江苏省南通市海安县南莫中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省南通市海安县南莫中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 高一数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知集合A，B，由此能求出．‎ ‎【详解】解：∵集合， ‎ ‎∴． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．‎ ‎【详解】解：A．与的解析式不同，两函数不相同；‎ B.的定义域为，的定义域为 ‎，定义域不同，两函数不相同；‎ C．与的解析式不同，两函数不相同；‎ D.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．‎ ‎3.下列等式一定正确的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的定义域可判断选项，根据指数幂的运算法则可判断选项.‎ ‎【详解】A，若x，y均为负数，不对；‎ B，根据指数幂的运算性质，2m×2n=2m+n，B不对；‎ C，根据指数幂的运算性质，C正确；‎ D，若x为负数，不对．故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算对数函数的定义域，考查了指数幂的运算法则，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎4.若时，在同一坐标系中，函数与的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解析过程略 ‎5.已知,则的大小关系是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为,所以,即.‎ 故选A．‎ ‎6.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的定义域，首先分母不等于0，再根据对数函数和根号有意义的条件进行求解.‎ ‎【详解】，要使函数有意义，应满足 解得或，故函数的定义域为：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意二次根号有意义的条件及分母不能为0.‎ ‎7.已知函数，函数在下列区间一定存在零点（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．‎ ‎【详解】，‎ ‎，，，，，‎ ‎，‎ 由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．‎ ‎8.在上，满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦函数的性质求解即可．‎ ‎【详解】上，满足的的取值范围：.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查计算能力，是基础题 ‎9.已知，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，求出，从而 ‎，由此能求出的解集．‎ ‎【详解】∵，‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 解得或，‎ ‎∴的解集为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查方程的解集的求法，考查函数解析式的求解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．‎ ‎【详解】解：满足对任意，都有成立，‎ 所以分段函数减函数，‎ 所以：，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎11.当时，函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元，然后将问题转化为二次函数在上的值域问题，利用二次函数的基本性质求出即可.‎ ‎【详解】换元，，，则.‎ 可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 则，当时，，当时，.‎ 因此，函数的值域为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，解题的关键就是利用换元思想，将问题转化为二次函数在区间上的值域求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，直线与函数的图象有三个交点、、，它们的横坐标分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数图象的作法得，作出的图象，‎ 由函数图象的性质得：设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、‎ ‎，由题中条件即可得出结果.‎ ‎【详解】解：，‎ 设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、，‎ 则，，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）‎ ‎13.如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用弧度表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 阴影部分表示的角位于一、三象限，在第一象限，；在第三象限，，由此能求出阴影部分表示的角的集合（含边界）．‎ ‎【详解】如图，阴影部分表示角位于一、三象限，‎ 在第一象限，；在第三象限，，‎ ‎∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）：‎ 或，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题表示角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的集合的合理运用．‎ ‎14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：画出的图像，和如图，要有两个交点，那么 考点：函数图像的应用 ‎15.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范闱为 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据对数函数的定义可得，解得，因为二次函数图象的对称轴为，由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为，要使函数在区间内单调递增，只需，解关于的不等式组得，即的取值范围是，故答案为.‎ ‎16.定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的集合为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数为偶函数，在上单调递减，且，所以函数在上单调递增，且，所以要使，只需满足或，可解得．‎ 考点：1．奇偶函数图像和性质；2．对数运算．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知集合，集合.‎ ‎（1）求当时，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，‎ ‎（2）由，得：，‎ 则有，解得：，即，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎18.（1）已知，求的值．‎ ‎（2）求值：．‎ ‎【答案】（1）6（2）1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可 ‎【详解】（1），．‎ ‎（2）原式 ．‎ ‎【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题 ‎19.已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若是第二象限，且，求的值．‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据题设运用三角函数的诱导公式求解；（2）借助题设条件，直接代入求值：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）由得，，∵是第二象限，∴. ‎ ‎20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，函数在区间上的最小值为，其中．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的最小值的表达式.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入点的坐标，求出的值，从而求出的解析式；（2）设，通过讨论的范围，求出函数的最小值即可；‎ ‎【详解】（1）设，的图象经过点，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎（2）设，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 则，对称轴为.‎ ‎①当时，在上是增函数，.‎ ‎②当时，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎，‎ ‎③当时，在上是减函数，，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查了求对数函数的解析式，考查函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎22.已知函数，是奇函数．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明：是区间上的减函数；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，；（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；（3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．‎ ‎【详解】（1）∵函数，是奇函数，‎ ‎∴，且，‎ 即，.‎ ‎（2）证明：由（1）得，，‎ 设任意且，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴是区间上的减函数．‎ ‎（3）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵奇函数，∴，‎ ‎∵是区间上的减函数，‎ ‎∴即有，‎ ‎∴，‎ 则实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎ ‎