高考数学考点05 函数的基本性质
1
考点 05 函数的基本性质
考纲原文
（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.
知识整合
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数 减函数
一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任
意两个自变量的值 ，
定义 当 时，都有 ，
那么就说函数 在区间 上是增
函数
当 时，都有 ，
那么就说函数 在区间 上是减
函数
图象
描述
自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设 ， . 若 有 或 ， 则 在 闭 区 间
上是增函数；若有 或 ，则 在闭区间 上是
减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
f x I I D
1x 2x
1 2x x 1 2f x f x
f x D
1 2x x 1 2f x f x
f x D
1 2, [ , ]x x a b 1 2x x 1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
( )f x
[ ],a b 1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
( )f x [ ],a b
2
2．单调区间的定义
若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间 叫做函数 的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种
单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是 ”与“函数在区间 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然 .
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 分别在(－∞，0)，(0，＋
∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数
的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数单调性的常用结论
（1）若 均为区间 A 上的增(减)函数，则 也是区间 A 上的增(减)函数；
（2）若 ，则 与 的单调性相同；若 ，则 与 的单调性相反；
（3）函数 在公共定义域内与 ， 的单调性相反；
（4）函数 在公共定义域内与 的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
① 的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减；
② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 和
上单调递减．
4．函数的最值
y f x D y f x
D f x
A B B A
1y x
,f x g x f x g x
0k kf x f x 0k kf x f x
0y f x f x y f x 1
( )y f x
0y f x f x ( )y f x
1y x x , 1 1, 1,0 0,1
by ax x 0a 0b , b
a
,b
a
,0b
a
0, b
a
3
前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
条件
（1）对于任意的 ，都有
；
（2）存在 ，使得
（3）对于任意的 ，都有
；
（4）存在 ，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域
是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
二、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是偶函数
图象关于 轴
对称
奇函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
，那么函数 是奇函数
图象关于原点
对称
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ，
则函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
y f x I M
x I
f x M
0x I 0f x M
x I
f x M
0x I 0f x M
M M
f x x
f x f x f x
y
f x x
f x f x f x
( )f x f x 0( )f x f x ( ) 1( ( ) 0)( )
f x f xf x
f x 0( )f x f x ( ) 1( ( ) 0)( )
f x f xf x
f x
x
4
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2） ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括 ，则 ．
（4）若函数 是偶函数，则 ．
（5）定义在 上的任意函数 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数 的定义域关于原点对称，则 为偶函数， 为奇函数，
为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数 为偶函数，函数 为奇函数．
②函数 （ 且 ）为奇函数．
③函数 （ 且 ）为奇函数．
④函数 （ 且 ）为奇函数．
三、函数的周期性
( )f x ( )g x
( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ( ))f g x
0 0 0f
f x f x f x f x
, f x
y f x f x f x f x f x
f x f x
x xf x a a x xf x a a
2
2
1
1
x x x
x x x
a a af x a a a
0a 1a
1log 1a
xf x x
0a 1a
2log 1af x x x 0a 1a
5
1．周期函数
对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ，
那么就称函数 为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正周期
（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期为 ；
②若 ，则函数的周期为 ；
③若 ，则函数的周期为 ；
④若 ，则函数的周期为 ；
⑤函数 关于直线 与 对称，那么函数 的周期为 ；
⑥若函数 关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ；
⑦若函数 关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ；
⑧若函数 是偶函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 ；
⑨若函数 是奇函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 .
重点考向
y f x f x T f x
y f x
f x f x
T
y f x 0x a R，
( ) ( )f x a f x a 2a
( )f x a f x 2a
1( ) ( )a xf x f 2a
1( ) ( )f a xx f 2a
f x x a x b f x 2 | |b a
f x ,0a ,0b f x 2 | |b a
f x x a ,0b f x 4 | |b a
f x x a 2a
f x x a 4a
6
考向一 判断函数的单调性
1．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所
给抽象关系式的特点，对 或 进行适当变形，进而比较出 与 的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单
函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．
（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子
集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调
区间．
典例引领
典例 1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是
A．若 f(x)为增函数，g(x)为增函数，则 f(x)＋g(x)为增函数
B．若 f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为减函数
C．若 f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为增函数
D．若 f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为减函数
【答案】C
【解析】∵f(x)为增函数，g(x)为减函数，∴f(x)＋g(x)的增减性不确定．
例如 f(x)＝x＋2 为 R 上的增函数，当 g(x)＝－1
2x 时，则 f(x)＋g(x)＝1
2x＋2 为增函数；当 g(x)＝－3x，则 f(x)＋
g(x)＝－2x＋2 在 R 上为减函数，∴不能确定．故选 C.
典例 2 已知函数 ，且 .
（1）判断函数 在 上的单调性，并用定义法证明；
（2）若 ，求 的取值范围.
1x 2x 1f x 2f x
2 1
1
x
xf x m
xR 73 9f
y f x R
1 21f fx
x
7
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】（1）由已知得 ， ，
∴ .
∴ .
任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，即 ，
∴函数 在 上为单调增函数.
（2）∵ ，且由（1）知函数 在 上为单调增函数，
∴ 即 ，化简得 ，
∴ 的取值范围为 （不写集合形式不扣分）.
【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由 ，代入
解析式即可得 ，进而得 ，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数
在 上为单调增函数，所以得 ，求解不等式即可.
3|1 2x x
3
3
2 1 7
1 9m
3 8m
2m
2 1
2 1
x
xf x
2 1 2
2 1
x
x
21 2 1x
1 2,x x R 1 2x x
2 12 1
2 21 12 1 2 1x xf x f x 1 2
2 2
2 1 2 1x x
2 1
1 2
2 2 2
2 1 2 1
x x
x x
1 22 1 0, 2 1 0x x
1 22 1 2 1 0x x
2 1x x
2 12 2x x
2 12 2 0x x
2 1
1 2
2 2 2
0
2 1 2 1
x x
x x
2 1 0f x f x 2 1f x f x
y f x R
1 21f fx
y f x R
1 2,1x
3 2 01
x
x
31 2x
x 3|1 2x x
73 9f
2m 21 2 1xf x
y f x R 1 21x
8
用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变
形，一定要化为几个因式乘积的形式.
变式拓展
1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
A． B．
C． D．
考向二 函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
（1）由 的大小关系可以判断 与 的大小关系，也可以由 与 的大小关系判断
出 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化
到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的
单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性
外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然
后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数
的定义域内．
典例引领
典例 3 定义在 上的函数 满足：对任意的 ， （ ），有 ，
2 xy 3y x
sin xy x lg 2 lg 2y x x
1 2,x x 1f x 2f x 1f x 2f x
1 2,x x
f g x f h x
g x h x
R f x 1x 2 0,x 1 2x x 2 1
2 1
0f x f x
x x
9
则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的 ， （ ），有 ，所以函数 在 上
是减函数，因为 ，所以 ，故选 D．
典 例 4 已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于
，都有 ．
（1）求 的值；
（2）解不等式 .
【解析】（1）令 ，则 ， .
（2）解法一：由题意知 为 上的减函数，且 ，即 .
∵ ， 且 ，
∴ 可化为 ，即 ＝
，
则 ，解得 .
∴不等式 的解集为 ．
解法二：由 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
3 2 4f f f 1 2 3f f f
2 1 3f f f 3 1 0f f f
1x 2 0,x 1 2x x 2 1
2 1
0f x f x
x x
f x 0,
0 1 3 3 1 0f f f
f x (0, ) f xy f x f y 1( ) 12f
0 x y f x f y
1f
( ) (3 2)f x f x
1x y 1 1 1f f f 1 0f
f x (0, ) 0
3 0
x
x
0x
f xy f x f y , 0,( )x y 1( ) 12f
( ) (3 2)f x f x 3 2 1( ) ( ) ( )2f x f x f 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 02 23f x f xf f
3 31 ( ) ( ) 1 ( ) 12 2 2 2
x x x xf f f f f f
3 1
0
2 2
x x
x
1 0x
( ) (3 2)f x f x 0{ | }1x x
1( )21 2 2 1fff f
4 2 2 2f f f
( ) ( )3 4f x f x f 3 ] 4[ ( )f x x f
10
则 ，解得 .
∴不等式 的解集为 ．
变式拓展
2．设函数 ，则不等式 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
考向三 函数最值的求解
1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间 上是增
函数，则 在 上的最小值为 ，最大值为 ；若函数在闭区间 上是减函数，则
在 上的最小值为 ，最大值为 .
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的
最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函
数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.
典例引领
典例 5 已知函数 ，若在区间 上，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】要使在区间 上，不等式 恒成立，只需 恒成立，
0
3 0
(3 ) 4
x
x
x x
1 0x
( ) (3 2)f x f x 0{ | }1x x
2 6
2f x x x 2 3 1f x f x
1,2 ,1 2,
,2 2,
[ ]a b，
f x [ ]a b， f a f b [ ]a b，
f x [ ]a b， f b f a
2 1f x x x 1,1 2f x x m m
, 1
1,1 2f x x m 22 3 1m f x x x x
11
设 ，只需 小于 在区间 上的最小值，
因 为 ， 所 以 当 时 ， ， 所 以
，所以实数 的取值范围是 .
典例 6 已知函数 ，若 x∈[t，t＋2]，求函数 f(x)的最值．
【解析】易知函数 的图象的对称轴为直线 x＝1，
（1）当 1≥t＋2，即 时，f(x)max＝f(t) ＝t2－ 2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
（2）当 ≤1
1 时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数 f(x)的最大值为 g(t)，最小值为 φ(t)，则有 ， .
【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集 ，这时只要根据抛物线
的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）
值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还
是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，
解题时要注意数形结合.
变式拓展
3．若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则
A． B．
C． D．
2 3 1g x x x m g x 1,1
2
2 3 53 1 2 4g x x x x
1x 2
min 1 1 3 1 1 1g x g
1m m , 1
2 2 3f x x x
2 2 3f x x x
1t
2
2
t t
2
2
t t
2
2
2 3, 0( )
2 3, 0
t t tg t
t t t
2
2
2 3, 1
( ) 4, 1 1
2 3, 1
t t t
t t
t t t
R
x
2
1f x x x { |1 | | 9, }x x x R M m M m
241
81
242
81
26
9
31
9
12
考向四 判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围相
应地化简解析式，判断 与 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
典例引领
典例 7 设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论中正确的是
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】C
【解析】设 ，则 ，因为 是奇函数， 是偶函数，故
f x ( )f x
)(),( xgxf R )(xf )(xg
)()( xgxf )(|)(| xgxf
|)(|)( xgxf |)()(| xgxf
( ) ( ) ( )H x f x g x ( ) ( ) ( )H x f x g x )(xf )(xg
13
，即 是奇函数，选 C．
典例 8 下列判断正确的是
A．函数 是奇函数
B．函数 是非奇非偶函数
C．函数 是偶函数
D．函数 既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】对于 A， 的定义域为 ，不关于原点对称，不是奇函数.
对于 B， ， ，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.
对于 C，函数的定义域为 ，关于原点对称.当 时，
；当 时， .综上
可知，函数 是奇函数.
对于 D， 的图象为平行于 轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.
【名师点睛】对于 C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明 与 的关系，只有当对称的两段上
都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若 D 项中的函数是 ，且定义域关于原点对称，则函数既
是奇函数又是偶函数.
变式拓展
4．若函数 为偶函数，则 的值为__________．
( ) ( ) ( ) ( )H x f x g x H x |)(|)( xgxf
2
2)(
2
x
xxxf
2( ) 1f x x x
2
2
1 1, 02( ) 1 1, 02
x x
f x
x x
1)( xf
2
2)(
2
x
xxxf 2x
2( ) 1f x x x 2( ) 1f x x x
( ,0) (0, ) 0x
2 21 1( ) ( ) 1 ( 1) ( )2 2f x x x f x 0x 2 21 1( ) ( ) 1 1 ( )2 2f x x x f x
( )f x
1)( xf x
( )f x ( )f x
( ) 0f x
3 1
2 1xf x x a
a
14
考向五 函数奇偶性的应用
1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：
（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式.
已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间
上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析
式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
在定义域关于原点对称的前提下，利用 为奇函数 ， 为偶函数
，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在 处有定义的奇函数 ，可考虑列式
求解.
（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.
利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.
2．对称性的三个常用结论：
（1）若函数 是偶函数，即 ，则函数 的图象关于直线 对称；
（2）若对于 上的任意 x 都有 或 ，则 的图象关于直线
对称；
（3）若函数 是奇函数，即 ，则函数 关于点 中心对
称．
典例引领
典例 9 已知定义在 上的奇函数满足 ，若 ，则实数 a 的取值
范围是________．
【答案】(－3,1)
f x ( ) ( )f x f x f x
( ) ( )f x f x 0x f x
(0) 0f
( )y f x a ( ) ( )f a x f a x y f x x a
R ( )2f a x f x ( ( )2)f x f a x y f x
x a
( )y f x b ( ( 0) )f x b f x b y f x ( ,0)b
R 2 2 0f x x x x 2( ) (3 2 )f a f a
15
【解析】由题意可得 在 上为增函数，又 为定义在 上的奇函数，
所以 在 上为增函数．
由 得 ，即 ，解得 .
故实数 a 的取值范围是(－3,1).
典例 10 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集用
区间表示为__________．
【答案】
【解析】∵ 是定义在 上的奇函数，∴ .
又当 时， ，∴ .
又 为奇函数，∴ ，∴ ，
∴ .
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 .
综上，不等式 的解集用区间表示为 ．
变式拓展
5．已知偶函数 在 上单调递增，若 ,则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
2 2 0f x x x x [0 )+, f x R
f x R
2( ) (3 2 )f a f a 23 2a a 2 2 3 0a a 3 1a
f x R 0x 2 4f x x x f x x
( ) ( )5,0 5,
f x R 0 0f
0x 0x 2( ) 4f x x x
f x ( )f x f x 2 4 0f x x x x
2
2
0, 0
4 , 0
4 , 0
x x x
f x
x x x
x
0x f x x 2 4x x x 5x
0x f x x
0x f x x 2 4x x x 5 0x
f x x ( ) ( )5,0 5,
f x 0, 2 2f 1 2f x x
( , 1) (3, ) ( , 1] [3, )
1, 3 ( , 2] [2, )
16
考向六 函数周期性的判断及应用
（1）判断函数的周期，只需证明 ，便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数
的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区
间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 且
)也是函数的周期.
（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相
应问题，进而求解.
典例引领
典例 11 定义在实数集 上的函数 满足 ，且 ，现有以下三种
叙述：
① 是函数 的一个周期；② 的图象关于直线 对称；③ 是偶函数．
其中正确的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】由 得 ，所以 ，所以 是
的一个周期， 也是 的一个周期，①正确；
由 得 的图象关于直线 对称，②正确；
由 得 ，所以 ，所以函数 是偶函数，③正确．
所以正确的序号是①②③．
变式拓展
6．已知 为定义在 上周期为 2 的奇函数，当 时， ，若 ，则
A．6 B．4
( ) 0f x T f x T
(kT k Z
0k
R f x 2 0f x f x 4f x f x
8 f x f x 2x f x
2 0f x f x 2f x f x 4 2f x f x f x 4
f x 8 f x
4f x f x f x 2x
4f x f x 4f x f x f x f x f x
f x R 1 0x 1f x x ax 5 12f
a
17
C． D．
考向七 函数性质的综合应用
函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，
其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形
式呈现，且主要有以下几种命题角度：
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值
的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用
奇偶性和单调性求解.
典例引领
典例 12 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 满足 ，所以 ，所以函数 是以 8 为周期的周期函
数，则 .
由 是定义在 上的奇函数，且满足 ，得 .
因为 在区间 上是增函数， 是定义在 上的奇函数，所以 在区间 上是增函数，
所以 ，即 .
变式拓展
7．设函数 是以 为周期的奇函数，已知 时， ，则 在 上是
A．增函数，且 B．减函数，且
C．增函数，且 D．减函数，且
14
25 6
R ( )f x ( 4) ( )f x f x [0 2]，
( 25) (11) (80)f f f (80) (11) ( 25)f f f
(11) (80) ( 25)f f f ( 25) (80) (11)f f f
( )f x ( 4) ( )f x f x ( 8) ( )f x f x ( )f x
( 25) ( 1), (80) (0), (11) (3)f f f f f f
( )f x R ( 4) ( )f x f x (11) (3) ( 1) (1)f f f f
( )f x [0 2]， ( )f x R ( )f x [ 2 2] ，
( 1) (0) (1)f f f ( 25) (80) (11)f f f
f x 2 0,1x 2xf x f x 2017,2018
0f x 0f x
0f x 0f x
18
考点冲关
1．函数 的减区间是
A． B．
C． D．
2．下列函数是偶函数的是
A． B．
C． D．
3．下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是
A． B．
C． D．
4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数解析式可能是
A． B．
C． D．
5．函数 ，且 的图象可能为
A． B．
C． D．
2ln 2 3y x x
1,1 1,3
,1 1,
siny x x 2 4 4y x x
sin cosy x x 2
3log 1f x x x
3 xy ,0
21y x 2logy x
1y x 3 1y x
2x
xy 2 2xy
e | |xy x 22 xy x
1( ) ( )cos ( π πf x x x xx 0)x
19
6．已知函数 满足 ，且 在 上单调递增，则
A． B．
C． D．
7．已知函数 为偶函数，且函数 与 的图象关于直线 对称，若 ，则
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9 ．已知定义在 上的函数 满足：对任意实数 都有 ， ，且
时， ，则 的值为
A． B．
C． D．
10．设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，
不等式 恒成立，则实数 的最大值是
A． B．
C． D．
11．已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， ，则 =__________．
12．已知函数 为偶函数，则 的解集为__________．
13 ． 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且 ， 若 ， 时 ， 有
成立.
（1）判断 在 上的单调性，并证明；
（2）解不等式 ；
f x 2 2f x f x f x 2,
1 3 6f f f 3 1 6f f f
6 1 3f f f 6 3 1f f f
f x f x g x y x 2 3g 3f
2 2
3 3
3 2
2( ) log ( 1), ,f x x x x a b R 0f a f b 0a b
R f x x 3 3f x f x f x f x
3,0x 1
2
log 6f x x 2018f
3 2
2 3
f x R 0x
2 1,0 1
2 2 , 1x
x xf x
x
, 1x m m
1f x f x m m
1 1
3
1
2 1
3
2xf x m 3f
1f x x x b 3 0f x
f x 11 ， 1 1f , 1,1x y 0x y
0f x f y
x y
f x 11 ，
2 1 1 3f x f x
20
（3）若 对所有的 恒成立，求实数 的取值范围.
14．若函数 y=f(x)对定义域内的每一个值 x1，在其定义域内都存在唯一的 x2，使 f(x1)f(x2)=1 成立，则称该函
数为“依赖函数”．
（1）判断函数 g(x)=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数 f(x)=(x–1)2 在定义域[m，n](m>1)上为“依赖函数”，求实数 m、n 的乘积 mn 的取值范围；
（3）已知函数 f(x)=(x–a)2(a< )在定义域[ ，4]上为“依赖函数”．若存在实数 x[ ，4]，使得对任
意的 tR，有不等式 f(x)≥–t2+(s–t)x+4 都成立，求实数 s 的最大值．
直通高考
1．（2018 年高考浙江卷）函数 y= sin2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
2．（2018 年高考新课标 I 卷理科）设函数 ，若 为奇函数，则曲线
在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
2 2 1f x m am 1,1a m
4
3
4
3
4
3
2 x
3 21f x x a x ax f x y f x
0,0
2y x y x
2y x y x
21
3 ．（ 2018 年 高 考 新 课 标 II 卷 理 科 ） 已 知 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 满 足
．若 ，则
A． B．0
C．2 D．50
4．（2017 年高考浙江卷）若函数 f(x)=x2+ ax+b 在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M – m
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
5．（2017 年高考新课标Ⅰ卷理科）函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足
的 的取值范围是
A． B．
C． D．
6．（2017 年高考北京卷理科）已知函数 ，则
A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数
C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数
7．（2017 年高考天津卷理科）已知奇函数 在 R 上是增函数， ．若 ，
， ，则 a，b，c 的大小关系为
A． B．
C． D．
8．（2016 年高考山东卷理科）已知函数 f(x)的定义域为 .当 x<0 时， ；当 时，
；当 时， .则 f(6)=
A．−2 B．−1
C．0 D．2
9 ． （ 2015 年 高 考 湖 北 卷 理 科 ） 已 知 符 号 函 数 是 上 的 增 函 数 ，
，则
f x ,
1 1f x f x 1 2f 1 2 3f f f 50f
50
( )f x ( , ) ( 11)f
21 ( ) 1xf x
[ 2,2] [ 1,1]
[0,4] [1,3]
1( ) 3 ( )3
x xf x ( )f x
( )f x ( ) ( )g x xf x 2( log 5.1)a g
0.8(2 )b g (3)c g
a b c c b a
b a c b c a
R 3( ) 1f x x 1 1x
( ) ( )f x f x 1
2x 1 1( ) ( )2 2f x f x
1, 0,
sgn 0, 0,
1, 0.
x
x x
x
( )f x R
( ) ( ) ( ) ( 1)g x f x f ax a
22
A． B．
C． D．
10 ．（ 2018 年 高 考 江 苏 卷 ） 函 数 满 足 ， 且 在 区 间 上 ，
则 的值为________．
11．（2017 年高考浙江卷）已知 a R，函数 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 的取值
范围是___________．
参考答案
1．【答案】D
【解析】 在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，
在其定义域上是奇函数,在 和 上是减函数，
在其定义域上是偶函数,
在其定义域上既是奇函数又是减函数.
因此选 D.
【名师点睛】逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定即可.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．
2．【答案】B
【解析】易得 f（x）为偶函数，且 x≥0 时， 单调递减；
∴由 f（2x−3）＜f（1）得：f（|2x−3|）＜f（1），∴|2x−3|＞1，解得 x＜1，或 x＞2.
∴x 的取值范围是（−∞，1）∪（2，+∞）．故选 B．
【名师点睛】处理抽象不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函
sgn[ ( )] sgng x x sgn[ ( )] sgng x x
sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x sgn[ ( )] sgn[ ( )]g x f x
f x 4f x f x x R 2,2
πcos ,0 2,2
1 , 2 0,2
x x
f x
x x
15f f
4( ) | |f x x a ax a
变式拓展
2 xy
3y x ,0 0,
sin xy x
lg 2 lg 2y x x
2 6
2f x x x
23
数的符号“f” ，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式( 组) 的问题，若 为偶函数，则
，若函数是奇函数，则 ．求解本题时，首先判断出 f（x）为偶
函数，并且 f（x）在[0，+∞）上单调递减，从而由 f（2x−3）＜f（1）得到 f（|2x−3|）＜f（1），进而得
到|2x−3|＞1，解该绝对值不等式即可求出 x 的取值范围．
【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，
求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
4．【答案】
【解析】因为函数 为偶函数，
所以由 可得 ，
则 ，∴ ，故答案为 .
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一
是利用关系式：奇函数由 恒成立求解，偶函数由 恒成立求解；二是
利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由 求解，用特殊法求解参数后，
一定要注意验证奇偶性.
5．【答案】B
【解析】由题设知偶函数 在 上单调递增，
若 ,则 ，即 解得 或
.故选 B．
f x
f x f x f x f x f x
1
2
3 1
2 1xf x x a
( ) ( )f x f x 3 31 1
2 1 2 1x xx a x a
1 12 12 1 2 1x xa
1
2a 1
2
+ 0f x f x 0f x f x
0 0f 1 1 0f f
f x 0,
2 2f 1 2 1 2 1 2f x f x f f x f 1 2,x 1x
3x
24
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，
属于中档题．由题意结合函数的性质脱去 符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果．
6．【答案】A
【 解 析 】 因 为 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 所 以
，解得 ，故选 A．
【名师点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题.在本题中，应用函数的周期性
和奇偶性解题是关键. 求解时，利用已知条件，将函数的自变量变到 内，再求出函数值，由
求出 的值.
【名师点睛】根据函数的奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.
1．【答案】B
【解析】令 t=−x2+2x+3＞0，求得−1＜x＜3，故函数的定义域为（−1，3），且 y=ln t，故本题即求函数 t
在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得 t=−（x−1）2+4 在定义域内的减区间为[1，3），
故选 B．
2．【答案】A
【解析】对于选项 A,令 ，则 ，所以该函数是偶函数.
故选 A.
【名师点睛】（1）本题主要考查函数奇偶性的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.
（2）判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点
f
f x
5 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2f f f a
6a
1,0
5 12f
a
考点冲关
( ) sinf x x x ( ) sin( ) sin ( )f x x x x x f x
25
对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ；最后比较
和 的关系，如果有 = ，则该函数是偶函数，如果有 =− ，则该函
数是奇函数，否则是非奇非偶函数.
3．【答案】A
【解析】函数 为偶函数,且在 上为增函数，
对于选项 A,函数 为偶函数，且在 上为増函数，符合题意；
对于选项 B,函数 是偶函数，且在 上为减函数，不符合题意；
对于选项 C,函数 为奇函数，不符合题意；
对于选项 D,函数 为非奇非偶函数，不符合题意.
只有选项 A 符合题意，故选 A．
【名师点睛】逐一判断选项中函数奇偶性、单调性，从而可得结果.函数的三个性质：单调性、奇偶性和
周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期
性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.
4．【答案】D
【解析】由函数图象可知，函数图象关于 轴对称， 函数是偶函数.
对于 A， ，函数不是偶函数；
对于 B， ，函数不是偶函数；
对于 C， ，函数不是偶函数；
对于 D， = ，是偶函数，
故选 D．
【名师点睛】由函数图象可知，函数图象关于 轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇
偶性即可得结果.函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
f x
f x f x f x f x f x f x
3 xy ,0
21y x ,0
2logy x ,0
1y x
3 1y x
y
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
y
26
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．【答案】B
【解析】∵f（2+x）=f（2−x），∴f（x）的图象关于直线 x=2 对称，∴f（−1）=f（5），又 f（x）在
上单调递增，∴f（3）
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