山西省山西大学附中2020届高三下学期3月模块诊断数学试题 Word版含解析

山西省山西大学附中2020届高三下学期3月模块诊断数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 山西大学附中 ‎2019～2020学年高三第二学期3月(总第十二次)模块诊断 数学试题（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知全集，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式解法得到集合A，再由集合补集得到结果.‎ ‎【详解】由题意得，，，，‎ ‎∴.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题.‎ ‎2.若，则 A. 1 B. -1 C. i D. -i ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C．‎ ‎【考点】复数的运算、共轭复数．‎ ‎【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ - 23 -‎ ‎3.已知，且与垂直，则与的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的数量积的定义即可求解.‎ ‎【详解】解：得，‎ 求得与的夹角是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的定义及运算，属于基本题.‎ ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】指数函数为增函数，则，‎ 对数函数是上的增函数，则，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎5.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.‎ 考点：空间点线面位置关系．‎ ‎6.展开式中的系数为（ ）‎ A. -7 B. 28 C. 35 D. 42‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的通项为,令分别得到系数，进而求和.‎ ‎【详解】∵二项式的通项为，分别令，则的系数为.故选B.‎ ‎【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎7.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列前n项和公式及，可得的值.代入 - 23 -‎ 由等差数列通项公式，即可求得首项与公差，进而得数列的通项公式.结合裂项求和法即得数列的前2020项和.‎ ‎【详解】等差数列的前项和为，，‎ 由等差数列前n项和公式可得 所以，结合，‎ 由等差数列通项公式可得，解得，‎ 由等差数列通项公式可得，‎ 则.‎ 所以 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列前n项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.‎ ‎8.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 根据在区间内随机取个数，则有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为，能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得求得相应的面积，再利用几何概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】依题有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.‎ 因为，能与1构成钝角三角形，‎ 由余弦定理的及三角形知识得，‎ 构成如图阴影部分，‎ 其面积为，‎ 由几何概型概率计算公式得，‎ 解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎9.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合图象，先判断奇偶性，然后根据x趋近0时判断.‎ ‎【详解】的定义域为，，‎ 是偶函数，排除A，C.‎ 又且无限接近0时，且，‎ 此时，排除D，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意得，，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，‎ - 23 -‎ 即 ，又因为为双曲线，则 ，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.‎ ‎11.设函数，其中，已知在上有且仅有4个零点，则下列的值中满足条件的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，从而将问题转化为在上有4个零点，从而得到，再利用不等式恒成立问题求得的范围，即可得答案 ‎【详解】设，则，‎ 所以在上有4个零点，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，即，满足的只有A.‎ 故选：A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.‎ ‎12.在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：‎ ‎：若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.‎ 在下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；‎ 取BC的中点G，分别为的中点故得，故平面EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故是真命题；‎ 设AB=a, AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝，PO＝‎ O为球心，球的半径为，表面积为 ,又正方形的面积为,故为真．‎ 故为真； 均为假．‎ 故答案为A．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）‎ ‎13.已知3sinα＝1，则的值为_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 由已知利用二倍角的三角函数公式可得的值，进而得解．‎ ‎【详解】∵ ＝， ∴ ，可得＝＝， ∴ ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查二倍角公式的运用，属于基础题.‎ ‎14.已知数列满足，且，该数列的前项和为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用即可求解.‎ ‎【详解】解：‎ ‎.‎ 故答案为： .‎ ‎【点睛】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题.‎ ‎15.2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为，，，，（单位：十万只），若这组数据，，，，的方差为1.44，且，，，，的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩__________十万只.‎ ‎【答案】1.6‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 设，，，，的平均数为，根据方差的计算公式有 ‎.即，再利用，，，，的平均数为4求解.‎ ‎【详解】依题意，得.‎ 设，，，，的平均数为，‎ 根据方差的计算公式有 ‎.‎ ‎，‎ 即，‎ ‎.‎ 故答案为：1.6‎ ‎【点睛】本题主要考查样本中的数字特征，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，若有两个不同的实数解，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原题等价于或，即有或，则条件等价于①有2解，无解；②有1解，有1解；③无解，有2解；作出函数的图象，数形结合即可 - 23 -‎ ‎【详解】解：可化为，解得或，‎ 即有或，则方程有两个不同的实数解，等价于：‎ ‎①有2解，无解；②有1解，有1解；③无解，有2解；‎ 令函数，，时，，即有在上单调递增，在上单调递减，（e），‎ 作出函数的图象如图：‎ 则①有2解，无解，此时，此时无解，舍去；‎ ‎②有1解，有1解，此时因为，则需，解得；‎ ‎③无解，有2解，此时，解得，‎ 综上，，‎ 故答案为：．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设的内角所对的边分别是，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设，求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由边化角得：，即，又，，所以，从而求出角；‎ ‎（2）因为，，由余弦定理，得，再结合基本不等式得到，解得，从而求出周长的最大值．‎ ‎【详解】解：（1）．‎ 由正弦定理，边化角得：，即，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，又，，‎ ‎，又，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ - 23 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，又，‎ ‎，‎ 所以周长的最大值为，当且仅当时取到最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理综合应用，是基础题．‎ ‎18.已知菱形的边长为,,,将菱形沿对角线折起,使,得到三棱锥,如图所示.‎ ‎ ‎ ‎(1)当时,求证:平面;‎ ‎(2)当二面角的大小为时,求直线与平面所成的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.‎ ‎(2)由于平面不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以为原点建系,所在的直线分别为轴,轴,求出平面的法向量,求解和的夹角,即可求得答案.‎ ‎【详解】(1)在中,,‎ - 23 -‎ ‎,即,‎ ‎,且,‎ 平面.‎ ‎(2)由(1)知,,以为原点,所在的直线分别为轴,轴 建立如图的空间直角坐标系:‎ 则.‎ 为二面角的平面角,‎ 点 ‎,,‎ 设平面的法向量为,则 ‎ 故 取,则 ‎ ‎ 设直线与平面所成的角为,‎ - 23 -‎ ‎ 直线与平面所成的正切值:.‎ ‎【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.‎ ‎19.某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男生、女生各随机抽取20人，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直方图和茎叶图：‎ ‎（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”.根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关 男生 女生 合计 安全通 非安全通 合计 ‎（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2女，设其中“安全通”的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：参考公式，其中.‎ - 23 -‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析；没有95%的把握认为“安全通”与性别有关（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据，计算并填写好列联表.计算出的值，由此判断没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.‎ ‎（2）根据相互独立事件概率乘法公式，结合男生、女生中安全通的人数，计算出分布列，进而求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）由题知，女生样本数据中“安全通”为6人，非“安全通”为14人，男生样本中“安全通”人数为人，非“安全通”的人数为8人，列出列联表如下：‎ 男生 女生 合计 安全通 ‎12‎ ‎6‎ ‎18‎ 非安全通 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 假设：“安全通”与性别无关，‎ 所以的观测值为，‎ 所以没有95%的把握认为“安全通”与性别有关.‎ - 23 -‎ ‎（2）由题知，随机选1女生为“安全通”的概率为0.3，选1男生为“安全通”的概率为0.6，的可能取值为0，1，2，3，4，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.0784‎ ‎0.3024‎ ‎0.3924‎ ‎0.1944‎ ‎0.0324‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图与直方图的应用，考查列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查数据处理能力、求解运算能力，考查样本估计总体思想.‎ ‎20.已知椭圆的短半轴长为，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，，解之即得椭圆的方程；（2）设，，则，，联立直线BE的方程和椭圆的方程求出 - 23 -‎ ‎， ，证明，是直角三角形即得证.‎ ‎【详解】（1）依题意可得，所以，‎ 得，所以椭圆的方程是 . ‎ ‎（2）设，，则，，‎ 直线的方程为， ‎ 与联立得 ， ‎ 因为，是方程的两个解，‎ 所以 ‎ 又因为，‎ 所以，代入直线方程得 ‎ ‎ ‎ 所以，即是直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21.已知函数为反比例函数,曲线在处的切线方程为.‎ - 23 -‎ ‎（1）求的解析式;‎ ‎（2）判断函数在区间内的零点的个数,并证明.‎ ‎【答案】（1）； （2）函数在上有3个零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,则,直线的斜率为,过点,,所以,,即可求得的解析式;‎ ‎(2)函数在上有个零点.因为,则,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】(1)设,则,‎ 直线的斜率为,过点 ‎,‎ 则,‎ ‎ .‎ ‎(2)函数在上有个零点.‎ 证明:‎ 则 又 - 23 -‎ ‎ 在上至少有一个零点,‎ 又在上单调递减,故在上只有一个零点,‎ 当时,,故,‎ 所以函数在上无零点.‎ 当时,令,‎ ‎ 在上单调递增,,‎ ‎ ,使得在上单调递增,在上单调递减.‎ 又,‎ 函数在上有2个零点.‎ 综上所述,函数上有3个零点.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）消参可得直线的普通方程，由 可求出曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）直线的普通方程为 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ‎（2）曲线的参数方程为 设点的坐标为 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）设函数的最小值为，已知，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）先化简函数，分类讨论，即可求得不等式的解集 ；‎ ‎（2）由（1），求得函数的最小值，得到，得到，进而，再结合基本不等式，即可求解的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 所以当时，由，解得；‎ 当时，由，解得；‎ 当时，由，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 可得函数在单调递减，在上单调递增，‎ 所以的最小值为，即，‎ 所以，即，‎ 因为，则，又由，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，取得等号，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，一次函数和分段函数的性质，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查推理与计算能力.‎ - 23 -‎ - 23 -‎