高中数学必修2教案:第二章 章末复习提升

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高中数学必修2教案:第二章 章末复习提升

‎1.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.‎ 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.‎ ‎(1)证明线线平行的方法 ‎①线线平行的定义;‎ ‎②公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行;‎ ‎③线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b;‎ ‎④线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b;‎ ‎⑤面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.‎ ‎(2)证明线线垂直的方法 ‎①线线垂直的定义:两条直线所成的角是直角,在研究异面直线所成的角时,要通过平移把异面直线转化为相交直线;‎ ‎②线面垂直的性质:a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;‎ ‎③线面垂直的性质:a⊥α,b∥α⇒a⊥b.‎ ‎2.线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.‎ ‎(1)证明直线与平面平行的方法 ‎①线面平行的定义;‎ ‎②判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α;‎ ‎③平面与平面平行的性质:α∥β,a⊂α⇒a∥β.‎ ‎(2)证明直线与平面垂直的方法 ‎①线面垂直的定义;‎ ‎②判定定理1:⇒l⊥α;‎ ‎③判定定理2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α;‎ ‎④面面平行的性质定理:α∥β,a⊥α⇒a⊥β;‎ ‎⑤面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.‎ ‎3.面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.‎ ‎(1)证明面面平行的方法 ‎①面面平行的定义;‎ ‎②面面平行的判定定理:a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,‎ a∩b=A⇒α∥β;‎ ‎③线面垂直的性质定理:a⊥α,a⊥β⇒α∥β;‎ ‎④公理4的推广:α∥γ,β∥γ⇒α∥β.‎ ‎(2)证明面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义:两个平面相交所成的二面角是直二面角;‎ ‎②面面垂直的判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.‎ ‎4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点 ‎(1)由已知想性质,由求证想判定.‎ ‎(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.‎ ‎(3)用定理时要先明确条件,再由定理得出相应结论.‎ ‎5.“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题,可以使问题得到解决.用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广,可以从已知探索未知,是“学会学习”的重要方法.‎ 平面图形的翻折问题的分析与解决,就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.‎ 题型一 几何中共点、共线、共面问题 ‎1.证明共面问题 证明共面问题,一般有两种证法:一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.‎ ‎2.证明三点共线问题 证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上.‎ ‎3.证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,‎ 把问题转化为证明点在直线上的问题.‎ 例1 如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.‎ 求证:(1)E、F、G、H四点共面;‎ ‎(2)GE与HF的交点在直线AC上.‎ 证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC,‎ ‎∴GH∥BD,又EF∥BD,∴EF∥GH,‎ ‎∴E、F、G、H四点共面.‎ ‎(2)∵G、H不是BC、CD的中点,∴EF≠GH.‎ 又EF∥GH,∴EG与FH不平行,‎ 则必相交,设交点为M.‎ ⇒M∈面ABC且M∈面ACD ‎⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.‎ ‎∴GE与HF的交点在直线AC上.‎ 跟踪训练1 如图,O是正方体ABCD-A1B1C1D1上底面ABCD的中心,M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证:O、M、A1三点共线.‎ 证明 ∵O∈AC,‎ AC⊂平面ACC1A1,‎ ‎∴O∈平面ACC1A1.‎ ‎∵M∈AC1,AC1⊂平面ACC1A1.‎ ‎∴M∈平面ACC1A1.‎ 又已知A1∈平面ACC1A1,‎ 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上,‎ 又O、M、A1三点都在平面A1BD上,‎ 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,‎ 所以O、M、A1三点共线.‎ 题型二 空间中的平行关系 在本章中,空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行,其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化的方法总是由具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.‎ 例2 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.‎ 解 当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图连接AC和BD交于点O,连接FO,那么PF=PB.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴O是BD的中点.∴OF∥PD.‎ 又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,‎ ‎∴OF∥平面PMD.又MA綊PB,‎ ‎∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形.‎ ‎∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD.‎ ‎∴AF∥平面PMD.‎ 又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC.‎ ‎∴平面AFC∥平面PMD.‎ 跟踪演练2 如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.‎ ‎ (1)求证:BC⊥平面PAC;‎ ‎(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.‎ 证明 (1)‎ 由AB是圆O的直径,得AC⊥BC,由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.‎ ‎(2)连接OG并延长交AC于点M,‎ 连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.‎ 由Q为PA中点,得QM∥PC,‎ 又O为AB中点,得OM∥BC.‎ 因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,‎ 所以平面QMO∥平面PBC.‎ 因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.‎ 题型三 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法:‎ ‎(1)判定线线垂直的方法:‎ ‎①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角);‎ ‎②线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b).‎ ‎(2)判定线面垂直的方法:‎ ‎①线面垂直定义(一般不易验证任意性);‎ ‎②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α);‎ ‎③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α);‎ ‎④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α);‎ ‎⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);‎ ‎⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).‎ ‎(3)面面垂直的判定方法:‎ ‎①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°);‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).‎ 例3 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.‎ 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;‎ ‎(2)直线A1F∥平面ADE.‎ 证明 (1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.‎ 又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,‎ CC1∩DE=E,‎ 所以AD⊥平面BCC1B1.‎ 又AD⊂平面ADE,‎ 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.‎ ‎(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,‎ 所以A1F⊥B1C1.‎ 因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,‎ 所以CC1⊥A1F.‎ 又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,‎ 所以A1F⊥平面BCC1B1.‎ 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.‎ 又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,‎ 所以A1F∥平面ADE.‎ 跟踪演练3 如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边△ADB以AB为轴转动.‎ ‎(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;‎ ‎(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.‎ 解 (1)取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE,由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.‎ ‎(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.‎ 证明如下:①当D在平面ABC内时,‎ 因为AC=BC,AD=BD,‎ 所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.‎ ‎②当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE.‎ 又因AC=BC,所以AB⊥CE.又DE,CE为相交直线,‎ 所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.‎ 综上所述,总有AB⊥CD.‎ 题型四 空间角的计算 空间中的角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角).‎ 用直接法:求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算,空间角的计算步骤:一作,‎ 二证,三计算.‎ ‎(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).‎ ‎(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).‎ ‎(3)二面角的平面角的作法常有三种:①定义法;②垂线法;③垂面法.‎ 例4 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.‎ ‎(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;‎ ‎(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;‎ ‎(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.‎ ‎(1)解 如图所示,在四棱锥PABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC.故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.‎ 又因为AD⊥PD,在Rt△PDA中,tan∠PAD==2,‎ 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2.‎ ‎(2)证明 由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD.‎ 又因为AD⊥PD,CD∩PD=D,所以AD⊥平面PDC.‎ 而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.‎ ‎(3)解 在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.‎ 由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.‎ 在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.‎ 在Rt△PEC中,PE=PCsin 30°=.‎ 由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,‎ 因此BC⊥PC.‎ 在Rt△PCB中,PB==.‎ 在Rt△PEB中,sin∠PBE==.‎ 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.‎ 跟踪演练4 如图,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:‎ ‎(1)AO与A′C′所成角的度数;‎ ‎(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;‎ ‎(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.‎ 解 (1)∵A′C′∥AC,‎ ‎∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.‎ ‎∵AB⊥平面BC′,OC⊂平面BC′,∴OC⊥AB,‎ 又OC⊥BO,AB∩BO=B.∴OC⊥平面ABO.‎ 又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.‎ 在Rt△AOC中,OC=,AC=,sin∠OAC==,‎ ‎∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.‎ ‎(2) 如图,作OE⊥BC于E,连接AE.‎ ‎∵平面BC′⊥平面ABCD,‎ ‎∴OE⊥平面ABCD,‎ ‎∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.在Rt△OAE中,OE=,‎ AE= =,‎ ‎∴tan∠OAE==.‎ ‎∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,‎ ‎∴OC⊥平面AOB.‎ 又∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.‎ 即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.‎ 转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为
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