专题05+函数﹑基本初等函数的图像与性质（仿真押题）-2019年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1．已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝( )
A．－4 B．－2
C．－1 D．－3
解析：因为f(x)＝x＋－1，所以f(a)＝a＋－1＝2，所以a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4，故选A.
答案：A
2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lgx D．y＝|x|
解析：A中函数y＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
答案：B
3．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋
＝4，所以＝＝.
答案：D
5．函数f(x)＝的图象大致为( )
解析：由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，则当x∈(－∞，0)和x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又当x<0时，f(x)<0，故选B.
答案：B
6．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
24.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－.
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.
综上所述a的取值范围是.
25.已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x)是偶函数；q：函数g(x
)是奇函数，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 令h(x)＝－(x≠0)，易得h(x)＋h(－x)＝0，则h(x)为奇函数，又g(x)是奇函数，所以f(x)为偶函数；反过来也成立.因此p是q的充要条件.
26.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数.记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.c＜a＜b D.c＜b＜a
答案 C
27.已知函数f(x)＝若f(4)＝3，则f(x)>0的解集为( )
A.{x|x>－1}
B.{x|－1
－1且x≠0}
D.
答案 D
解析 因为f(4)＝2＋a＝3，所以a＝1.
所以不等式f(x)>0等价于
即x>，或即－10的解集为.
28.已知函数f(x＋2)(x∈R)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(2 018)等于( )
A.2 018 B.
C. D.0
答案 D
解析 由题意知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，∴f(x)＝－f(－x＋4)，又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，∴f(x)的周期为4，故f(2 018)＝f(2 016＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
29.已知函数f(x)＝＋cos，则f＝________.
答案 1 009
解析 由所给函数知，
f(x)＋f(1－x)＝＋cos＋＋
cos＝1＋cos＋cos＝1，
所以f＝＝1 009.
30.设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论.
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，
∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立.
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立.
综上可知，x的取值范围是.
31.已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为______________________.
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2；当a＜0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
32.能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________.(填序号)
①f(x)＝ex＋e－x；
②f(x)＝ln；
③f(x)＝tan；
④f(x)＝4x3＋x.
答案 ②③④
解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中，f(0)＝ln＝ln 1＝0，f(x)的定义域为(－5，5)，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan 0＝0，f(x)的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”.
33．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝________；函数f(x)的值域是________．
解析：由题意得f(2)＝，f[f(2)]＝f＝－－2＝－.因为当x>1时，∈(0,1)；当x≤1时，－x－2∈[－3，＋∞)，所以函数f(x)的值域为[－3，＋∞)．
答案：－ [－3，＋∞)
34．若函数f(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，则实数a＝________.
解析：依题意得f(0)＝1＋a＝0，所以a＝－1.
答案：－1
35．已知函数f(x)＝＋sin x，则f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝________.
解析：因为f(x)＝＋sin x，所以f(－x)＝－sin x＝－sin x，所以f(x)＋f(－x)＝2.则f(2 017)＋f(－2 017)＝2，f(2 016)＋f(－2 016)＝2.而f(0)＝＋sin 0＝1，所以f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(0)＋f(2 016)＋f(2 017)＝5.
答案：5
36．已知定义在R上的函数f(x)满足：
①函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；
②∀x∈R，f＝f；
③当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)．
则f(2 017)＝________.
解析：由①知f(x)为奇函数．又由②可得f(x)是以3为周期的周期函数，所以f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2[－3×(－1)＋1]＝－log24＝－2.
答案：－2
37.若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
解析 当x＞0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案 (0，1]
38.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
解析 令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0，说明函数f(x)在[0，2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2，0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为
4，所以函数f(x)在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确.
答案 ①②④
39.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝－(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解 (1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，
∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝－.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
∴f(－x)＝－＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，
令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－＋，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，
∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
40.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故
②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故
故或
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则≤2或≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).
41.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
解 (1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，
则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象.
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).
42．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；
当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)解法一 设x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(
x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.
要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0，
即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，则a≤16.学-科网
故a的取值范围是(－∞，16]．
解法二 f′(x)＝2x－，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．故a的取值范围是(－∞，16]．
43．f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)证明：f(x)是奇函数；
(2)证明：f(x)在R上是减函数；
(3)求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值．
解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.从而有f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．由于x∈R，
∴f(x)是奇函数．
44．已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性．
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函数，
y＝－是增函数，∴f(x)是增函数．
∵f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，
由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对x∈R恒成立，
则f(x－t)≥f(t2－x2)．
∴t2－x2≤x－t⇔x2＋x≥t2＋t对x∈R恒成立⇔≤min对一切x∈R恒成立⇔≤0⇔t＝－.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
