高中数学必修4同步练习：第二章 平面向量 章末复习课

高中数学必修4同步练习：第二章 平面向量 章末复习课

必修四 第二章 平面向量 章末复习课 一、选择题 ‎1、已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定是△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 ‎2、在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎3、若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为(　　)‎ A．0 B. C. D. ‎4、在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·等于(　　)‎ A．－3 B．－‎2 C．2 D．3‎ ‎5、已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)‎ A. ＝ B. ＝2‎ C. ＝3 D．2＝‎ ‎6、已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ等于(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．－2 D．2‎ ‎7、若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)等于(　　)‎ A．20 B．(－10,30)‎ C．54 D．(－8,24)‎ 二、填空题 ‎8、已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．‎ ‎9、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.‎ ‎10、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是______．‎ ‎11、过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．‎ 三、解答题 ‎12、如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求实数λ、μ的值．‎ ‎13、设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.‎ ‎(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？‎ ‎(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？‎ ‎14、已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)和D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，得·＝·.∴·＝0，O在边AB的高线上．同理O在边AC的高线上，即O为△ABC的垂心．故选C.]‎ ‎2、A　[易知P为△ABC的重心，则＋＝－＝，故·(＋)＝2＝，故选A.]‎ ‎3、D　[∵a·c＝a·＝a·a－·(a·b)＝0，∴〈a，c〉＝.]‎ ‎4、D　[＝＋＝(1,2)，＝－＝(－3,2)，解得＝(－1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝3.故选D.]‎ ‎5、A　[由题意D是BC边的中点，‎ 所以有＋＝2，‎ 所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0⇒＋＝0⇒＝.]‎ ‎6、A　[(λa＋b)·a＝0，∴λa2＋a·b＝0.‎ ‎∴10λ＋10＝0，∴λ＝－1.故选A.]‎ ‎7、B　[a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，‎ ‎∴(a·b)(a＋b)＝5×(－2,6)＝(－10,30)．故选B.]‎ 二、填空题 ‎8、 解析　由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝.又∵|β|＝2，‎ ‎∴|2α＋β|＝＝＝＝.‎ ‎9、2‎ 解析　λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，‎ ‎∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.‎ ‎10、1‎ 解析　b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.‎ ‎11、2x＋y－7＝0‎ 解析　设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．‎ 由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.‎ 三、解答题 ‎12、解　方法一　‎ 过点C分别作平行于OB的直线CE交直线OA于点E，平行于OA的直线CF交直线OB于点F.如图所示．‎ 在Rt△OCE中，||＝＝＝4；‎ ‎||＝||·tan 30°＝2×＝2，‎ 由平行四边形法则知，＝＋＝4＋2，‎ ‎∴λ＝4，μ＝2.‎ 方法二　‎ 如图所示，以所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立直角坐标系．设B点在x轴的射影为B′，C点在x轴的射影为C′.‎ 易知，OC′＝2cos 30°＝3，CC′＝OCsin 30°＝，BB′＝OBsin 60°＝，‎ OB′＝OBcos 60°＝，‎ ‎∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为，‎ C点坐标为(3，)．‎ ‎∵＝λ＋μ ‎∴∴.‎ 方法三　∵＝λ＋μ.‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得λ＝4，μ＝2.‎ ‎13、解　(1)设a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，‎ 化简得(m－1)a＝(－t)b，‎ ‎∵a与b不共线，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎∴t＝时，a，tb，(a＋b)的终点在一直线上．‎ ‎(2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos 60°＝(1＋t2－t)|a|2.‎ ‎∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.‎ ‎14、解　∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，‎ ‎＝(－4,2)，＝(－5,1)，‎ ‎∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．‎ 根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对m，n使得 ‎＋＋＝m＋n，‎ ‎∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)．‎ ‎∴，得m＝32，n＝－22.‎ ‎∴＋＋＝32－22.‎