数学卷·2018届福建省南平市浦城县高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届福建省南平市浦城县高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年福建省南平市浦城县高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 ‎1．命题“若a=﹣2b，则a2=4b2”的逆命题是（　　）‎ A．若a≠﹣2b，则a2≠4b2 B．若a2≠4b2，则a≠﹣2b C．若a＞﹣2b，则a2＞4b2 D．若a2=4b2，则a=﹣2b ‎2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（　　）‎ A．80 B．70 C．60 D．50‎ ‎3．已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点A（1，），则它的准线方程为（　　）‎ A．x=﹣ B．x=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣‎ ‎4．为了检查某高三毕业班学生的体重情况，从该班随机抽取了6位学生进行称重，如图为6位学生体重的茎叶图（单位：kg），其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这6位学生体重的平均数为（　　）‎ A．52 B．53 C．54 D．55‎ ‎5．已知m＞0，n＞0，空间向量=（m，4，﹣3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值为（　　）‎ A． B．3 C．9、 D．‎ ‎6．对具有线性相关的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…6），其回归直线方程是，且x1+x2+…+x6=10，y1+y2+…+y6=4，则实数a的值是（　　）‎ A． 3 B． C． D．‎ ‎7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（　　）‎ A．2 B．5 C．14 D．41‎ ‎8．下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．∃x∈R，sinx+cosx＞ B．若0＜ab＜1，则b＜‎ C．若x2=|x|，则x=±1 D．若m2+=0，则m=n=0‎ ‎9．已知定点M（﹣3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（　　）‎ A． B． C． D．9π ‎10．“﹣2＜m＜﹣”是“方程+表示双曲线，且方程﹣表示交点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（　　）‎ 甲表：‎ 环数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 乙表：‎ 环数 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 ‎12．已知O为原点，过双曲线﹣y2=1（a＞0）上的点P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上 ‎13．已知命题p：∃x0∈（0，+∞），1+sinx0=﹣x02，则￢p为　　．‎ ‎14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数x，则事件“7x﹣3≥0”发生的概率为　　．‎ ‎15．过椭圆+x2=1的上焦点F2作一条斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为　　．‎ ‎16．已知[x]表示不大于x的最大整数，如[5，3]=5，[﹣1]=﹣1，执行如图的程序框图，则输出的i的值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若直线l与此抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点为N（2，）．求直线l的方程．‎ ‎19．某连续经营公司的5个零售店某月的销售额和利润资料如表：‎ 商店名称 A　‎ B　‎ C　‎ D　‎ E　‎ ‎　销售额（x）/千万元 ‎　3‎ ‎　5‎ ‎　6‎ ‎　7‎ ‎　9‎ ‎　利润（y）/百万元 ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　5‎ ‎（1）若销售额和利润额具有线性相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；‎ ‎（2）若该连锁经营公司旗下的某商店F次月的销售额为1亿3千万元，试用（1）中求得的回归方程，估测其利润．（精确到百万元） ‎ 参考公式： ==， =﹣．‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎21．夏威夷木瓜是木瓜类的名优品种，肉红微味甜深受市民喜爱．某果农选取一片山地种植夏威夷木瓜，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若从产量在区间（50，60]上的果树随机抽取2株果树，求它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率的概率．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，上顶点到右顶点的距离为，且短轴长是焦距的倍．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB并交椭圆C于M、N两点，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省南平市浦城县高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 ‎1．命题“若a=﹣2b，则a2=4b2”的逆命题是（　　）‎ A．若a≠﹣2b，则a2≠4b2 B．若a2≠4b2，则a≠﹣2b C．若a＞﹣2b，则a2＞4b2 D．若a2=4b2，则a=﹣2b ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若a=﹣2b，则a2=4b2”的逆命题是“若a2=4b2，则a=﹣2b”，‎ 故选：D ‎　‎ ‎2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现按型号用分层抽样的方法随机抽出容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于（　　）‎ A．80 B．70 C．60 D．50‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．‎ ‎【解答】解：因为，所以n=80．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点A（1，），则它的准线方程为（　　）‎ A．x=﹣ B．x=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将点A（1，）代入，求出p值，进而根据抛物线的性质，可得准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点A（1，），‎ ‎∴=2p，‎ 解得：p=，‎ 故抛物线y2=x的准线方程为x=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．为了检查某高三毕业班学生的体重情况，从该班随机抽取了6位学生进行称重，如图为6位学生体重的茎叶图（单位：kg），其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这6位学生体重的平均数为（　　）‎ A．52 B．53 C．54 D．55‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】利用平均数公式求解．‎ ‎【解答】解：由茎叶图，知：‎ ‎==54．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知m＞0，n＞0，空间向量=（m，4，﹣3）与=（1，n，2）垂直，则mn的最大值为（　　）‎ A． B．3 C．9、 D．‎ ‎【考点】空间向量的数量积运算．‎ ‎【分析】由⊥，可得•=m+4n﹣6=0，即m+4n=6，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵⊥，∴ •=m+4n﹣6=0，即m+4n=6，‎ 又m＞0，n＞0，则，解得mn≤，当且仅当m=4n=3时取等号．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．对具有线性相关的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…6），其回归直线方程是，且x1+x2+…+x6=10，y1+y2+…+y6=4，则实数a的值是（　　）‎ A． 3 B． C． D．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据回归直线方程过样本中心点（，），代入方程计算即可．‎ ‎【解答】解：因为=×（x1+x2+…+x6）==，‎ ‎=×（y1+y2+…+y6）==，‎ 代入回归直线方程中，‎ 即，‎ 解得．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（　　）‎ A．2 B．5 C．14 D．41‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】‎ 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：‎ ‎ A B 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 2 是 第二圈 3 5 是 第三圈 4 14 是 第四圈 5 41 否 则输出的结果为41．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．∃x∈R，sinx+cosx＞ B．若0＜ab＜1，则b＜‎ C．若x2=|x|，则x=±1 D．若m2+=0，则m=n=0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，sinx+cosx=；‎ B，若a＜0时，则b＞；‎ C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0；‎ D，m2、均为非负数，则m=n=0．‎ ‎【解答】解：对于A，sinx+cosx=，故错；‎ 对于B，若a＜0时，则b＞，故错；‎ 对于C，若x2=|x|，则x=±1，x=±1或x=0，故错；‎ 对于D，m2+=0中m2、均为非负数，则m=n=0，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知定点M（﹣3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（　　）‎ A． B． C． D．9π ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]，从而求出点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，由此能求出点P的轨迹所包围的图形面积．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]，‎ 化简得3x2+3y2﹣22x+7=0，‎ 整理，得（x﹣）2+y2=，‎ 点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，‎ ‎∴点P的轨迹所包围的图形的面积S==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．“﹣2＜m＜﹣”是“方程+表示双曲线，且方程﹣表示交点在y轴上的椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据双曲线和椭圆方程的特点求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若方程+表示双曲线，且方程﹣表示交点在y轴上的椭圆，‎ 则满足，即，‎ 得﹣2＜m＜﹣，‎ 则﹣2＜m＜﹣是﹣2＜m＜﹣的必要不充分条件，‎ 即“﹣2＜m＜﹣”是“方程+表示双曲线，且方程﹣表示交点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩的统计表如甲表、乙表所示，则：（　　）‎ 甲表：‎ 环数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 频数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 乙表：‎ 环数 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 频数 ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据表中数据，求出甲、乙的平均数，中位数，方差与极差，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据表中数据，得；‎ 甲的平均数是==6，‎ 乙的平均数是==6；‎ 甲的中位数是6，乙的中位数是5；‎ 甲的方差是= [（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2，‎ 乙的方差是= [3×（﹣1）2+02+32]=2.4；‎ 甲的极差是8﹣4=4，乙的极差是9﹣5=4；‎ 由以上数据分析，符合题意的选项是C．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为原点，过双曲线﹣y2=1（a＞0）上的点P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用待定系数法求出求出|OB|，P点到OB的距离，利用平行四边形OBPA的面积，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为x±ay=0，‎ 设P（m，n）是双曲线上任一点，‎ 过P平行于OB：x+ay=0的方程为x+ay+t=0，‎ ‎∵直线过P（m，n），‎ ‎∴m+an+t=0，即t=﹣m﹣an，‎ 即过P平行于OB：x+ay=0的方程为x+ay﹣m﹣an=0，‎ 与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），‎ ‎|OA|=||，P点到OA的距离是：‎ d=‎ ‎∵平行四边形OAPB的面积为2，‎ ‎∴|OA|•d=2‎ ‎∴||•=2，‎ 即=4，‎ ‎∵，∴ =1，‎ 即m2﹣a2n2=a2，代入得=4，‎ ‎∴a=4，‎ 则双曲线的渐近线方程为y=y=±x=±x，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上 ‎13．已知命题p：∃x0∈（0，+∞），1+sinx0=﹣x02，则￢p为　∀∈（0，+∞），1+sinx≠﹣x2　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以，命题p：∃x0∈（0，+∞），1+sinx0=﹣x02，则￢p：∀∈（0，+∞），1+sinx≠﹣x2，‎ 故答案为：∀∈（0，+∞），1+sinx≠﹣x2，‎ ‎　‎ ‎14．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数x，则事件“7x﹣3≥0”发生的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求满足事件“7x﹣3＜0”发生的x的范围，利用数集的长度比求概率．‎ ‎【解答】解：由7x﹣3≥0，解得：x≥，‎ 故满足条件的概率p==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．过椭圆+x2=1的上焦点F2作一条斜率为﹣2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】F2（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程为：y=﹣2x+．原点O到直线的距离d．直线方程与椭圆方程联立化为：8x2﹣4x﹣1=0，|AB|=，利用S△AOB=|AB|•d即可得出．‎ ‎【解答】解：F2（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 直线方程为：y=﹣2x+．‎ 原点O到直线的距离d==．‎ 联立，化为：8x2﹣4x﹣1=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=﹣．‎ ‎∴|AB|==‎ ‎=．‎ S△AOB==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知[x]表示不大于x的最大整数，如[5，3]=5，[﹣1]=﹣1，执行如图的程序框图，则输出的i的值为　6　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=0时满足条件S=0，退出循环，输出i的值为6．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，依次可得 S=100．i=1‎ S=100．i=2‎ S=50．i=3‎ S=16．i=4‎ S=4．i=5‎ S=0．i=6‎ 满足条件S=0，退出循环，输出i的值为6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程 表示焦点在y轴上的双曲线．‎ ‎（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．‎ ‎（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，‎ 则，得，得m＜﹣3，即q：m＜﹣3．‎ ‎（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根 则，解得﹣2＜m＜﹣1，即p：﹣2＜m＜﹣1．‎ 因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．‎ 又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．‎ 因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得﹣2＜m＜﹣1；‎ 当p为假，q为真时，，解得m＜﹣3．‎ 综上，﹣2＜m＜﹣1或m＜﹣3．‎ ‎　‎ ‎18．已知抛物线y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．‎ ‎（1）求p的值；‎ ‎（2）若直线l与此抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点为N（2，‎ ‎）．求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将点（4，﹣4）代入抛物线y2=2px（p＞0）可得p值；‎ ‎（2）根据线段AB的中点为N（2，）利用点差法，求出直线斜率，可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y2=2px（p＞0）经过点（4，﹣4）．‎ ‎∴16=8p，‎ 解得：p=2；‎ ‎（2）由（1）得：y2=4x，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，两式相减得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），‎ ‎∴直线l的斜率k====6，‎ 故直线l的方程为y﹣=6（x﹣2），‎ 即18x﹣3y﹣35=0．‎ ‎　‎ ‎19．某连续经营公司的5个零售店某月的销售额和利润资料如表：‎ 商店名称 A　‎ B　‎ C　‎ D　‎ E　‎ ‎　销售额（x）/千万元 ‎　3‎ ‎　5‎ ‎　6‎ ‎　7‎ ‎　9‎ ‎　利润（y）/百万元 ‎　2‎ ‎　3‎ ‎　3‎ ‎　4‎ ‎　5‎ ‎（1）若销售额和利润额具有线性相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；‎ ‎（2）若该连锁经营公司旗下的某商店F次月的销售额为1亿3千万元，试用（1）中求得的回归方程，估测其利润．（精确到百万元） ‎ 参考公式： ==， =﹣．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）根据所给的表格做出横标和纵标的平均数，求出利用最小二乘法要用的结果，做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．‎ ‎（2）将x=12代入线性回归方程中得到y的一个预报值，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得=6， =3.4，‎ xiyi=112， xi2=200，‎ ‎∴==0.5， =3.4﹣0.5×6=0.4，‎ 则线性回归方程为=0.5x+0.4，‎ ‎（2）将x=13代入线性回归方程中得：‎ ‎=0.5×13+0.4=6.9≈7（百万元）．‎ ‎　‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．‎ ‎（1）求证：AB1⊥CC1；‎ ‎（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1‎ 中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．‎ ‎（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，‎ 取CC1中点O，连结OA，OB1，‎ 则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，‎ ‎∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，‎ ‎∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．‎ 解：（2）由（1）知OA=OB1=3，‎ 又AB1=3，∴OA2+OB12=AB12，‎ ‎∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，‎ 如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，﹣，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2，3），D1（0，，），‎ 设平面CAB1的法向量=（x，y，z），‎ ‎∵=（3，0，﹣3），=（1，﹣，1），‎ ‎∴，取x=1，得=（），‎ 设平面AB1D1的法向量=（a，b，c），‎ ‎∵=（0，，﹣），=（﹣3，，），‎ ‎∴，取b=1，得=（），‎ ‎∴cos＜＞===，‎ 由图知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角为钝角，‎ ‎∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎21．夏威夷木瓜是木瓜类的名优品种，肉红微味甜深受市民喜爱．某果农选取一片山地种植夏威夷木瓜，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树株数是产量在区间（50，60]上的果树株数的倍．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）若从产量在区间（50，60]上的果树随机抽取2株果树，求它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）样本中产量在区间（45，50]上的果树有a×5×20=100a株，样本中产量在区间（50，60]上的果树有：b+0.02）×5×20=100（b+0.02株，由此能求出a，b．‎ ‎（2）产量在区间（50，55]的有4株棵树，产量在（55，60]的有2株果树，从中任取2株，基本事件总数n=，它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间包含的基本事件个数m=‎ ‎=8，由此能求出它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率．‎ ‎【解答】解：（1）样本中产量在区间（45，50]上的果树有a×5×20=100a（株），‎ 样本中产量在区间（50，60]上的果树有：（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（株），‎ 依题意，有100a=×100（b+0.02），即a=（b+0.02），①‎ 根据频率分布直方图知（0.02+b+0.06+a）×5=1，②‎ 由①②，得：a=0.08，b=0.04．‎ ‎（2）由（1）知产量在区间（50，55]的有4株棵树，产量在（55，60]的有2株果树，‎ 从中任取2株，基本事件总数n=，‎ 它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间包含的基本事件个数m==8，‎ ‎∴它们的产量分别落在（50，55]和（55，60]两个不同区间的概率p=．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，上顶点到右顶点的距离为，且短轴长是焦距的倍．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB并交椭圆C于M、N两点，是否存在常数λ，使得|AB|2=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设出直线l的方程为x=my+‎ ‎1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），‎ 由题意可得2b=2c，，a2﹣b2=c2，‎ 解得a=2，b=，c=1，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，‎ ‎|MN|=•=•=，‎ 设A（x3，y3），B（x4，y4），‎ 由x=my代入椭圆方程可得 消去x，并整理得y2=，‎ ‎|AB|=•|y3﹣y4|=•，‎ 即有=•=4．‎ 故存在常数λ=4，使得|AB|2=4|MN|．‎ ‎　‎ ‎2017年2月1日