2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2
课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为
( )
A.3 B.2
C.1 D.4
B [由已知得:=3,
∴m+1=3,∴m=2.]
2.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
【导学号:31062006】
A.-3 B.3
C.6 D.-6
D [由平均速度和瞬时速度的关系可知,
v=s′(1)= (-3Δt-6)=-6.]
3.若f(x)在x=x0处存在导数,则 ( )
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.以上答案都不对
B [由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关.]
4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f′(x)=a B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b
C [∵f′(x0)=
= = (a+bΔx)=a,
∴f′(x0)=a.]
5.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则
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=( )
【导学号:31062007】
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
C [因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
所以==4+2Δx.]
二、填空题
6.已知函数y=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________.
[解析] Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.
[答案]
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图113所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为1,2,3,其三者的大小关系是________.
【导学号:31062008】
图113
[解析] ∵1==kMA,
2==kAB,
3==kBC,
由图象可知:kMA
2>1.
[答案] 3>2>1
8.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是__________.
[解析] 物体的速度为v=s′(t),
∴s′(t)=
=
= =2-6t.
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即v=2-6t,
所以物体的初速度是v0=2-6×0=2.
[答案] 2
三、解答题
9.若函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a的值.
【导学号:31062009】
[解] ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx.
∴f′(1)= = = (aΔx+2a)=2a,即2a=2,
∴a=1.
10.一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2(位移:m;时间:s).
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3)求t=0到t=2时平均速度.
[解] (1)初速度v0= = = (3-Δt)=3(m/s).
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v=
=
=
= (-Δt-1)=-1(m/s).
即此物体在t=2时的瞬时速度为1 m/s,
方向与初速度相反.
(3)===1(m/s).
即t=0到t=2时的平均速度为1 m/s.
[能力提升练]
1.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图114所示,则一定有( )
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图114
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
B [由图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B机关节能效果好.]
2.设函数f(x)可导,则 等于( )
【导学号:31062010】
A.f′(1) B.3f′(1)
C.f′(1) D.f′(3)
C [ =
=f′(1).]
3.如图115所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是________.
图115
[解析] 由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
[答案] [x3,x4]
4.给出下列结论:①函数y=2x2-1在x=3处的导数为11;②若物体的运动规律是s=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0);③物体做直线运动时,它的运动规律可以用函数v=v(t)描述,其中v表示瞬时速度,t表示时间,那么该物体运动的加速度为a
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= .其中正确的结论序号为____.
[解析] ①函数y=2x2-1在x=3处的导数为12,故①错,根据变化率在物理学中的含义知②③正确.
[答案] ②③
5.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)
s=
【导学号:31062011】
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度.
(2)物体的初速度v0.
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
[解] (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为==24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.
因为物体在t=0附近的平均变化率为
=
==3Δt-18.
所以物体在t=0处的瞬时变化率为
li =li (3Δt-18)=-18.
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
因为物体在t=1附近的平均变化率为===3Δt-12.
所以物体在t=1处的瞬时变化率为 = (3Δt-12)=-12.
即物体在t=1时的速度为-12 m/s.
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