数学·浙江省杭州市七校联考2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

数学·浙江省杭州市七校联考2017届高三上学期期中数学试卷 Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．‎ ‎1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．[1，2] C．[0，4] D．[1，4]‎ ‎2．已知f（x）=sin（x+φ）（φ∈R），则“φ=”是“f（x）是偶函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（　　）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎4．已知函数y=f（x）的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，则=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎5．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时f（x）=1+log2x．若对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4），则f﹣2f A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎6．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎7．方程（x2+y2﹣2x）=0表示的曲线是（　　）‎ A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 ‎8．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．i是虚数单位，计算的结果为　　．‎ ‎10．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　　，准线方程为　　．‎ ‎11．（2x﹣）4 的展开式中的常数项为　　，系数和为　　．‎ ‎12．函数则f（﹣1）=　　，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为　　．‎ ‎13．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn，求数列{an}的前n项和Sn=　　，通项公式an=　　．‎ ‎14．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有　　个．‎ ‎15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC ‎1）求角C大小；‎ ‎（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3ax．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，求实数a；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）在区间[0，3]的最值及所对应的x的值．‎ ‎18．已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：{+}是等比数列，并求{an}的通项公式an；‎ ‎（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）••an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若△OAB（O为直角坐标原点）的面积为，求直线AB的方程．‎ ‎20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当t=2时，求函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．‎ ‎1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（　　）‎ A．[0，2] B．[1，2] C．[0，4] D．[1，4]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】结合数轴直接求解．‎ ‎【解答】解：由数轴可得A∩B=[0，2]，故选择A．‎ ‎　‎ ‎2．已知f（x）=sin（x+φ）（φ∈R），则“φ=”是“f（x）是偶函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据诱导公式sin（x+）=cosx，与函数的周期性判断即可．‎ ‎【解答】解：∵φ=，f（x）=sin（x+）=cosx，f（x）是偶函数；‎ ‎∵若f（x）是偶函数，φ不一定等于，‎ ‎∴是充分不必要条件，‎ 故选A ‎　‎ ‎3．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（　　）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．‎ ‎【解答】解：由已知|a|=2，‎ ‎|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，‎ ‎∴|a+2b|=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数y=f（x）的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的，则=（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】直接利用三角函数图象的平移得f（x）的函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位得到f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，‎ ‎∴=cos=﹣cos=﹣．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1]时f（x）=1+log2x．若对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4），则f﹣2f A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由f（x）=f（x+4）得出f（x）是周期为4的函数，再由f（x）是奇函数，求出f（2）=f（﹣2）=0，从而求出f、f=f（x+4），∴f（﹣2）=f（﹣2+4）=f（2），‎ 又∵奇函数f（x），∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，‎ 又∵2015=4•504﹣1，2014=4•503+2，2016=4•504，‎ ‎∴f=﹣1，f=0，f+f=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式．‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．‎ ‎【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，‎ ‎∴4a+6b=12，即2a+3b=6，‎ ‎∴=（）×=（12+）≥4‎ 当且仅当时，的最小值为4‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．方程（x2+y2﹣2x）=0表示的曲线是（　　）‎ A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】将方程等价变形，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，（x2+y2﹣2x）=0可化为x+y﹣3=0或x2+y2﹣2x=0（x+y﹣3≥0）‎ ‎∵x+y﹣3=0在x2+y2﹣2x=0的上方，‎ ‎∴x2+y2﹣2x=0（x+y﹣3≥0）不成立，‎ ‎∴x+y﹣3=0，‎ ‎∴方程（x2+y2﹣2x）=0表示的曲线是一条直线．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，‎ ‎∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，‎ ‎∵|AF1|=|AF2|，‎ ‎∴AM+F1M=AN+PN+NF2，‎ ‎∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，‎ ‎∵|F1F2|=4，‎ ‎∴双曲线的离心率是e==2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎9．i是虚数单位，计算的结果为　﹣i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：i是虚数单位，‎ ‎===﹣i．‎ 故答案为：﹣i．‎ ‎　‎ ‎10．抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　2　，准线方程为　x=﹣1　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：当Q在坐标原点时，到焦点的距离取最小值，即=1，解得：p=2，准线方程为：x=﹣=﹣1．‎ ‎【解答】解：由题意可知：y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，即=1，‎ 解得：p=2，‎ 准线方程为：x=﹣=﹣1，‎ 故答案为：2，﹣1．‎ ‎　‎ ‎11．（2x﹣）4 的展开式中的常数项为　24　，系数和为　1　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】（2x﹣）4 的展开式的通项公式Tr+1==，令4﹣2r=0，求得常数项，令x=1，求得系数和．‎ ‎【解答】解：∵（2x﹣）4 的展开式的通项公式：Tr+1==，‎ 令4﹣2r=0，r=2，∴常数项为T2=24，令x=1，系数和为（2﹣1）4=1．‎ 所以答案为：24，1‎ ‎　‎ ‎12．函数则f（﹣1）=　2﹣　，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为　（0，2）　．‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．‎ ‎【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，‎ 故答案为：2﹣，‎ 作出函数f（x）的图象如图：‎ 当x＜0时，f（x）=2﹣ex∈（1，2），‎ ‎∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），‎ 当x≥1时，f（x）≥0，‎ 若方程f（x）=m有两个不同的实数根，‎ 则0＜m＜2，‎ 即实数m的取值范围是（0，2），‎ 故答案为：2﹣，（0，2）．‎ ‎　‎ ‎13．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn，求数列{an}的前n项和Sn=　﹣　，通项公式an=　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由题意可知：an+1=Sn•Sn+1，即Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同除以Sn+1Sn，整理得：﹣=﹣1，则{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，由等差数列通项公式可知： =﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n，则Sn=﹣；由当n=1时，a1=S1=﹣1，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=．‎ ‎【解答】解：由Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1， =Sn，‎ ‎∴an+1=Sn•Sn+1，‎ ‎∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同除以Sn+1Sn，‎ ‎∴﹣=1，即﹣=﹣1，‎ ‎=﹣1，‎ ‎∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，‎ ‎∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．‎ ‎∴Sn=﹣，‎ 当n=1时，a1=S1=﹣1，‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣+=．‎ ‎∴an=．‎ 故答案为：﹣，．‎ ‎　‎ ‎14．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有　120　个．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有=144个，4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2=24个，利用间接法可得结论．‎ ‎【解答】解：1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有=144个，‎ ‎4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2=24个，‎ ‎∴所求六位数共有120个．‎ 故答案为：120．‎ ‎　‎ ‎15．已知实数x，y满足x＞y＞0且x+y=1，则的最小值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】x＞y＞0且x+y=1，可得．于是=+=+=f（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞y＞0且x+y=1，∴．‎ 则=+=+=f（x），‎ f′（x）=﹣=，‎ 令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得，此时函数f（x）单调递减．‎ ‎∴当x=时，函数f（x）取得最小值， =．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC ‎1）求角C大小；‎ ‎（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．‎ ‎（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，‎ 因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，‎ 又cosC≠0，所以tanC=1，C=．‎ ‎（2）有（1）知，B=﹣A，于是 sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA ‎=2sin（A+）．‎ 因为0＜A＜，所以＜A+＜，‎ 从而当A+=，即A=时 ‎2sin（A+）取得最大值2．‎ 综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3ax．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，求实数a；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）在区间[0，3]的最值及所对应的x的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用在x=1处的切线斜率为2，列出方程即可求实数a；‎ ‎（Ⅱ）通过a=1，求出函数的导数，判断函数的单调性以及函数的极值，然后求解函数的最值以及x的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣3ax ‎∴f′（x）=3x2﹣3a…‎ 因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，‎ ‎∴f′（1）=3﹣3a=2，‎ ‎∴a=…．‎ ‎（Ⅱ）由a=1，得：函数f（x）=x3﹣3x…‎ 则：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）…‎ 令f′（x）=0，则x=1或x=﹣1…‎ x ‎0‎ ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，3）‎ ‎3‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎0‎ 单调递减 极小值﹣2‎ 单调递增 ‎18‎ ‎…‎ 故：当x=1时，f（x）min=f（1）=﹣2；…‎ 当x=3时，f（x）max=f（3）=18．…‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：{+}是等比数列，并求{an}的通项公式an；‎ ‎（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）••an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）由数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），可得=1+．变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）可知：bn，利用“错位相减法”即可得出Tn，利用不等式（﹣1），通过对n分为偶数与奇数讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）由数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），可得=1+．‎ ‎∴，‎ ‎∴{}是首项为，公比为3的等比数列，‎ ‎∴，化为．‎ ‎（2）由（1）可知： =，‎ Tn=+…+．‎ ‎…++，‎ 两式相减得﹣==．‎ ‎∴．‎ ‎∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．‎ 若n为偶数，则，∴λ＜3．‎ 若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．‎ 综上可得﹣2＜λ＜3．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若△OAB（O为直角坐标原点）的面积为，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1），由，得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式，结合已知条件能求出直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．‎ ‎∴由题意得，…．‎ 解得a=，c=1．…‎ 所以所求椭圆方程为．…‎ ‎（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，‎ 此时S△AOB=不符合题意故舍掉．…..‎ 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+1），‎ 由，…..7分 消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0，…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，…．…..‎ ‎∴|AB|==‎ ‎===…．…‎ 原点O到直线的AB距离d=，…..…‎ ‎∴三角形的面积==，…..…‎ 解得k=．…..…‎ 直线AB的方程为y=（x+1），或y=﹣（x+1）．‎ 即，或…．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当t=2时，求函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当t=2时，f（x）=（x﹣t）|x|=，作出其图象，利用二次函数的单调性可求函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）分t＞0、t=0、t＜0三类讨论，可求得函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣x=，依题意，可求得gmin（x）=﹣t，只须∃t∈（0，2），使得：成立，解之即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当t=2时，f（x）=（x﹣t）|x|=，‎ 根据二次函数的图象与性质可得：‎ f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．…‎ ‎（Ⅱ）f（x）=，…‎ 当t＞0时，f（x）的单调增区间为[，+∞），（﹣∞，0]，单调减区间为[0，]，…‎ 当t=0时，f（x）的单调增区间为R…‎ 当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），（﹣∞，]，单调减区间为[）…‎ ‎（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣x=，‎ x∈[0，2]时，∵∈（0，2），∴gmin（x）=g（）=﹣…‎ x∈[﹣1，0]时，∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴gmin（x）=﹣t…‎ 故只须∃t∈（0，2），使得：成立，即．…‎ 所以a≤…‎ ‎　‎ ‎2016年12月14日