高考理科数学复习练习作业76

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高考理科数学复习练习作业76

题组层级快练(七十六)‎ ‎1.若A2n3=10An3,则n=(  )‎ A.1            B.8‎ C.9 D.10‎ 答案 B 解析 原式等价于2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),整理得n=8.‎ ‎2.(2017·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则有多少种坐法(  )‎ A.10 B.16‎ C.20 D.24‎ 答案 C 解析 一排共有8个座位,现有两人就坐,故有6个空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐,即有A52=20种坐法.‎ ‎3.平面内有n条直线任意两条都相交,任意三条都不交于一点,则这n条直线的交点的个数为(  )‎ A.n(n-1) B.(n-1)(n-2)‎ C. D. 答案 C 解析 这n条直线交点的个数为Cn2=.‎ ‎4.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(  )‎ A.324 B.328‎ C.360 D.648‎ 答案 B 解析 首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有A92=9×8=72个,当0不排在末位时,有A41A81A81=4×8×8=256个,于是由分类加法计算原理,得符合题意的偶数共有72+256=328个.‎ ‎5.(2017·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(  )‎ A.4种 B.10种 C.18种 D.20种 答案 B 解析 分两类:第一类是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有C41‎ ‎=4种;第二类是取出2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有C42=6种,故赠送方法共有4+6=10种.‎ ‎6.(2017·山东师大附中模拟)从5名男医生,4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有(  )‎ A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 答案 A 解析 从9名医生中任选3名有C93=84种,都是男医生和都是女医生的有C53+C43=14种,男、女医生都有的选法为84-14=70种.‎ ‎7.5名成人带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头尾,则不同的排法种数有(  )‎ A.A55·A42种 B.A55·A52种 C.A55·A62种 D.A77-2A66种 答案 A 解析 先排大人,有A55种排法,再排小孩,有A42种排法(插空法).故有A42·A55种不同的排法.‎ ‎8.有10个红球,10个黄球,从中取出4个,要求必须包括两种不同颜色的球的抽法有(  )种 A.2C102 B.C102·C102‎ C.C101C203+C102C102 D.2C101C103+C102C102‎ 答案 D ‎9.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现错误的种数是(  )‎ A.20种 B.19种 C.10种 D.9种 答案 B 解析 “error”由5个字母组成,其中3个相同,这相当于5个人站队,只要给e、o选定位置,其余三个相同的字母r,位置固定,即所有拼写方式为A52,error拼写错误的种数为A52-1=19.‎ ‎10.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A不能停在第3道上,货车B不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为(  )‎ A.56 B.63‎ C.72 D.78‎ 答案 D 解析 若没有限制,5列火车可以随便停,则有A55种不同的停靠方法;快车 A停在第3道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种;货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种;快车A停在第3道上,且货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A33种.故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55-2A44+A33=120-48+6=78.‎ ‎11.安排7位工作人员在‎10月1日到‎10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在‎10月1日和‎10月2日的不同的安排方法共有________种.‎ 答案 2 400‎ 解析 共有A52A55=2 400种不同的安排方法.‎ ‎12.(2017·沧州七校联考)由0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个.‎ 答案 210‎ 解析 若个位数和百位数是0,8,则方法数是A22A82=112;若个位数和百位数是1,9,则由于首位不能排0,则方法数是A22C71C71=98,故总数是112+98=210.‎ ‎13.某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有________种;若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台,则不同的展出方法有________种.‎ 答案 60,48‎ 解析 依题意得,某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有A53=60种(注:从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可);其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33=12种,因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60-12=48种.‎ ‎14.一份试卷有10道考题,分为A,B两组,每组5题,要求考生选答6题,但每组最多选4题,则每位考生有________种选答方案.‎ 答案 200‎ 解析 分三类:A组4题B组2题,A组3题B组3题,A组2题B组4题.共有C54C52+C53C53+C52C54=50+100+50=200种.‎ ‎15.(2017·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的7个专业中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种.‎ 答案 180‎ 解析 从7个专业选3个,有C73=35种选法,甲、乙同时兼报的有C22·C51=5种选法,则专业共有35-5=30种选法,则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30=180.‎ ‎16.用0,1,2,…,9十个数字组成五位数,‎ 其中3个奇数与2个偶数且数字不重复的五位数有________个.‎ 答案 11 040‎ 解析 一类:含有数字0:C53C41C41A44=3 840.‎ 二类:没有数字0:C53C42A55=7 200.‎ 由分类加法计数原理得:共有11 040.‎ ‎17.甲、乙两人从4门课程中各选2门,求 ‎(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种?‎ ‎(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种?‎ 答案 (1)24 (2)30‎ 解析 (1)甲、乙两人从4门课程中各选2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21=24种.‎ ‎(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42,又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种,因此满足条件的不同选法种数为C42C42-C42=30种.‎ ‎18.从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数,试问:‎ ‎(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?‎ ‎(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有几个?‎ ‎(3)(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?‎ 答案 (1)100 800个 (2)14 400个 (3)5 760个 解析 (1)分三步完成:第一步,在4个偶数中取3个,有C43种情况;‎ 第二步,在5个奇数中取4个,有C54种情况;‎ 第三步,3个偶数和4个奇数进行排列,有A77种情况.所以符合题意的七位数有C43C54A77=100 800个.‎ ‎(2)上述七位数中,3个偶数排在一起的有C43C54A55A33=14 400个.‎ ‎(3)上述七位数中,3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22=5 760个.‎ ‎1.若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有(  )‎ A.84种 B.98种 C.112种 D.140种 答案 D 解析 由题意分析不同的邀请方法有:C21C85+C86=112+28=140(种).‎ ‎2.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.‎ ‎(1)43 251是这个数列的第几项?‎ ‎(2)这个数列的第96项是多少?‎ 答案 (1)88项 (2)45 321‎ 解析 (1)若首位是1,2,3之一,有C31A44个;‎ 若首位是4,第二位为1或2,有C21A33个;‎ 若首位是4,第二位是3,第三位是1,有A22个;‎ 若首位是4,第二位是3,第三位是2,有1个.‎ ‎∴43 251的前面共有C31A44+C21A33+A22+1=87个.故43 251是第88项.‎ ‎(2)由(1)知43 251为第88项.‎ 首位为4,第二位为3,第三位为5,有A22=2个.‎ 首位为4,第二位是5,有A33=6个.‎ 因此,第96项是45 321.‎ ‎3.(2017·合肥调研)某滨海城市原计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园,现由于资金的原因,打算减少2个海边主题公园,若两端的海边主题公园不在调整计划之列,相邻的两个海边主题公园不能同时调整,则调整方案的种数是(  )‎ A.12 B.8‎ C.6 D.4‎ 答案 C 答题模板 本题考查排列组合中的插空法,考查了等价转化思想.本题若按常规思路求解比较麻烦,将问题进行巧妙转化则可使本题大大简化.‎ 解析 从7个海边主题公园中抽走2个与在5个中插入2个是等价的,故本题可转化为在原有5个海边主题公园的基础上插入2个海边主题公园,要求不能插入两端,也不能把两个海边主题公园同时插入一处,即就是在5个海边主题公园的4个空中选2个插入,则有C42=6种.‎ ‎4.(2014·四川理)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(  )‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案 B 解析 根据甲、乙的位置要求分类解决,分两类.‎ 第一类:甲在左端,有A55=5×4×3×2×1=120种方法;‎ 第二类:乙在最左端,有4A44=4×4×3×2×1=96种方法.‎ 所以共有120+96=216种方法.‎ ‎5.10名同学合影,站成了前排3人,‎ 后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为(  )‎ A.C72A55 B.C72A22‎ C.C72A52 D.C72A53‎ 答案 C 解析 从后排抽2人的方法种数是C72;前排的排列方法种数是A52C33.由分步计数原理,不同调整方法种数是C72A52.‎ ‎6.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为________.‎ 答案 216‎ 解析 因为奇数有4个,偶数有3个,所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数,个位数字必须是奇数,因而这样的奇数有C42C32C21A33=216.‎ ‎【讲评】 排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上的问题.其基本的解题步骤为:‎ 第一步:选,根据要求先选出符合要求的元素.‎ 第二步:排,把选出的元素按照要求进行排列.‎ 第三步:乘,根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数,得到结果.‎ ‎7.(2017·重庆一中模拟)8个人坐成一排,现要调换其中3个人中每一个人的位置,其余5个人的位置不变,则不同的调换方式有(  )‎ A.C83 B.C83A83‎ C.C83A22 D.3C83‎ 答案 C 解析 从8个人中任选3人有C83种,3人位置全调有A22种,故有C83A22种.故选C.‎ ‎8.(2017·山东青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少1人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(  )‎ A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 答案 C 解析 把甲、乙2人看作一个整体,5个人变成了4个,再把这4个人分成3部分,每部分至少1人,共有C42种方法,再把这3部分人分到3个路口,有A33种方法,根据分步计数原理,不同分法的种类为C42A33=36(种).‎ ‎9.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是(  )‎ A.15 B.45‎ C.60 D.75‎ 答案 C 解析 依题意得重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是C42·C62-C32·C52=60(其中C32·C52表示所选的2个重点项目中没有A且所选的2个一般项目中没有B的选法数).‎ ‎10.圆周上有8个点,将圆周等分,那么以其中的3个点为顶点的直角三角形的个数为________.‎ 答案 24‎ 解析 以8个点为直径的端点共有4种取法,‎ 每种取法可作出6个三角形,∴共有4×6=24个.‎
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