2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2

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2020高中数学 课时分层作业1 变化率问题 导数的概念 新人教A版选修2-2

课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为 ‎(  )‎ A.3       B.2‎ C.1 D.4‎ B [由已知得:=3,‎ ‎∴m+1=3,∴m=2.]‎ ‎2.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(  ) ‎ ‎【导学号:31062006】‎ A.-3 B.3‎ C.6 D.-6‎ D [由平均速度和瞬时速度的关系可知,‎ v=s′(1)= (-3Δt-6)=-6.]‎ ‎3.若f(x)在x=x0处存在导数,则 (  )‎ A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.以上答案都不对 B [由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关.]‎ ‎4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(  )‎ A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b C [∵f′(x0)= ‎= = (a+bΔx)=a,‎ ‎∴f′(x0)=a.]‎ ‎5.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则 5‎ =(  )‎ ‎ 【导学号:31062007】‎ A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2‎ C [因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,‎ 所以==4+2Δx.]‎ 二、填空题 ‎6.已知函数y=+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy=________.‎ ‎[解析] Δy=f(1.5)-f(2)=-=-1=.‎ ‎[答案]  ‎7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图113所示.在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为1,2,3,其三者的大小关系是________. ‎ ‎【导学号:31062008】‎ 图113‎ ‎[解析] ∵1==kMA,‎ 2==kAB,‎ 3==kBC,‎ 由图象可知:kMA2>1.‎ ‎[答案] 3>2>1‎ ‎8.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是__________.‎ ‎[解析] 物体的速度为v=s′(t),‎ ‎∴s′(t)= ‎= ‎= =2-6t.‎ 5‎ 即v=2-6t,‎ 所以物体的初速度是v0=2-6×0=2.‎ ‎[答案] 2‎ 三、解答题 ‎9.若函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,求a的值. ‎ ‎【导学号:31062009】‎ ‎[解] ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+c-a-c=a(Δx)2+2aΔx.‎ ‎∴f′(1)= = = (aΔx+‎2a)=‎2a,即‎2a=2,‎ ‎∴a=1.‎ ‎10.一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2(位移:m;时间:s).‎ ‎(1)求此物体的初速度;‎ ‎(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;‎ ‎(3)求t=0到t=2时平均速度.‎ ‎[解] (1)初速度v0= = = (3-Δt)=3(m/s).‎ 即物体的初速度为‎3 m/s.‎ ‎(2)v= ‎= ‎= ‎= (-Δt-1)=-1(m/s).‎ 即此物体在t=2时的瞬时速度为‎1 m/s,‎ 方向与初速度相反.‎ ‎(3)===1(m/s).‎ 即t=0到t=2时的平均速度为‎1 m/s.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图114所示,则一定有(  )‎ 5‎ 图114‎ A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 B [由图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B机关节能效果好.]‎ ‎2.设函数f(x)可导,则 等于(  ) ‎ ‎【导学号:31062010】‎ A.f′(1) B.‎3f′(1)‎ C.f′(1) D.f′(3)‎ C [ = ‎=f′(1).]‎ ‎3.如图115所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是________.‎ 图115‎ ‎[解析] 由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].‎ ‎[答案] [x3,x4]‎ ‎4.给出下列结论:①函数y=2x2-1在x=3处的导数为11;②若物体的运动规律是s=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0);③物体做直线运动时,它的运动规律可以用函数v=v(t)描述,其中v表示瞬时速度,t表示时间,那么该物体运动的加速度为a 5‎ ‎= .其中正确的结论序号为____.‎ ‎[解析] ①函数y=2x2-1在x=3处的导数为12,故①错,根据变化率在物理学中的含义知②③正确.‎ ‎[答案] ②③‎ ‎5.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)‎ s= ‎ ‎【导学号:31062011】‎ 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度.‎ ‎(2)物体的初速度v0.‎ ‎(3)物体在t=1时的瞬时速度.‎ ‎[解]  (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,‎ 物体在t∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,‎ 所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为==24(m/s).‎ ‎(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.‎ 因为物体在t=0附近的平均变化率为 = ‎==3Δt-18.‎ 所以物体在t=0处的瞬时变化率为 li =li (3Δt-18)=-18.‎ 即物体的初速度为-‎18 m/s.‎ ‎(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.‎ 因为物体在t=1附近的平均变化率为===3Δt-12.‎ 所以物体在t=1处的瞬时变化率为 = (3Δt-12)=-12.‎ 即物体在t=1时的速度为-‎12 m/s.‎ 5‎
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