辽宁省辽南协作校2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

辽宁省辽南协作校2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019——2020学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，若，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知，进而可求得集合，即可求得.‎ ‎【详解】集合，，，‎ 则，所以，‎ 则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系，根据交集运算结果得集合，集合并集的简单运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，（虚数单位），则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算，化简即可得解.‎ ‎【详解】复数满足，‎ 则，由复数除法运算化简可得 ‎，‎ 故选：B.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3.设，是向量，则“”是“”( )‎ A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量数量积的运算律，化简，即可由平面向量垂直的关系判断充分性，再根据零向量的性质判断必要性，即可得结论.‎ ‎【详解】，是向量，由化简可得 ‎，所以.‎ 若，则；‎ 若，当或时，不满足；‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，充分必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎4.若空间中三条两两不同的直线，，，满足，，则下列结论一定正确的是( )‎ A. B. 与既不垂直又不平行 C. D. 与的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，将三条线段置于正方体中，即可判断各选项.‎ ‎【详解】空间中三条两两不同直线，，，满足，，‎ 位置关系可如下图所示：‎ - 22 -‎ 根据图示可知，当取两个不同位置时，满足，，可排除ABC选项，‎ 即与的位置关系不确定，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎5.已知，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】.‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.‎ ‎6.已知正三棱锥，点、、、都在直径为的球面上，若、、两两互相垂直，则该正三棱锥的底面的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出正三棱锥，结合球的直径即可求得正三棱锥的三条侧棱长，进而确定底面的面积.‎ ‎【详解】由题意，画出正三棱锥如下图所示：‎ - 22 -‎ 点、、、都在直径为的球面上，‎ 则满足，且，‎ 解得，‎ 所以，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征，三棱锥外接球的性质及应用，三角形面积公式求法，属于基础题.‎ ‎7.点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到准线的距离为，分和两种情况分别求得，进而得到抛物线方程．‎ ‎【详解】当时，开口向上，准线方程为，则点到准线的距离为，求得，抛物线方程为，‎ - 22 -‎ 当时，开口向下，准线方程为，点到准线的距离为解得，抛物线方程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对抛物线开口方向的讨论.‎ ‎8.函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．‎ ‎【详解】函数的定义域是，排除BD，‎ 又，即函数为奇函数．排除A．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法．‎ ‎9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象　　‎ - 22 -‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．‎ 考点：三角函数图象 ‎10.如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 40海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在中，，所以，‎ 由正弦定理可得：，解得，‎ 在中，，所以，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ - 22 -‎ ‎，解得.‎ ‎11.如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果.‎ ‎【详解】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，‎ 设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为，‎ 连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：，‎ ‎∴此点取自阴影部分的概率是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．‎ - 22 -‎ ‎12.已知双曲线的两顶点分别为，，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，若在线段（不含端点）上存在两点，，使得，则双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求得直线的方程，由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可得线段与以为直径的圆相交，即可求得；再根据即可得双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围.‎ ‎【详解】双曲线，为双曲线的一个焦点，为虚轴的一个端点，‎ 不妨设，‎ 则直线的方程为，‎ 因为在线段（不含端点）上存在两点，，使得，‎ 所以线段与以为直径的圆相交，即，‎ 化简可得，‎ 双曲线中满足，代入上述不等式可得，‎ 则，‎ - 22 -‎ 由在线段（不含端点）上存在两点，，使得可知，‎ 所以，即双曲线的渐近线斜率的平方的取值范围为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线几何性质的简单应用，渐近线斜率取值范围的应用，直线与圆位置关系的判断及应用，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.若，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式组画出可行域，将目标函数化为直线方程，即可确定的最小值.‎ ‎【详解】根据不等式组，画出可行域如下图所示：‎ 目标函数可化为，‎ 由图示可知，当经过点时，，‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，属于基础题.‎ ‎14.我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒.估计这批米内所夹的谷有______石.‎ - 22 -‎ ‎【答案】170‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等古典概型概率公式求法即可得解.‎ ‎【详解】由等可能事件概率公式可知，这批米内所夹的谷有 ‎ 石 故答案为：170.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题.‎ ‎15.考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用表示该有机体死亡年后体内碳14的含量，则与的关系式可以表示为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，建立函数模型，由经过大约5730年后会变为原来的一半可求得解析式.‎ ‎【详解】由题意可设，‎ 当时，，即，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数模型的选择，函数解析式的求法，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎16.已知，，对于时都有恒成立，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式及不等式，分离参数可得，构造函数，并求得及其零点，利用的符号可判断的单调性，由导函数与单调性关系即可求得的最大值，即可确定的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可知，对于时都有恒成立，‎ 代入可得，‎ 所以，‎ 令，‎ 则 ‎，‎ 当时，，‎ 且，‎ 对于，恒成立，‎ 则在内单调递减，‎ - 22 -‎ 由，可知当时，所以在内单调递增，‎ 当时，所以在内单调递减，‎ 则，‎ 所以即可.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了导函数在函数单调性和最值中的应用，利用导数与不等式求参数的取值范围，构造函数法的综合应用，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.数列的前项和，满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，结合条件式即可判断数列为等比数列，即可由首项与公比求得数列的通项公式.‎ ‎（2）将数列的通项公式代入，结合对数式的化简即可知数列为等差乘等比形式，结合错位相减法即可得解.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴当时，.‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ - 22 -‎ ‎∴，故为等比数列，公比为3，首项为3.‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，可得.‎ ‎∴‎ 两式相减得 ‎ ‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题考查了递推公式证明数列为等比数列的方法，错位相减法的综合应用，属于中档题.‎ ‎18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图.‎ ‎（1）求这100天中，客流量超过4万的频率；‎ - 22 -‎ ‎（2）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.‎ ‎②求客流量的中位数.‎ ‎【答案】（1）0.55；（2）①4.15；②4.125.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，可求得客流量超过4万的频率；‎ ‎（2）由频率分布直方图，结合平均数与中位数的求法即可得解.‎ ‎【详解】（1）频率为 ‎（2）①平均值为 ‎②设中位数为，‎ 则 解得中位数为 ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质，在求平均数、中位数中的简单应用，属于基础题.‎ ‎19.如图，四棱柱中，平面，，，，，为棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线段长度，由勾股定理逆定理可证明，再由线面垂直的性质可证明，即可由线面垂直的判定证明平面；‎ ‎（2）利用等体积法可知，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎，且 ‎∴平面 ‎（2）在中，，‎ 所以，‎ 由等体积法可知 ‎【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定定理应用，等体积法求棱锥的体积，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆的标准方程是，设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过做的垂线交椭圆于点，.‎ ‎（1）证明：线段平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（2）当最小时，求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由椭圆标准方程可得的坐标，设点坐标为，可得直线的斜率，讨论与两种情况，设直线的方程是，，；联立直线与椭圆方程，即可用表示点的坐标，即可证明结论.‎ ‎（2）由（1）结合弦长公式，表示出，即可得，结合基本不等式即可求得最小值及最小值时的值，进而得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）证明：椭圆的标准方程是，‎ 设是椭圆的左焦点，为直线上任意一点，‎ 所以得坐标为，设点坐标为，‎ 则直线的斜率，‎ 当时，直线的斜率，‎ 直线的方程是，‎ 当时，直线的方程，‎ 也符合方程的形式，‎ 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立得：‎ 消去得，‎ 有，‎ 设的中点的坐标为，‎ ‎， ，‎ - 22 -‎ 所以直线的斜率，又因为直线的斜率，‎ 所以点在直线上，因此线段平分线段.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 当且仅当，‎ 即时等号成立，此时取得最小值，‎ 点的坐标为或 ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质的应用，由韦达定理分析弦的中点坐标问题，线段比值最值的求法，基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数在点处的切线与轴平行，求实数的值及函数在区间上的单调区间；‎ ‎（2）函数在区间上单调递增，求实数的范围.（已知连续）‎ ‎【答案】（1）1，的递增区间为，递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解析式，先求得导函数，即可由导数的几何意义求得参数值；根据导数与函数单调性关系，即可求得函数的单调区间.‎ ‎（2）根据导函数，讨论、和，结合函数单调递增，即可确定的范围.‎ ‎【详解】（1）函数.‎ 则 - 22 -‎ ‎，‎ ‎∴‎ 所以 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 所以函数的递增区间为，递减区间为 ‎（2）‎ ‎①当时，由（1）知，时，递增，‎ ‎②当时，，，，，递增，‎ ‎③当时，，使得，，递减，不符合题意，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查了导函数的求法，导数的几何意义及简单应用，由函数单调区间求参数的取值范围，分类讨论思想的综合应用，属于中档题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若可，试判断曲线和的位置关系；‎ - 22 -‎ ‎（2）若曲线与交于点，两点，且，满足.求的值.‎ ‎【答案】（1）相离；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，可将和转化为直角坐标方程，结合点到直线距离即可判断和的位置关系；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由参数方程的几何意义即可确定的关系，进而求得的值.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为，化为普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴的直角坐标方程，是以为圆心，1为半径的圆，‎ 因为圆心到直线的距离，‎ 所以曲线和相离.‎ ‎（2）将代入.‎ 整理得，‎ 由得，‎ 设交点，对应的参数分别为，，‎ 则，‎ 因此所以，‎ - 22 -‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义的应用，属于中档题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式：；‎ ‎（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值，则，，，根据，利用均值不等式求最值即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ 可得当时，，即，所以无解；‎ 当时，，得，可得；‎ 当时，，得，可得.‎ - 22 -‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）根据函数 可知当时，函数取得最小值，可知，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴ .‎ 当且仅当，即时，取“=”.‎ ‎∴的最小值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎