【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第7讲二项分布及其应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第十章计数原理、概率第7讲二项分布及其应用学案

第7讲　二项分布及其应用 最新考纲　1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1；‎ ‎(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2.事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.‎ ‎(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).‎ ‎3.独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则 P(A‎1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　)‎ ‎(2)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B).(　　)‎ ‎(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.(　　)‎ 解析　对于(2)，若A，B独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，若A，B不独立，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)，故(2)不正确.‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)√‎ ‎2.(选修2－3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形 状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ 故P(B|A)＝＝.‎ 答案　B ‎3.设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　X～B，由二项分布可得，‎ P(X＝3)＝C·＝.‎ 答案　A ‎4.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.‎ 答案　B ‎5.(2017·嘉兴七校联考)天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为________.‎ 解析　∵甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75，‎ ‎∴甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1、0.2、0.25，‎ 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.25＝0.005，‎ 故至少一个地方降雨的概率为1－0.005＝0.995.‎ 答案　0.995‎ ‎6.连续掷一个质地均匀的骰子3次，各次互不影响，则恰好有一次出现1点的概率为________.‎ 解析　掷一次骰子出现1点的概率为P＝，所以所求概率为P＝C··＝.‎ 答案　 考点一　条件概率 ‎【例1】 (1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A.0.8 ‎‎ B.‎0.75 ‎ C.0.6 D.0.45‎ 解析　(1)法一　事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个.‎ 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1.‎ 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.‎ 法二　P(A)＝＝，P(AB)＝＝.‎ 由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.‎ ‎(2)记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.‎ 答案　(1)B　(2)A 规律方法　(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法.‎ ‎(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎【训练1】 (2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，‎ 在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为(　　)‎ A.0.6 ‎‎ B.‎0.7 ‎C.0.8 D.0.9‎ 解析　设“第一个路口遇到红灯”为事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，则P(B|A)＝＝0.8.‎ 答案　C 考点二　相互独立事件的概率 ‎【例2】 (2017·东阳调研)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；‎ ‎(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.‎ 解　记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.‎ ‎(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，‎ 于是P()＝P()P()＝×＝，‎ 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)＝×＝，P(X＝100)＝P()＝×＝＝，‎ P(X＝120)＝P(F)＝×＝，‎ P(X＝220)＝P(E)＝×＝＝.‎ 故所求的分布列为 X ‎0‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎220‎ P 规律方法　(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.‎ ‎②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. ‎ ‎【训练2】 为了迎接2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.‎ ‎(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；‎ ‎(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.‎ 解　(1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有 即 所以P(B)＝，P(C)＝.‎ ‎(2)有0个家庭回答对的概率为 P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝，‎ 有1个家庭回答对的概率为P1＝P(A＋B＋C)＝××＋××＋××＝，‎ 所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.‎ 考点三　独立重复试验与二项分布 ‎【例3】 (2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.‎ 解　(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，‎ A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，‎ B为“顾客抽奖1次能获奖”，‎ 则表示“顾客抽奖1次没有获奖”.‎ 由题意A1与A2相互独立，则1与2相互独立，且＝1·2，因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，‎ 所以P()＝P(1·2)＝·＝，‎ 故所求事件的概率P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C，‎ 由P(C)＝P(A1·A2) ＝P(A1)·P(A2)＝，‎ 顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B，‎ 于是P(X＝0)＝C＝，‎ P(X＝1)＝C＝，‎ P(X＝2)＝C＝，‎ P(X＝3)＝C＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 规律方法　利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.‎ ‎【训练3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；‎ ‎(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.‎ 解　(1)设“每盘游戏中击鼓三次后，出现音乐的次数为ξ”.依题意，ξ的取值可能为0‎ ‎，1，2，3，且ξ～B，则P(ξ＝k)＝C＝C·.‎ 又每盘游戏得分X的取值为10，20，100，－200.根据题意 则P(X＝10)＝P(ξ＝1)＝C＝，‎ P(X＝20)＝P(ξ＝2)＝C＝，‎ P(X＝100)＝P(ξ＝3)＝C＝，‎ P(X＝－200)＝P(ξ＝0)＝C＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎－200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，‎ 则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.‎ 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 ‎1－P(A‎1A2A3)＝1－＝1－＝.‎ 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法.‎ ‎2.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).‎ ‎3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.‎ ‎(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.‎ ‎(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立.‎ ‎2.独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.‎ ‎3.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. ‎