋1，
由得
答案 2,2
现场纠错
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0]．
①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈[，1]，∈[b＋，b＋1]，
依题意得解得
②若0b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，
所以a>b.综上，a>b>c.
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
答案 C
解析 由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故选C.
5．(2015·山东)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－10且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
答案 (0，)
解析 (数形结合法)
由图象可知0<2a<1，∴0，
不符合舍去；
②当<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－<，不符合舍去)；
③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，
令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合舍去．
综上所述，实数λ的值为.
