2020年高中数学第二章推理与证明2

2020年高中数学第二章推理与证明2

‎2.2.1‎‎ 第1课时 综合法 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是(　　)‎ A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β 解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，‎ ‎∴cos α＞cos(α＋β)，‎ 又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．‎ 答案：D ‎2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件(　　)‎ A．a2＜b2＋c2　　　　　　　 B．a2＝b2＋c2‎ C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2‎ 解析：由余弦定理得：cos A＝＜0，‎ 故b2＋c2－a2＜0，‎ ‎∴a2＞b2＋c2.‎ 答案：C ‎3．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(　　)‎ A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b 解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1.‎ ‎∴a＞b.‎ 答案：A ‎4．四面体ABCD中，棱AB、AC、AD两两垂直，则点A在底面BCD内的射影一定是△BCD的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：如图，设点O是点A在底面BCD内的射影，并连接AO，则AO⊥面BCD.连接BO并延长交CD于点E.‎ 由已知易得AB⊥CD.‎ 5‎ 又∵AO⊥面BCD，∴AO⊥CD.‎ ‎∴CD⊥面AOB，∴CD⊥BE.‎ ‎∴O在CD的高线上，同理O在BC，BD的高线上．‎ 答案：D ‎5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数(　　)‎ A．成等比数列而非等差数列 B．成等差数列而非等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 解析：由已知条件，‎ 可得 由②③得代入①，得＋＝2b，‎ 即x2＋y2＝2b2.‎ 故x2，b2，y2成等差数列．‎ 又由①得b2＝>ac＝· 所以b4>x2·y2，故x2，b2，y2不成等比数列．‎ 答案：B ‎6．设e1、e2是两个不共线的向量，A＝2e1＋ke2，C＝e1＋3e2，若A、B、C三点共线，则k＝________.‎ 解析：∵A、B、C三点共线，‎ ‎∴存在λ使A＝λ，‎ 即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)．‎ ‎∴λ＝2，k＝6.‎ 答案：6‎ ‎7．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.‎ 则cos(α－β)＝________.‎ 解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，‎ cos α＋cos β＋cos γ＝0，‎ ‎∴，‎ 两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，‎ 5‎ ‎∴cos(α－β)＝－.‎ 答案：－ ‎8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ 解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ‎＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，‎ ‎∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，‎ ‎∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．‎ 答案：≤‎ ‎9．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.‎ 证明：∵a，b＞0，且a＋b＝1.‎ ‎∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.‎ 当且仅当a＝b时，取“＝”号．‎ ‎10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．‎ 证明：因为，，成等差数列，‎ 所以＋＝.‎ 即＝，所以b(a＋c)＝‎2ac，‎ 所以＋＝＝‎ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 所以，，也成等差数列．‎ ‎[B组　能力提升]‎ 5‎ ‎1．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)‎ A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定 解析：q＝ ‎≥＝＋＝p.‎ 答案：B ‎2．(2014·高考山东卷)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A．x±y＝0 B.x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ 解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.‎ 答案：A ‎3．如果不等式|x－a|＜1成立的充分非必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1，‎ 由题意知(，)(a－1，a＋1)，则有，‎ ‎(且等号不同时成立)解得≤a≤.‎ 答案：≤a≤ ‎4.如图，在三棱锥VABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．‎ 求证：MN∥底面ABC.‎ 5‎ 证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.‎ 由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC的重心．在△VPQ中，＝，＝，‎ 所以＝，‎ 所以MN∥PQ.‎ 因为MN⊄底面ABC，PQ⊂底面ABC，‎ 所以MN∥底面ABC.‎ ‎5．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.‎ ‎(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围．‎ ‎(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.‎ 解析：(1)由题意得|x2－1|<3.即－30.‎ 又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab，‎ 所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab>0，‎ 所以a3＋b3－2ab>a2b＋ab2－2ab>0，‎ 所以|a2b＋ab2－2ab|<|a3＋b3－2ab|，‎ 所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.‎ 5‎