人教版高中数学选修2-3练习：第三章3-1第1课时线性回归模型word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第三章3-1第1课时线性回归模型word版含解析

第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 第 1课时 线性回归模型 A级 基础巩固 一、选择题 1．有下列说法： ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点 的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用 线性关系表示； ③通过回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 及其回归系数 b，可以估计和观测变量 的取值和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没 有必要进行相关性检验． 其中正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点 图的作用，也正确．③反映的是回归模型 y＝bx＋a＋e，其中 e 为随机 误差，故也正确．④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验， 以体现两变量的关系． 答案：C 2．设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 r，y 关于 x 的回归直线的斜率是 b，纵轴上的截距是 a，那么必有( ) A．b 与 r 的符号相同 B．a 与 r 的符号相同 C．b 与 r 的符号相反 D．a 与 r 的符号相反 解析：因为 b＞0时，两变量正相关，此时 r＞0；b＜0时，两变 量负相关，此时 r＜0. 答案：A 3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则 y 与 x 之间的回归直线方程为( ) A.y ^ ＝x＋1 B.y ^ ＝x＋2 C.y ^ ＝2x＋1 D.y ^ ＝x－1 解析：求出样本中心( — x ， — y )代入选项检验知选项 A正确． 答案：A 4．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性 相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法 建立的回归方程为y ^ ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( ) A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心( — x ， — y ) C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 解析：回归方程中 x 的系数为 0.85＞0，因此 y 与 x 具有正的线性 相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的 中心 — x ， — y ，B正确；依据回归方程中 y 的含义可知，x 每变化 1个单 位，y 相应变化约 0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计 不能得到肯定的结论，故 D错误． 答案：D 5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关 系，随机调查了该社区 5户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，其中b ^ ＝0.76，a ^ ＝y－b ^— x ，. 据此估计，该社区一户年收入为 15万元家庭的年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 解析：由已知得 — x ＝ 8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9 5 ＝10(万元)， — y ＝ 6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8 5 ＝8(万元)， 故a ^ ＝8－0.76×10＝0.4. 所以回归直线方程为y ^ ＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为 15万元家 庭年支出为y ^ ＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为 15万元家庭支出为y ^ ＝ 0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：B 二、填空题 6．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒 服的月销售量 y(单位：件)与月平均气温 x(单位：℃)之间的关系，随 机统计了某 4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表所示： 月平均气温 x/℃ 17 13 8 2 月销售 y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ 中的b ^ ＝－2.气象部门预 测下个月的平均气温约为 6 ℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒 服的销售量的件数约为________． 解析：由表格得( — x ， — y )为(10，38)，又( — x ， — y )在回归直线y ^ ＝ b ^ x＋a ^ 上，且b ^ ＝－2，所以 38＝－2×10＋a ^ ，a ^ ＝58，所以y ^ ＝－2x＋ 58，当 x＝6时，y ^ ＝－2×6＋58＝46. 答案：46 7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售 市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业 9月份的产 品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析， 结果如下： a ^ ＝71－(－1.818 2)× 7 2 2 ≈77.36，则销量每增加 1千箱，单位成 本下降________元． 解析：由已知可得，y ^ ＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加 1千箱， 则单位成本下降 1.818 2元． 答案：1.818 2 8．已知一个线性回归方程为y ^ ＝1.5x＋45，其中 x 的取值依次为 1， 7，5，13，19，则 — y ＝________． 解析： — x ＝ 1＋7＋5＋13＋19 5 ＝9，因为回归直线方程过点( — x ， — y )，所以 — y ＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5. 答案：58.5 三、解答题 9．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量 x(单位：mg/L) 与消光系数 y 读数的结果如下： 尿汞含量 x 2 4 6 8 10 消光系数 y 64 138 205 285 360 (1)画出散点图； (2)求回归方程． 解：(1)散点图如图所示： (2)由图可知 y 与 x 的样本点大致分布在一条直线周围，因此可以 用线性回归方程来拟合它． 设回归方程为y ^ ＝b ^ x＋a ^ . 故所求的线性回归方程为y ^ ＝36.95x－11.3. 10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^ ＝b ^ x＋ a ^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018年的粮食需求量． 解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升， 下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下： 年份 2012年 －4 －2 0 2 4 需求量 257万吨 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得 — x ＝0， — y ＝3.2.所以 b ^ ＝ （－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29 42＋22＋22＋42 ＝ 6.5， a ^ ＝ — y －b ^— x ＝3.2. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^ －257＝b ^ (x－2 012)＋a ^ ＝6.5(x－2 012)＋3.2， 即y ^ ＝6.5(x－2 012)＋260.2.① (2)利用直线方程①，可预测 2018年的粮食需求量为 y ^ ＝6.5×(2 018－2 012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈ 300(万吨)． B级 能力提升 1．某考察团对全国 10大城市进行职工人均工资水平 x(单位：千 元)与居民人均消费水平 y(单位：千元)统计调查，y 与 x 具有相关关系， 回归方程为y ^ ＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为 7.675(单 位：千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 ( ) A．83% B．72% C．67% D．66% 解析：因为当y ^ ＝7.675时，x＝7.675－1.562 0.66 ≈9.262， 所以 7.675 9.262 ≈0.829≈83%. 答案：A 2．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关 系，下表记录了小李某月 1号到 5号每天打篮球时间 x(单位：小时)与 当天投篮命中率 y 之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方 法，预测小李该月 6号打 6小时篮球的投篮命中率为________． 解析：这 5天的平均投篮命中率为 — y ＝ 0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4 5 ＝0.5， — x ＝ 1＋2＋3＋4＋5 5 ＝3. 所以b ^ ＝ 0.1 10 ＝0.01，a ^ ＝ — y －b ^— x ＝0.47. 所以回归直线方程为y ^ ＝0.01x＋0.47. 当 x＝6时，y ^ ＝0.01×6＋0.47 ＝0.53. 答案：0.5 0.53 3．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入量 x(单位：千万元)有如下统计数据： 分类 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 资金投入量 x/ 千万元 1.5 1.4 1.9 1.6 2.1 垃圾处理量 y/ 千万吨 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 (1)若从统计的 5年中任取 2年，求这 2年的垃圾处理量至少有一 年不低于 8.0 千万吨的概率； (2)由表中数据求得线性回归方程为y ^ ＝4x＋a ^ ，该垃圾处理厂计划 2017年的垃圾处理量不低于 9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获 悉 2017年的资金投入量约为 1.8千万元，请你预测 2017年能否完成垃 圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？ 解：(1)从统计的 5年垃圾处理量中任取 2年的基本事件共 10个： (7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)， (7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾处理量至 少有一年不低于 8.0千万吨的基本事件有 6个：(7. 4，9.2)，(7.4，10.0)， (7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)． 所以，这 2年的垃圾处理量至少有一年不低于 8.0千万吨的概率为 P＝ 6 10 ＝ 3 5 . (2) — x ＝ 1.5＋1.4＋1.9＋1.6＋2.1 5 ＝1.7， — y ＝ 7.4＋7.0＋9.2＋7.9＋10.0 5 ＝8.3， 因为直线y ^ ＝4x＋a ^ 过样本中心点( — x ， — y )， 所以 8.3＝4×1.7＋a ^ ，解得a ^ ＝1.5. 所以y ^ ＝4x＋1.5. 当 x＝1.8时，y ^ ＝4×1.8＋1.5＝8.7＜9.0， 所以不能完成垃圾处理任务，缺口约为 0.3千万吨．