山东省青岛市58中2019届高三上学期期中考试试题数学理试卷

山东省青岛市58中2019届高三上学期期中考试试题数学理试卷

2018 年高三第一学期期中模块检测 数 学 试 题 卷（理科） 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答 题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。 答案写在试卷上均无效，不予记分。 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 设集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2.下列有关命题的说法中错误的是（ ） A．若 pVq 为真命题，则 p，q 中至少有一个为真命题 B．命题：“若 y=f(x)是幂函数，则 y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题 C．命题“ n∈N*，有 f(n) ∈N*且 f(n）≤n”的否定形式是“ n0∈N*，有 f(n0）∈N *且 f(n0） >n0” D．设 a，b∈R，则“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要条件 3. 若函数 为奇函数，则 的极大值点为（ ） A. B. C. D. 4.在 中，已知 于 ，则 长为（ ） A． B． C． D． 5.已知向量 ， 满足 且 ，若向量 在向量 方向上的投影为 ，则 （ ） A． B． C． D． 6. 平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值等于 （ ） A．10 B.9 C.8 D.7 8.若双曲线 ( )的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ,则 C 的离心率为（ ） A.2 B. C. D. 9. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A．12π B．24π C．36π D．48π 10. 11.设变量 满足约束条件 的取值范围是（ ） A．[2，8] B．[4，8] C．[0，8] D．[8，＋∞) 12.偶函数 是定义在 R 是的可导函数，其导函数为 ，且 对任意的 恒 有 成立，则关于 的不等式 的解集为（ ） A. ( B. C. (2，+ D. 卷 II（非选择题） 二、填空题（共 4 小题 ，每小题 5 分 ，共 20 分 ） 13. 由 和 围成的封闭图形面积为______． 14. 已 知 曲 线 在 点 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 ， 则 = 15.已知数列{an}满足 an＋1＝ 1 ≤ an < 1，若 ，则 ＝________. 16.在棱长为 6 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 是 BC 的中点，点 P 是正方形 DCC1D1 面内 (包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥 P－BCD 的体积最大值是___________. 三、解答题（共 6 小题 ，17 题 10 分 ，18 题-22 题每题 12 分，共 60 分 ） 17．已知数列 为等比数列， ， 是 和 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.已知 f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ ）过点 ，且当 时， 函数 f（x）取得最大值 1． （1）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x），求函数 g（x）的表达式； （2）在（1）的条件下，函数 h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x-1，求 h（x）在 上 的值域． 19.已知函数 为奇函数． （1）判断 f（x）的单调性并证明； （2）解不等式 ． 20.如图，三棱柱 中， ， ， . （1）求证： ； （2）若平面 平面 ，且 ，求二面角 的正弦值。 21．已知抛物线方程为 ，点 A、B 及点 P(2，4)都在抛物线上，直线 PA 与 PB 的倾斜角互补。 （1）试证明直线 AB 的斜率为定值； （2）当直线 AB 的纵截距为 m（m＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。 22. 已知函数 f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）≤0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （3）证明： 。 高三理科数学期中检测答案及评分标准 一．选择题 1．B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B 二．填空题 13. 14. 15. 16. 17.解：（1）设数列 的公比为 ， 因为 ，所以 ， ．…………………………………………1 分 因为 是 和 的等差中项，所以 ．……………………2 分 即 ，化简得 ． 因为公比 ，所以 ．………………………………………………………4 分 所以 （ ）．…………………………………………5 分 （2）因为 ，所以 ．………………………………………6 分 所以 ………………………8 分 则 ……10 分 18. 解 ： （ 1 ） 由 题 意 可 得 A=1 ， 由 函 数 过 ， 得 范 围 ， ……2 分 由 ， ∵0＜ω＜4，∴可得：ω=2， ……4 分 可 得 ： ， ，故 …………6 分 (2) 由 于 ……10 分 故 ： h（x）在 上的值域为 [-1，2]．…………12 分 19. 解 ： （ 1 ） 由 已 知 f （ -x ） =-f （ x ） ， ∴ ∴ ， a=-2， ……………………3 分 ∵ ， ∴ 为 单调 递 增函 数．…………6 分 （2）∵ ， ∴ ，而 f（x）为奇函数， ∴ ………………7 分 ∵f（x）为单调递增函数，∴ ，………………8 分 ∴ ，∴-3≤log2x≤1， ………………10 分 20.解：（1）如图，设 中点为 ，连接 ，又设 , 则 ， 又 ， ， 又 ， 即 ， 且 ， ， ， 在 ，由三线合一可得， 。 …………6 分 （2）因为平面 平面 ,平面 平面 ，且 ，故 ， 分 别 以 ， 则 ， …………8 分 故 ， 设 面 的 法 向 量 ，则有 ， …………………………9 分 同理得：面 得法向量 ， …………………………10 分 设所求二面角为 ， 则 ， ……………………11 分 故 . ………………………………12 分 21. 解析：（1）证明：把 P(2，4)代入 ，得 h=6。…………2 分 所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由 ，消去 y， 得 所以 ， ………………4 分 因为 PA 和 PB 的倾斜角互补，所以 ，用－k 代 k， 得 ， ……………………………………5 分 所以 = . ……………………6 分 （2）设 AB 的方程为 y=2x+m(m＞0)，由 ，消去 y 得： ，令△=16－4(2m－12) ＞0，解得 0＜m＜8， …………7 分 ， ………………9 分 点 P 到 AB 的距离 d= ， ………………………………10 分 所以， = ，所以， ， …………………11 分 当且仅当 ，即 时，等号成立，故△PAB 面积最大值为 .……12 分 22.解：（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1， ∴x＞1， ， …………………………1 分 ∵x＞1，∴当 k≤0 时， ＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函 数；…………2 分 当 k＞0 时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．……………4 分 （2）∵f（x）≤0 恒成立， ∴∀x＞1，ln（x-1）-k（x-1）+1≤0， ∴∀x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，∴k＞0． …………6 分 由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln ≤0，解得 k≥1． 故实数 k 的取值范围是[1，+∞）． ……………………8 分 （3）令 k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2 对 x∈（1，+∞）恒成立， 即 lnx≤x-1 对 x∈（0，+∞）恒成立． …………9 分 取 x=n2，则 2lnn≤n2-1， …………10 分 即 ，n≥2， ……………………11 分 ∴ ………………12 分