高中数学必修1示范教案（3_1 单调性与最大（小）值 第1课时）

高中数学必修1示范教案（3_1 单调性与最大（小）值 第1课时）

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重 点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义， 对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化 和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于 某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有 根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确 性,这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设 教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性 质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解. 三维目标 1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自 主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的 单调区间，提高应用知识解决问题的能力. 3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的 直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识. 4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必 要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:函数的单调性和最值. 教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成. 课时安排 2 课时 设计方案（一） 教学过程 第 1 课时 函数的单调性 导入新课 思路 1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自 己为实验对象，共做了 163 次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再 重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据. 时间间隔 t 0 分钟 20 分钟 60 分钟 8~9 小时 1 天 2 天 6 天 一个月 记忆量 y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据，可以看出：记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量（时间间隔 t）逐渐增大 时，你能看出对应的函数值（记忆量 y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这 就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画 吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象） 图 1-3-1-1 学生：先思考或讨论，回答：记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大；以时间间隔 t 为 x 轴， 以记忆量 y 为 y 轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图 1-3-1-1 所示. 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚 开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解 和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题. 思路 2.在第 23 届奥运会上，中国首次参加就获 15 枚金牌；在第 24 届奥运会上，中国获 5 枚金牌；在第 25 届奥运会上，中国获 16 枚金牌；在第 26 届奥运会上，中国获 16 枚金牌； 在第 27 届奥运会上，中国获 28 枚金牌；在第 28 届奥运会上，中国获 32 枚金牌.按这个变 化趋势，2008 年，在北京举行的第 29 届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？ 学生回答(只要大于 32 就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 1-3-1-2 所示为一次函数 y=x，二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象,它们的图象有什么变化 规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? 图 1-3-1-2 ②函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义？ ③如何理解图象是上升的？ ④对于二次函数 y=x2，列出 x,y 的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)=x2 表(1) ⑤在数学上规定：函数 y=x2 在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？ ⑥增函数的定义中，把“当 x1x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”,这 样行吗? ⑦增函数的定义中，“当 x1x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”， 也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数. ⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. ⑧从左向右看,图象是上升的. ⑨一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为： 步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值 随着自变量的增大而减小.总结：如果函数 y=f（x）在区间 D 上是增函数(或减函数)，那么 就说函数 y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f（x）的单调递增(或 减)区间. ⑩函数 y=f（x）在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意 义：从左向右看,图象是上升（下降）的. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1-3-1-3 是定义在区间［－5，5］上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 图 1-3-1-3 活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示 并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数. 解：函数 y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数 y=f(x)在区间［-5,2),［1,3) 上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数 的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调 性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的 图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调 性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本 P32 练习 1、3. 例 2 物理学中的玻意耳定律 p= V k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减少时，压强 p 将增大.试用函数的单调性证明. 活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正 学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积 V 减少时， 压强 p 将增大是指函数 p= V k 是减函数；刻画体积 V 减少时，压强 p 将增大的方法是用不等 式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决. 解：利用函数单调性的定义只要证明函数 p= V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量 x1 和 x2, 通常令 x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)2m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数 y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数 y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数. ∴当函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直 线 x=m 的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反. 因此有结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称 单调区间内具有相反的单调性. 点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主 要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解 题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根 据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力. 变式训练 函数 y=f(x)满足以下条件: ①定义域是 R; ②图象关于直线 x=1 对称; ③在区间［2,+∞)上是增函数. 试写出函数 y=f(x)的一个解析式 f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况). 活动：根据这三个条件，画出函数 y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根 据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出. 解：定义域是 R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线 x=1 对称的 函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了 二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满 足二次函数的对称轴直线 x=1 不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是 y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有： 形如 y=a(x-1)2+b(a>0)，或为 y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一. 知能训练 课本 P32 练习 2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 解：①正比例函数：y=kx(k≠0) 当 k>0 时，函数 y=kx 在定义域 R 上是增函数；当 k<0 时，函数 y=kx 在定义域 R 上是减函 数. ②反比例函数：y= x k (k≠0) 当 k>0 时，函数 y= x k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当 k<0 时， 函数 y= x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0) 当 k>0 时，函数 y=kx+b 在定义域 R 上是增函数；当 k<0 时，函数 y=kx+b 在定义域 R 上是 减函数. ④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0) 当 a>0 时，函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是(-∞, a b 2  ］，单调递增区间是［ a b 2  ,+∞)； 当 a<0 时，函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是［ a b 2  ,+∞)，单调递增区间是(-∞, a b 2  ］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度. 2.已知函数 y=kx+2 在 R 上是增函数，求实数 k 的取值范围. 答案：k∈(0,+∞). 3.二次函数 f(x)=x2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数 a 的值. 答案：a=2. 4.2005 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 卷 ， 8 已 知 f(x) 是 定 义 在 (0,+∞) 上 的 减 函 数 ， 若 f(2a2+a+1)1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数， ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0. ∴00)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数 和减函数吗？ 图 1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④:如何从解析式的角度说明 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数？ 设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也 给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析， 加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对 回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)， 同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精 确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识 到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1、x2. 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类 比得出减函数的定义. 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增（减）函数，那么在 区间 D 上的图象是上升的（下降的）. 2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果：①(1)函数 y=x+2，在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数 y=-x+2，在整个 定义域内 y 随 x 的增大而减小.(2)函数 y=x2，在［0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大，在(-∞,0)上 y 随 x 的增大而减小.(3)函数 y= x 1 ，在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小，在(-∞,0)上 y 随 x 的增 大而减小. ②如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们说函数 f(x)在该区间 上为增函数；如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大，y 越来越小，我们说函数 f(x) 在该区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数，例如 2 和 3，因为 22<32，所以 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数. (2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数. (3)任取 x1、x2∈［0,+∞),且 x10， 能断定函数 f(x)在区间(a,b)上是增函数吗? 活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数 f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数. 讨论结果：能. 例 2 用计算机画出函数 y= 2xx- 2  的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明. 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借 助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明. 教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评：讨论函数单调性的三部曲： 第一步，画函数的图象； 第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间； 第三步，利用定义加以证明. 答案：略. 变式训练 画出函数 y= 12 1   x x 的图象，根据图象指出单调区间. 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出 单调区间，再利用定义法证明. 答案：略. 知能训练 课本 P32 练习 2. 拓展提升 试分析函数 y=x+ x 1 的单调性. 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明. 答案：略. 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成 小结. (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 设计感想 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情 境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来 辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识. 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对 定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 作业:课本 P39 习题 1.3A 组 2、3、4. (设计者：张新军)