2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第12章 计数原理

2018高考数学（理）复习-2013-2017高考分类汇编-第12章 计数原理

第十二章 计数原理 第1节 两个基本计数原理 题型135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎1. (2013重庆理13）‎ ‎ 从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、‎ 脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是 （用数字作答）.‎ ‎2．（2013四川理8）从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得 到的不同值的个数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. (2013福建理5）满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 福建理 10）用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从个红球和个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”用表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从个无区别的蓝球、个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）.‎ ‎ A.‎ ‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎5.（2014 大纲理 5） 有名男医生，名女医生，从中选出名男医生，名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）.‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎ ‎6.（2014 浙江理 14）在张奖券中有一、二、三等奖各张，其余张无奖.将这张奖券分配给个人，每人张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.‎ ‎7.（2015广东理8）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）.‎ A．至多等于 B．至多等于 C．等于 D．大于 ‎7.解析 正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中个不同的点两两距离都相等，则 正整数可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为，，，，则构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点，则点和点，，也要构成一个正四面体，此时点要么跟点重合，要么点和点关于平面对称，但此时的长又不等于，故矛盾．故选B．‎ ‎8.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）.‎ A.24‎ B.18‎ C.12‎ D.9‎ ‎8. B 解析 从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B．‎ ‎9．（2016上海理13）设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 ．‎ ‎9．解析 ①当时，若，则； 若，则；‎ ②当时，若，则；若，则．共组．故填．‎ 评注 或者如此考虑，当确定时，也唯一确定，因此有种组合．‎ ‎10.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）‎ ‎10.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有种选法；‎ 第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有种选法．‎ 所以共有种选法．‎ 解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有种选法，2女2男有种选法；‎ 第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有种选法．‎ 所以共有 种选法．‎ 第2节 排列与组合 题型136 与排列相关的常见问题 ‎1.（2013浙江理14）将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）‎ ‎2.（2013山东理10）用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）.‎ A. B. C. 261 D. ‎ ‎3.（2014 重庆理 9）某次联欢会要安排个歌舞类节目、个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 四川理 6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）.‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎5.（2014 辽宁理 6）把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎6. （2014 北京理 13）把件不同产品摆成一排.若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种.‎ ‎7.（2015四川理6）6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比大的偶数共有（ ）.‎ A. 个 B. 120个 C. 个 D. 个 ‎7.解析 由题意可知，万位上只能排.若万位上排4，则有个；‎ 若万位上排5，则有个.所以共有（个）.故选B.‎ ‎8.（2016四川理4）用数字，，，，组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎8.D解析 由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为、、，其他位置共有，所以其中奇数的个数为.故选D. ‎ 题型137 与组合相关的常见问题 ‎1．（2013四川理8）从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 ‎，共可得到的不同值的个数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2. (2013福建理5）满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（2015广东理12）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ ‎3.解析 两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，‎ 所以全班共写了条毕业留言．故应填．‎ ‎4.（2016全国丙理12）定义“规范数列”如下：共有项，其中项为，项为 ‎，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数 列”共有（ ）.‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎4.C 解析 依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第项为1，当时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“‎0”‎和3个“‎1”‎.‎ 分类讨论：①若0后接00，如图所示.‎ 后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有种排法；‎ ‎②若0后接01如图所示.‎ 后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有种排法；‎ ‎③若0后接10，如图所示.‎ 在10后若接0，则后面有种排法，在10后若接1，即0 1 0 1 0 1，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，‎ 有中排法，则满足题意的排法有种.故选C.‎ 题型138 排列与与组合综合的常见问题——暂无 ‎1.（2016江苏23）（1）求的值；‎ ‎（2）设，，求证：．‎ ‎1.解析 （1）；‎ ‎（2）证法一（组合数性质）：‎ 因为，‎ 所以左边 ‎，又因为，‎ 所以左边右边． ‎ 证法二（数学归纳法）：对任意的，‎ ‎①当时，左边，右边，等式成立.‎ ‎②假设时命题成立，即 ‎，‎ 当时，左边 ‎.‎ 又由于右边，而 ‎．‎ 因此，因此左边右边，因此时命题也成立．‎ 综合①②可得命题对任意均成立．‎ 评注 本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有，，，而且还有此题中出现的 ‎，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．‎ ‎2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.‎ ‎2.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有个(或个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有.故由分类计数原理得这样的四位数共有个.‎ ‎3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎3．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得.故选D.‎ 第3节 二项式定理 题型139 二项式定理展开式的通项及系数 ‎1. (2013全国新课标卷理5） 已知的展开式中的系数为，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013辽宁理7）使得的展开式中含有常数项的最小的为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. (2013陕西理8）设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．（2013江西理5）展开式中的常数项为（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（2013四川理11）二项式的展开式中，含的项的系数是____________．（用数字作答） 9.(2013天津理10）的二项展开式中的常数项为 ．‎ ‎6. (2013安徽理11）若的展开式中的系数为，则实数 .‎ ‎7.（2013浙江理11）设二项式的展开式中常数项为，则________.‎ ‎8.（2014 浙江理 5）在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.（2014 四川理 2）在的展开式中，含项的系数为（ ）.‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.（2014 湖南理 4）的展开式中的系数是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11.（2014 湖北理 2）若二项式的展开式中的系数是，则实数（ ）.‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎12.（2014 安徽理 13） ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 设，是大于1的自然数，的展开式为.若点，的位置如图所示，则 . ‎ ‎13.（2014 大纲理 13） 的展开式中的系数为 .‎ ‎14.（2014 山东理 14）若的展开式中项的系数为，则的最小值为.‎ ‎15.（2014 新课标1理13）的展开式中的系数为 .（用数字填写答案）‎ ‎16.（2014 新课标2理13）的展开式中，的系数为15，则 .（用数字填写答案）‎ ‎17.（2015湖南理6）已知的展开式中含的项的系数为，则（ ）.‎ A. B. C. 6 D.‎ ‎17.解析 ，令，解得，可得，.‎ 故选D.‎ ‎18.（2015全国1理10）的展开式中，的系数为（ ）.‎ A．10 B．‎20 C．30 D．60‎ ‎18.解析 ．展开式中含的项为：‎ ‎，而中含的项为，‎ 所以的系数为.故选C．‎ ‎19.（2015陕西理4）二项式的展开式中的系数为15，则（ ）．‎ A．4 B．‎5 C．6 D．7‎ ‎19.解析 根据二项式定理，的系数应该为，得，‎ 所以.故选C.‎ ‎20.（2015湖北理3）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项 的二项式系数和为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎20.解析 由条件知，得.奇数项的二项式系数和为.故选D.‎ ‎21.(2015安徽理11)的展开式中的系数是________（用数字填写答案）.‎ ‎21.解析 因为，令，得，‎ 所以，即的系数是．‎ ‎22.（2015重庆理12）的展开式中的系数是________(用数字作答).‎ ‎22.解析 由二项式的定． ‎ 当时，易得，故系数为．‎ ‎23.（2015天津理12）在 的展开式中，的系数为________ .‎ ‎23.解析 展开式的通项为，‎ 由得，所以，所以的系数为.‎ ‎24.（2015四川理11）在的展开式中，含的项的系数是_____________‎ ‎（用数字填写答案）.‎ ‎24.解析 由二项式的展开式的通项公式为，‎ 可知当时，为含的项.所以含的项的系数为.‎ ‎25.（2015全国2理15） 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，‎ 则__________．‎ ‎25.解析 由题意知，，‎ 故的展开式中的奇数次幂分别为，，，，这五项，‎ 其系数之和为，解得．‎ ‎26.（2015北京理9）在的展开式中，的系数为____________ .（用数字作答）‎ ‎26.解析 展开式的通项公式，‎ 的系数为.‎ ‎27.（2015福建理11） 的展开式中， 的系数等于____________．（用数字作答）‎ ‎27.解析 的展开式中项为，所以的系数等于．‎ ‎28.（2015广东理9）在的展开式中，的系数为___________．‎ ‎28.解析 由题可知，令，解得，‎ 所以展开式中的系数为．故应填6．‎ ‎29.（2016北京理10）在的展开式中，的系数为________________（用数字作答）.‎ ‎29. 解析 在的展开式中，含的项为，所以的系数为.‎ ‎30.（2016四川理2）设为虚数单位，则的展开式中含的项为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎30. A 解析 二项式展开的通项，则其展开式中含是当，即，则展开式中含的项为，故选A.‎ ‎31.（2016天津理10）的展开式中的系数为__________ (用数字作答) .‎ ‎31. 解析 展开式通项为.‎ 令，得，所以的系数为．‎ ‎32.（2016全国乙理14）的展开式中，的系数是 （用数字填写答案）.‎ ‎32. 解析 的展开式的通项公式为 ‎.‎ 令，得.故的系数是.‎ ‎33.（2016山东理12）若的展开式中，的系数是，则实数_______.‎ ‎33. 解析 由题意，.‎ ‎34.（2016上海理8）在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于 ．‎ ‎34. 解析 由题意，，‎ 第项．‎ 令，则，故常数项为．故填．‎ ‎35．（2017浙江13）已知多项式，则___________，________.‎ ‎35.解析 ，所以，．‎ ‎36.（2107山东理11）已知的展开式中含有项的系数是，则 .‎ ‎36. 解析 ，令，得，解得．‎ ‎37.（2017全国3卷理科4）的展开式中的系数为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎37．解析 由二项式定理可得，原式展开中含的项为，则的系数为40，故选C.‎ ‎38.（2017全国1卷理科6）展开式中的系数为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎38. 解析 ，对二项式展开中项的系数为 ‎，对二项式展开中项的系数为，所以的系数为 ‎.故选C.‎