上海市上海中学2020届高三下学期高考模拟考试（4月）数学试题 Word版含解析

上海市上海中学2020届高三下学期高考模拟考试（4月）数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年上海中学高考数学模拟试卷（4月份）‎ 一、填空题 ‎1.已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求元素的关系．‎ ‎【详解】解：因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，‎ 所以（无解）或者，‎ 解得：．‎ 故答案为：-3．‎ ‎【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．‎ ‎2.__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分子的有界性，分母的极限性即可求解．‎ ‎【详解】解：因为，‎ 而时，，‎ ‎∴．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】本题考查极限的求解，属于基础题目．‎ ‎3.已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出向量的坐标，进而可得向量与、的模，分析可得 - 23 -‎ ‎，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，向量，，‎ 则，‎ 则，，，‎ 若，则有，‎ 解可得：；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的计算，考查运算能力．‎ ‎4.的展开式中的系数为__________．‎ ‎【答案】-120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于4，求得的值，即可求得含的项的系数．‎ ‎【详解】解：的展开式的通项公式为，‎ 令，求得，‎ 故展开式中的系数为.‎ 故答案为：-120．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．‎ ‎5.设是等差数列的前n项和，若m为大于1的正整数，且，，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 本题先根据等差中项的性质有，代入题干表达式可得到关于的方程，解出的值，然后根据等差数列的求和公式转化计算，再次利用等差中项的性质，代入的值，即可计算出的值．‎ ‎【详解】解：依题意，，‎ 由，可得 ‎，‎ 整理，得，‎ 解得：．‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ 解得：．‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的应用和等差数列的求和公式的应用，考查了转化与化归思想和数学运算能力．‎ ‎6.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学不相邻的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数，A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数，由此能求出A、B两位同学不相邻的概率．‎ ‎【详解】解：A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，‎ 基本事件总数，‎ A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数，‎ - 23 -‎ ‎∴A、B两位同学不相邻的概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，运用了排列组合和利用捆绑法解决不相邻问题，考查运算求解能力．‎ ‎7.不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦函数公式化简可得，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，可得，，‎ 解得，，‎ ‎∴不等式的解集为 ‎，，‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了函数思想．‎ ‎8.对于任意满足不等式实数x、y，都能使得不等式组成立，则m的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，再结合半径最大的圆 - 23 -‎ 应与直线相切，求出半径的最大值，即可求出结论．‎ ‎【详解】解：由题意可知，不等式组表示的可行域如图：‎ 以为圆心的圆在不等式组所表示的区域内，‎ 半径最大的圆应与直线相切，‎ 圆心到的距离为：，‎ 圆心到的距离为：，‎ 由于，‎ ‎∴符合题意的最大的圆为：，‎ ‎∴的最大值是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了简单线性规划，涉及直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力．‎ ‎9.半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．‎ ‎【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．‎ 不妨设，，，则有，即．‎ 记．‎ 从而有，即，从而．‎ 当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．‎ ‎10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求的值，根据同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式可求，的值，根据两角和的正弦函数公式可求的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．‎ ‎【详解】，，，‎ 由正弦定理，可得：，可得：，‎ - 23 -‎ 可得：，可得：，‎ 可得：，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎11.已知x、y都是正数，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值.‎ ‎【详解】解：令，那么 - 23 -‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析运算能力．‎ ‎12.设，方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不防令，由题意的图象是关于对称的，可得．助于的图象可以得到，之间的关系，最终将表示成的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题．‎ ‎【详解】解：∵时，，‎ ‎∴在与上的图象关于对称，‎ 作出图象如下：不防令，‎ 可得，，∴．‎ ‎∴，，，‎ ‎∴‎ ‎，，‎ - 23 -‎ 令，‎ 则原式化为：，，‎ 其对称轴，开口向上，故在递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的方法，体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查．‎ 二、选择题 ‎13.若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案.‎ ‎【详解】.‎ 复数为纯虚数,得解得.‎ - 23 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..‎ ‎14.“”是“”的（ ）.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个命题：和的真假即可得．‎ ‎【详解】由于，且，得到，故充分性不成立；当时，，故必要性成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题和的真假．‎ ‎15.如图所示程序框图中，输出的为 （ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】执行循环得：‎ ‎,选C.‎ ‎16.如图，已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之差的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线的方程为，‎ 由消去x整理得，‎ 显然，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 由题意得，即，‎ 解得或（舍去）．‎ ‎∴直线与x轴的交点为 ‎∴‎ - 23 -‎ ‎，当且仅当，即时等号成立．‎ 故与面积之差的最小值是．选C．‎ 点睛：‎ ‎（1）设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为的形式，其中当时表示斜率不存在的情形．‎ ‎（2）解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值．若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条件．‎ 三、解答题 ‎17.如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角正弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ - 23 -‎ ‎（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．‎ 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．‎ 在Rt△CAD中，CD==4．‎ 在Rt△CMD中，．‎ 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．‎ ‎18.王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC - 23 -‎ 上的点F处，折痕为DE，设，．‎ ‎（1）求x、y满足的关系式；‎ ‎（2）求x的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，由翻折的特点可得垂直平分，则，在中，运用余弦定理可得，的关系式；‎ ‎（2）由（1）的关系式，解得关于的式子，换元后，运用基本不等式可得所求范围，注意等号成立的条件．‎ ‎【详解】解：（1）如图连接，由点翻折后恰好落在边上的点处，‎ 折痕为，可得垂直平分，则，‎ 由等边三角形边长为1，且，‎ 可得，，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得：‎ 即，‎ 化简可得：，‎ 即x、y满足的关系式为：；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 解得：，‎ - 23 -‎ 设，由，可得：，‎ 则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，等号成立，‎ 则x的取值范围是：．‎ ‎【点睛】本题考查平面几何的翻折问题，考查解三角形的余弦定理，以及变量的取值范围的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力．‎ ‎19.已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可求得等差数列的公差，得到数列的通项公式，再由是等比数列，求得公比，从而求数列和的通项公式；‎ ‎（2）化简，分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列 的前n项和．‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：（1）∵是等差数列，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵是等比数列，‎ 且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2），‎ ‎①当为奇数时，‎ ‎，‎ ‎②当为偶数时，‎ ‎．‎ 综上所述，‎ - 23 -‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了数列的通项公式和前项和的求法及分类讨论的思想应用．‎ ‎20.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设为椭圆C上的动点，F为椭圆C的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点满足．‎ ‎①证明：为定值；‎ ‎②设Q是直线上的动点，直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）①见解析②3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得又过一点，及，，之间的关系求出，，进而求出椭圆的方程；‎ ‎（2）①由（1）可得右焦点，，的坐标，求出向量的模，及向量的模可证得为定值；‎ ‎②由题意方程可得为右准线，设的坐标，求出直线，的直线与椭圆联立求出 - 23 -‎ ‎，的横坐标，再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得用，的横坐标表示，由均值不等式可得其最小值.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，，‎ 解得：，，‎ 所以椭圆方程为：；‎ ‎（2）由（1）可得，，，‎ ‎①因为为椭圆C上的动点，‎ 点满足，所以；‎ 所以 ‎，‎ 所以：，‎ 所以可证为定值2．‎ - 23 -‎ ‎②由题意设，所以，‎ 所以直线的方程为：，‎ 联立直线与椭圆的方程：‎ 整理可得：，‎ 所以，所以，‎ 同理，所以直线的方程：，‎ 整理可得：，‎ 所以，所以，‎ 因为为右准线，‎ 所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率，‎ 可得：‎ ‎，‎ - 23 -‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 所以的最小值为3．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合，以及向量的模的求法，考查解题运算能力．‎ ‎21.若函数对任意的，均有，则称函数具有性质．‎ ‎（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①；②．‎ ‎（2）若函数具有性质，且，求证：对任意有；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否对任意均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．‎ ‎【答案】（1）①具有性质；②不具有性质，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由，举出当时，不满足，即可得到结论；‎ ‎（2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设为中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；‎ ‎（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如，证明对任意均有不成立．‎ - 23 -‎ ‎【详解】证明：（1）①函数具有性质，‎ ‎，‎ 因为，，‎ 即，‎ 此函数为具有性质；‎ ‎②函数不具有性质，‎ 例如，当时，‎ ‎，，‎ 所以，，‎ 此函数不具有性质．‎ ‎（2）假设为中第一个大于0的值，‎ 则，‎ 因为函数具有性质，‎ 所以，对于任意，‎ 均有，‎ 所以，‎ 所以，‎ 与矛盾，‎ 所以，对任意的有．‎ ‎（3）不成立．‎ 例如，‎ 证明：当x为有理数时，，均为有理数，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 当x为无理数时，，均为无理数，‎ 所以，函数对任意的，‎ 均有，‎ 即函数具有性质．‎ 而当且当x为无理数时，．‎ 所以，在（2）的条件下，‎ ‎“对任意均有”不成立．‎ 如，，‎ 等．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．‎ - 23 -‎ - 23 -‎