2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-7
11.7.1 离散型随机变量的均值与方差
核心考点·精准研析
考点一 离散型随机变量的均值与方差的计算问题
1.已知随机变量ξ的分布列为:
ξ
1
-4
2
P
x
y
若E(ξ)=,则D(ξ)= ( )
A. B. C. D.
2.(2020·太原模拟)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0
1.75,则p的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量ξ的分布列为:
ξ
-1
0
2
P
x
y
z
若E(ξ)=,D(ξ)=1,则x,y,z的值分别为________.
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【解析】1.选C.因为x++y=1,
所以x+y=,
因为E(ξ)=x+(-4)×+2y=,
所以x+2y=,
所以x=,y=,
所以D(ξ)=×+-4-2×+×=.
2.选A.由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,
P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,
则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,
解得p>或p<,
由p∈(0,1)可得p∈.
3.由分布列的性质得x+y+z=1,
由期望的定义得E=-x+2z=,
由方差的定义得D=x+y+z=1,整理得16x+y+25z=9,
解得x=,y=,z=.
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答案: , ,
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.
考点二 二项分布、正态分布的均值与方差
【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.
【解析】因为X～B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
答案:1.96
2.某城市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列.
(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数.
(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为多少?(精确到小数点后2位)
(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及均值.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
由直方图联想到所有的矩形面积之和为1
(2)
“使80%以上”联想到面积等于0.8的边界
(3)
“人数记为X”联想到二项分布
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【解析】(1)因为前四组频数成等差数列,
所以所对应的也成等差数列,
设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,
所以0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d
+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,
解得d=0.1,所以a=0.3,b=0.4,c=0.5.
居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5=0.25,
居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100=25.
(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,
所以为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米.
应规定w=2.5+×0.5≈2.83.
(3)将频率视为概率,设A(单位:立方米)代表居民月用水量,可知P(A≤2.5)=0.7,由题意,X～B(3,0.7),
P(X=0)=×0.33=0.027,
P(X=1)=×0.32×0.7=0.189,
P(X=2)=×0.3×0.72=0.441,
P(X=3)=×0.73=0.343.所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
所以E(X)=np=2.1.
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式求解,可大大减少计算量.
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(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用公式求出E(aξ+b).
若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1-1-×1-=1-=,设X为3次试验中成功的次数,所以X～B3,,故所求概率P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×0×3=.
考点三 离散型随机变量的均值、方差的实际问题
命
题
精
解
读
考什么:考查实际背景下求离散型随机变量的分布列、均值、方差
怎么考:(1)直接求分布列、均值、方差
(2)通过均值、方差,作出决策
新趋势:与统计、函数、不等式等知识交汇考查考生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力
学
霸
好
方
法
1.实际背景下离散型随机变量的分布列、均值、方差的问题的步骤
(1)阅读题目,读取信息,翻译成数学语言描述的数学问题
(2)设出随机变量,求出各个变量取值对应的概率,写出分布列,根据均值、方差定义求出均值、方差
(3)根据均值、方差的统计意义作出决策
2.交汇问题
根据离散型随机变量的分布列、均值、方差的性质及意义,结合统计、函数、不等式等知识,解决实际问题
实际问题中求均值、方差
【典例】小明早上从家里出发到学校上课,如图所示,有两条路线可走,
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且走哪条路线的可能性是相同的,图中A、B、C、D处都有红绿灯,小明在每个红绿灯处遇到红灯的概率都是,且各个红绿灯处遇到红灯的事件是相互独立的,每次遇到红灯都需等候10秒.
(1)求小明没有遇到红灯的概率.
(2)记小明等候的总时间为ξ,求ξ的分布列并求数学期望E(ξ).
【解析】(1)记“小明没有遇到红灯”为事件A,则P(A)=×+×=.
(2)由题可知:ξ=0,10,20,30,
P(ξ=0)=,P(ξ=10)=+=,
P(ξ=20)=+=,
P(ξ=30)==,
所以ξ的分布列:
ξ
0
10
20
30
P
所以E=0×+10×+20×+30×=.
实际问题中应用均值、方差作决策
【典例】现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:
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一、投资股市:
投资结果
获利40%
不赔不赚
亏损20%
概 率
二、购买基金:
投资结果
获利20%
不赔不赚
亏损10%
概率
p
q
(1)当p=时,求q的值.
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围.
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=,q=,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.
【解析】(1)因为“购买基金”后,投资结果只有“获利20%”“不赔不赚”“亏损10%”三种,且三种投资结果相互独立,所以p++q=1.
又因为p=,所以q=.
(2)记事件A为“甲投资股市且盈利”,事件B为“乙购买基金且盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”,
则C=A∪B∪AB,且A,B相互独立.
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由题干中表格可知,P(A)=,P(B)=p.
所以P(C)=P(A)+P(B)+P(AB)
=×(1-p)+×p+×p=+p.
因为P(C)=+p>,所以p>.
又因为p++q=1,q≥0,所以p≤,
所以E(Y),所以丙选择“投资股市”,才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
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1.据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的42%来自于植树造林,下表是中国十个地区在某年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷
造林方式
地区
造林
总面积
人工
造林
飞播
造林
新封山
育林
退化林
修复
人工
更新
内蒙古
618 484
311 052
74 094
136 006
90 382
6 950
河北
583 361
345 625
33 333
135 107
65 653
3 643
河南
149 002
97 647
13 429
22 417
15 376
133
重庆
226 333
100 600
62 400
63 333
陕西
297 642
184 108
33 602
63 865
16 067
甘肃
325 580
260 144
57 438
7 998
新疆
263 903
118 105
6 264
126 647
10 796
2 091
青海
178 414
16 051
159 734
2 629
宁夏
91 531
58 960
22 938
8 298
1 335
北京
19 064
10 012
4 000
3 999
1 053
(1)请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区.
(2)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过50%的概率是多少?
(3)在这十个地区中,从新封山育林面积超过五万公顷的地区中,任选两个地区,记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数,求X的分布列及数学期望.
【解析】(1)
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人工造林面积与总面积比值最大的地区为甘肃省,人工造林面积与总面积比值最小的地区为青海省.
(2)设“在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比值超过50%”为事件A,在十个地区中,有7个地区(内蒙古、河北、河南、陕西、甘肃、宁夏、北京)人工造林面积占总面积比值超过50%,则P(A)=.
(3)新封山育林面积超过五万公顷的有7个地区:内蒙古、河北、重庆、陕西、甘肃、新疆、青海,其中退化林修复面积超过六万公顷的有3个地区:内蒙古、河北、重庆,
所以X的取值为0,1,2,所以P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
期望为E(X)=0×+1×+2×=.
2.某次飞镖比赛中,规定每人最多发射3镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,如果前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1为0.25,在N处的命中率为q2,该选手选择先在M处发射第一镖,以后都在N处发射.用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为:
X
0
2
3
4
5
P
0.03
P1
P2
P3
P4
(1)求随机变量X的数学期望E(X).
(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.
【解析】(1)设“该选手在M处射中”为事件A,“在N处射中”
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为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P()=0.75,P(B)=q2,P()=1-q2.根据分布列知: 当X=0时,P()=P()P()P()=0.75=0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8.
当X=2时, P1=P(B+B)=P(B)+P(B)
=P()P(B)P()+P()P()P(B)
=0.75q2×2=0.24,当X=3时, P2=P(A)
=P(A)P()P()=0.25=0.01,
当X=4时, P3=P(BB)=P()P(B)P(B)=0.75q22=0.48,
当X=5时, P4=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)
=P(A)P()P(B)+P(A)P(B)=0.25(1-q2)q2+0.25q2=0.24,所以随机变量X的分布列为:
X
0
2
3
4
5
P
0.03
0.24
0.01
0.48
0.24
所以随机变量X的数学期望E(X)=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63.
(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.
该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率为
P(BB+BB+BB)=P(BB)+P(BB)+P(BB)=2(1-q2)+=0.896.所以该选手选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大.
某项目的射击比赛,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在200米处,若第三次命中记1分,并停止射击;若第三次未命中,则记0分.已知射手甲在100米处击中目标的概率为,他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.
(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率.
(2)求这名射手在这次比赛中得分的数学期望.
【解析】(1)设事件Ai
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(i=1,2,3):第i次射击命中目标,事件B:三次都未命中目标.则P(A1)=.
设在x米处击中目标的概率为P(x),
则P(x)=(x=100,150,200).
由=,得k=5 000,所以P(x)=,
所以 P(A2)==,P(A3)==,
P(B)=(1-)(1-)(1-)=,
所以该射手在三次射击中命中目标的概率为P()=1-P(B)=1-=.
(2)设射手甲得分为ξ,则P=,P=××=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=,
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
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