江苏省南通市2021届高三上学期12月月考模拟测试数学试题 Word版含答案

江苏省南通市2021届高三上学期12月月考模拟测试数学试题 Word版含答案

1 江苏省南通市2021 届高三月考模拟测试 数学试题 2020.12 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1． 设集合 2{ | 0}M x x x   ， { | 2}N x x  ，则 M N  ( ) A. { | 0}x x  B. { |1 2}x x  C. { | 0 1}x x  D. { | 0x x  或1 2}x  2．已知函数     log 1 0, 1af x x a a a    且 ，则“ 1a  ”是“    3f x  在 ， 上 是增函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若复数 z 满足 (1 ) 2z i i   （其中i 为虚数单位），则 z 的共轭复数是 ( ) A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  4．函数 2 2( ) ex x xf x  的大致图象是（ ） A． B． C． D． 5．已知四边形 ABCD 中，E ，F 分别为 BC ，CD 的中点， 2AB DC  ， 0AD AB   ， 若| | 2 | | 2AB AD   ，则 AF DE   （ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D．1 6．要得到函数 sin cos y x x  的图象，只要将函数 sin cosy x x  的图象（ ）． A．向左平移 π 4 个单位 B．向右平移 π 4 个单位 2 C．向左平移 π 2 个单位 D．向右平移 π 2 个单位 7．在三棱锥 P ABC 中，PA  平面 ABC ， 2 3BAC   ， 3AP  ， 2 3AB  ，Q 是边 BC 上的一动点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 3  则三校锥 P ABC 的外接球的表 面积为 ( ) A． 50 B． 55 C． 57 D．108 8．已知函数 2( ) 6 3f x x x    ， ( ) xe exg x ex  ，实数 m ，n 满足 0m n  ，若 1 [x m  ， ]n ， 2 (0, )x   ，使得 1 2( ) ( )f x g x 成立，则 n m 的最大值为 ( ) A．4 B． 2 3 C． 4 3 D． 2 5 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．将函数    sin 0f x x   的图象向右平移 12  个单位长度得到函数  y g x 的图象， 若函数  g x 在区间 0, 2      上是单调增函数，则实数 可能的取值为（ ） A. 2 3 B. 1 C. 5 6 D. 2 10．已知下列命题： 1 : 0p x  ，使 2 1lg lg4x x     ； 2 :p 若sin 0x  ，则 1sin 2sinx x   恒成立； 3 : 0p x y  的充要条件是 1x y   ． 下列命题中为假命题的是（ ）． A． 1 2p p B． 1 2p p  C．  1 2p p  D． 2 3p p 11．已知定义在[0, )2  上的函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，且 (0) 0f  ， ( )cos ( )sin 0f x x f x x   ， 则下列判断中正确的是 ( ) 3 A． 6( ) ( )6 2 4f f  B． ( ) 03f ln  C． ( ) 2 ( )6 3f f  D． ( ) 2 ( )4 3f f  12．已知边长为 2 的等边 ABC ，点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点，满足 DE∥BC 且  0,1AD AC    ， ADE将 沿直线 DE 折到 A DE 的位置，在翻折过程中，下列结论 成立的是 A．在边 A E 上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF//平面 A CD B．存在 10, 2      ，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面 A BC  平面 BCDE C ． 若 1 2   ， 当 二 面 角 A DE B  等 于 60 时 ， 7 2A B  D．在翻折过程中，四棱锥 A BCDE  积的最大值记为    ,f f  的最大值为 2 3 9 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。 13． 《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称勾股定理为 商高定理．我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数．现从6 ，7 ，8 ， 9，10 这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的概率为 ． 14．若函数 1 , ,( ) | 2 |, x af x x x x a      ≥ 在区间 ( , )a 上单调递减，在 ( , )a  上单调递增， 则实数 a 的取值范围是 ． 15．已知数列{an}的首项是 11 a ，且 11  n naa n n ，则数列{an}的通项公为 . 16．已知 1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 1 2 3F PF   ，椭 圆的离心率为 1e ，双曲线的离心率 2e ，则 2 2 1 2 1 3 e e   ． 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 在① 3 sin cosa c A a C  ，②   2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C    两个条件中任选 一个，补充在下列问题中，并解答． 已知 ABC△ 的角 A ， B ，C 对边分别为 a ，b ， c ， 3c  且______． （1）求 C ； （2）求 ABC△ 周长的最大值． 18．(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 { }na 的 前 n 项 和 为 nS ， 且 12 2( 2, )n nS S n n     N ， 数 列 { }nb 中 ， 1 12 2a b  ． （1）求{ }na 的通项公式； （2）若 2 2 1 1n nb b   ， 2 1 2n n nb b a   ，求数列{ }nb 的前10 项和． 19．(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD  底面 ABCD ， / /AD BC ， 90ABC   ， 45BCD   ， 2BC AD ． （1）求证： BD PC ； （2）若 PC BC ，求平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值． 5 20．(本小题满分 12 分) （12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文 化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机 抽取了 n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分 布直方图．将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间 低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟 的有 10 人． （1）求 n ， p 的值； （2）根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95% 以上的把握认为“读书之星” 与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量 X ， 求 X 的分布列和期望 ( )E X ． 附：        2 2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d         其中 ． 2 0( )P K k… 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 6 21．(本小题满分 12 分) 设中心在原点 O ，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 1( 3, )2A ， F 为 C 的右焦点， F 的方程为 2 2 112 3 04x y x    ． （1）求 C 的方程； （2）若直线 : ( 3)( 0)l y k x k   与 O 相切，与 F 交于 M 、N 两点，与 C 交于 P 、Q 两 点，其中 M 、 P 在第一象限，记 O 的面积为 ( )S k ，求 (| | | |) ( )NQ MP S k  取最大值时， 直线 l 的方程． 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) alnxf x xx   ． （1）当 1a  时，判断 ( )f x 的单调性，并求 ( )f x 在 1[e ， ]e 上的最值； （2） 0 (0x  ， ]e ， 0( ) 2f x a „ ，求 a 的取值范围． 7 江苏省南通市2021 届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. D 7. C 8. A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.ABC 10. ABD 11. CD 12. CD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．。 13． 1 10 14．[ 2,0] 15． nan 1 16．4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．17．解：（1）选①，∵ 3 sin cosa c A a C  ， ∴sin 3sin sin sin cosA C A A C  ． ∵sin 0A  ，∴ 3sin cos 1C C  ，即 π 1sin 6 2C     ． 又 0 πC  ，∴ π π 5π 6 6 6C    ，故 π π 6 6C   ，即 π 3C  ． 选②，∵   2 sin 2 sin 2 sina b A b a B c C    ， ∴    22 2 2a b a b a b c    ，即 2 2 2a b c ab   ， ∴ 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab    ， ∵ 0 πC  ，∴ π 3C  ． （2）由（1）可知， π 3C  ， 在 ABC△ 中，由余弦定理得 2 2 2 cos 3a b ab C   ，即 2 2 3a b ab   ， 8 ∴   2 2 33 3 4 a ba b ab     ， ∴ 2 3a b  ，当且仅当 a b 时取等号， ∴ 3 3a b c   ，即 ABC△ 周长的最大值为 3 3 ． 18．（1）由 12 2( 2)n nS S n   ①，可得 1 22 2( 3)n nS S n    ②， ① ② 1 1 22( )n n n nS S S S     ，所以 12 ( 3)n na a n  ， 又 2 1 12 2a a a   ， 1 2a  ，所以 2 4a  ，所以 2 12a a ， 故{ }na 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，故 2n na  ． （2）由题意得 2 2 1 1n nb b   ， 2 1 2 2n n nb b   ，所以 2 1 2 1 1 2n n nb b    ， 则 1 2 1 2 3 1 2n n nb b      ， 2 2 3 2 5 1 2n n nb b      ，…， 2 5 3 1 2b b   ， 1 3 1 1 2b b   ， 所以 1 1 2 1 2 1 1 2(1 2 )1 (2 2 2 ) 1 2 3( 2)1 2 n n n nb b n n n n                  ， 所以 2 1 2 2( 2)n nb n n     ，所以 2 2 1( 2)n nb n n    ， 所以 1 2 2 1 2 2 3( 2)n n nb b n n      ，易得 1 2b b 也适合上式， 所 以 { }nb 的 前 10 项 和 为 2 3 6 1 2 9 10 (2 2 2 ) ( 1 1 7) 139b b b b                ． 19．解：（1）证明：取 BC 的中点 E ，连接 DE ． 因为 2BC AD ，所以 AD BE ． 又因为 / /AD BC ，所以四边形 ABED 是平行四边形． 因为 90ABC   所以四边形 ABED 是矩形．所以 DE BC ． 又 45BCD   所以 1 2DE CE BC  ． 所以 ABCD 是直角三角形，即 BD CD ． 又 PD  底面 ABCD ， BD  底面 ABCD ，所以 BD PD ． 又 PD ， CD  平面 PCD ，且 PD CD D ．所以 BD  平面 PCD ． 9 又 PC  平面 PCD ，所以 BD PC ． （2）解法一：因为 / /AD BC ， AD  平面 PAD ， BC  平面 PAD ， 所以 / /BC 平面 PAD ． 设平面 PAD 和平面 PBC 的交线为 l ，则 / /BC l ， 连接 PE ，因为 DE BC ，且 BC PD 所以 BC  平面 PDE ，所以 l  平面 PDE ．所以 l PD ， l PE 所以 EPD 是平面 PAD 和平面 PBC 所成二面角的平面角． 设 1AD  ，则 2BC  ，由（1）知 1DE  ， 2DC  ． 又 PC BC ，所以 2PD  ． 在 PED 中， 90PDE   ， 3PE  ，所以 6cos 3 PDEPD PE    所以平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 ． 解法二：如图，以 D 为坐标原点，分别以 DB ，DC ，DP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立 空间直角坐标系 D xyz ， 设 1AD  ，则 2BC  ，由（1）知 1DE  ， 2DC  ， 2DB  ．又 PC BC ，所以 2PD  ． 所以 2 2( 2,0,0), (0, 2,0), (0,0, 2), ( , ,0)2 2B C P E 所以 ( 2, 2,0)BC   ， (0, 2, 2)PC   ． 设平面 PBC 的法向量为 (n x ， y ， )z ， 则 0 0 n BC n PC      ，即 2 2 0 2 2 0 x y y z      ，取 1x  ，则 1y  ， 1z  ， 所以平面 PBC 的一个法向量为 (1n  ，1，1) ． 又平面 PAD 的一个法向量为 2 2( ,2 2m DE  ， 0) ， 所以 2 6cos , | | | | 33 1 m nm n m n           ． 所以平面 PAD 和平面 PBC 所成的角（锐角）的余弦值为 6 3 ． 10 20. 解：（1）由频率分布直方图可知 0.01p  ， 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人． 10 1000.1n   ． （2） 100n  ， “读书之星”有100 0.25 25  ， 从而 2 2 列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 2 2 列联表中的数据代入公式计算得： 2 2 100 (30 10 15 45) 100 3.030 3.84145 55 75 25 25K         ． 没有 95% 以上的把握认为“读书之星”与性别有关． （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4 ， 由题意得 1~ (3, )4X B ， 0 3 3 3 27( 0) ( )4 64P X C    ， 11 1 2 3 1 3 27( 1) ( )( )4 4 64P X C   ， 2 2 3 1 3 9( 2) ( ) ( )4 4 49P X C    ， 3 3 3 1 1( 3) ( )4 64P X C   ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 1 3( ) 3 4 4E X    ． 21. 解：（1）解：设 C 的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ． 由题设知 2 2 3 1 14a b   ① 因为 F 的标准方程为 2 2 1( 3) 4x y   ， 所以 F 的坐标为 ( 3,0) ，半径 1 2r  ． 设左焦点为 1F ，则 1F 的坐标为 ( 3,0) ． 由椭圆定义，可得 2 2 2 2 1 1 12 | | | | [ 3 ( 3)] ( 0) ( 3 3) ( 0)2 2a AF AF           ② 由①②解得 2a  ， 1b  ． 所以 C 的方程为 2 2 14 x y  ． （2）由题设可知， M 在 C 外， N 在 C 内， P 在 F 内，Q 在 F 外，在直线 l 上的四点满 足| | | | | |MP MN NP  ，| | | | | |NQ PQ NP  ． 由 2 2 ( 3) 14 y k x x y      消去 y 得 2 2 2 2(1 4 ) 8 3 12 4 0k x k x k     因为直线 l 过椭圆 C 内的右焦点 F ， 所以该方程的判别式△ 0 恒成立． 设 1(P x ， 1)y ， 2(Q x ， 2 )y 由韦达定理，得 2 1 2 2 8 3 1 4 kx x k    ， 2 1 2 2 12 4 1 4 kx x k   ． 12 2 2 2 1 2 1 2 2 4 4| | (1 )[( ) 4 ] 4 1 kPQ k x x x x k       又因为 F 的直径| | 1MN  ， 所以 2 3| | | | | | | | (| | | |) | | | | | | 1 4 1NQ MP PQ NP MN NP PQ MN PQ k            ． ( 3)y k x  可化为 3 0kx y k   ． 因为 l 与 O 相切，所以 O 的半径 2 3 1 kR k   ， 所以 2 2 2 3( ) 1 kS k R k    ． 所以 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 9 9 9 9(| | | |) ( ) 1(4 1)( 1) 4 5 1 14 5 2 4 5 k kNQ MP S k k k k k k kk k                  „ ． 当且仅当 2 2 14k k  ，即 2 2k  时等号成立． 因此，直线 l 的方程为 2 ( 3)2y x  ． 22．解：（1）挡 1a  时， ( ) lnxf x xx   ，定义域为 (0, ) ， 2 2 2 1 1( ) 1lnx x lnxf x x x        ， 设 2( ) 1g x x lnx   ， 则 22 1 ( 2 1)( 2 1)( ) x x xg x x x      ， 令 ( ) 0g x  ，解得 2 2x  ， 函数 ( )g x 在 2(0, )2 上单调递减，在 2( 2 ， ) 上单调递增， 则 2 3 2( ) ( ) 02 2 2min lng x g    ， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数， 13 故 ( )f x 在 1[e ， ]e 上的最大值为 f （e） 1 ee   ，最小值为 1 1( )f ee e   ． （2） 0( ) 2f x a „ 可转化为 2 0 0 0 02 ( )x x a x lnx „ ， 令 ( )h x x lnx  ， 则 1( ) xh x x   ， 0x  ， 当 0 1x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )h x 单调递减， 当 1x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )h x 单调递增， ( )minh x h  （1） 1 0  ， 于是 2 0 0 0 0 2x xa x lnx  … ， 令 2 2( ) x xx x lnx    ， (0x ， ]e ， 则 2 2 (2 2)( ) ( 2)( 1) ( 1)( 2 2)( ) ( ) ( ) x x lnx x x x x lnxx x lnx x lnx             ， 2 2 2(1 ) 0lnx lnx   … ， ( )x 在 (0 ，1]上单调递减，在 (1, )e 上单调递增， 故 ( )minx  （1） 1  ， 从而 1a … ， 故 a 的取值范围是[ 1 ， ) ．