【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第5讲 平行、垂直的综合问题作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第八章 第5讲 平行、垂直的综合问题作业

第5讲 平行、垂直的综合问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是(  )‎ A.平面ABD⊥平面ABC  B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 解析:选D.因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,‎ 所以BD⊥CD.‎ 又平面ABD⊥平面BCD,‎ 且平面ABD∩平面BCD=BD,‎ 故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.‎ 又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB⊥平面ADC.‎ 又AB平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC.‎ ‎2.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为 .‎ 解析:如图,过点P分别作PE⊥BC交BC于点E,作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE=PF=.过P作PH⊥平面ABC于点H,连接HE,HF,HC,易知HE=HF,则点H在∠ACB的平分线上,又∠ACB=90°,故△CEH为等腰直角三角形.在Rt△PCE中,PC=2,PE=,则CE=1,故CH=,在Rt△PCH中,可得PH=,即点P到平面ABC的距离为.‎ 答案: ‎3.(2020·陕西西安模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,PD⊥平面ABCD,AD=BD=6,AB=6,E是棱PC上的一点.‎ ‎(1)证明:BC⊥平面PBD;‎ ‎(2)若PA∥平面BDE,求的值.‎ 解:(1)证明:由已知条件可知AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.‎ 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD.‎ 又PD∩BD=D,所以AD⊥平面PBD.‎ 因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,‎ 所以BC⊥平面PBD.‎ ‎(2)如图,连接AC交BD于点F,连接EF,‎ 则EF是平面PAC与平面BDE的交线.‎ 因为PA∥平面BDE,所以PA∥EF.‎ 因为F是AC的中点,所以E是PC的中点,‎ 所以=.‎ ‎4.(2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查)如图,平面四边形ABCD中,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2,沿BD折起,使AC=2.‎ ‎(1)证明:△ACD为直角三角形;‎ ‎(2)设B在平面ACD内的射影为P,求四面体PBCD的体积.‎ 解:(1)证明:在Rt△ABD中,AB⊥BD,AB=2,BD=2,‎ 所以AD===2,‎ 因为AC=2,CD=2,所以AC2+CD2=AD2,‎ 所以AC⊥CD,‎ 所以△ACD是直角三角形.‎ ‎(2)由(1)知CD⊥AC,易知CD⊥BC,‎ 因为AC∩BC=C,所以CD⊥平面ABC,又CD平面ACD,‎ 所以平面ABC⊥平面ACD,其交线为AC,‎ 故过B点作AC的垂线,垂足为P,点P即为B在平面ACD内的射影,‎ 易知P为AC的中点,‎ 所以四面体PBCD的体积VPBCD=××2×2×1=.‎ ‎5.(2020·宿州市质量检测)如图,四棱锥EABCD,平面ABCD⊥平面ABE,四边形ABCD为矩形,AD=6,AB=5,BE=3,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.‎ ‎(1)求证:AE⊥BE;‎ ‎(2)设M在线段DE上,且满足EM=2MD,试在线段AB上确定一点N,使得MN∥平面BCE,并求MN的长.‎ 解:(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,‎ 所以BC⊥AB.‎ 因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,且BC平面ABCD,‎ 所以BC⊥平面ABE.‎ 又AE平面ABE,‎ 所以BC⊥AE.‎ 因为BF⊥平面ACE,AE平面ACE,‎ 所以BF⊥AE.‎ 又因为BC∩BF=B,BC平面BCE,BF平面BCE,‎ 所以AE⊥平面BCE,‎ 因为BE平面BCE,‎ 所以AE⊥BE.‎ ‎(2)如图,在△ADE中过M点作MG∥AD交AE于G点,在△ABE中过G点作GN∥BE交AB于N点,连接MN,‎ 因为NG∥BE,NG平面BCE,BE平面BCE,‎ 所以NG∥平面BCE.‎ 同理可证,GM∥平面BCE.‎ 因为MG∩GN=G,‎ 所以平面MGN∥平面BCE,‎ 又因为MN平面MGN,‎ 所以MN∥平面BCE,‎ 因为M点为线段DE上靠近D点的一个三等分点,‎ 所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点,‎ AD=6,AB=5,BE=3,‎ 所以MG=AD=4,NG=BE=1,‎ 所以MN===.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·吉林长春质量监测(二))四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=AD=,M为PC中点.‎ ‎(1)求证:平面PBC⊥平面BMD;‎ ‎(2)求点B到平面PCD的距离.‎ 解:(1)证明:在直角梯形ABCD中,BD=,cos∠BDC=cos∠DBA=,‎ 在△BCD中,由余弦定理得BC=,‎ 由勾股定理得PD=2,PB=,‎ 所以△PCD,△PCB是等腰三角形,‎ 所以PC⊥MD,PC⊥MB,‎ 因为MD∩MB=M,‎ 所以PC⊥平面MDB,‎ 因为PC平面PBC,‎ 所以平面PBC⊥平面BDM.‎ ‎(2)取PD的中点N,连接AN,MN,‎ 所以ANMB为平行四边形,‎ 所以BM∥AN,BM=AN=1,‎ 因为PA=AD,所以AN⊥PD,‎ 又易知CD⊥平面PAD,AN平面PAD,‎ 所以CD⊥AN,所以AN⊥平面PCD,‎ 所以BM⊥平面PCD,‎ 所以B到平面PCD的距离为1.‎ ‎2.(2020·郑州市第二次质量预测)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.‎ ‎(1)求证:AD⊥PB;‎ ‎(2)若E在线段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求出三棱锥DCEG的体积;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)证明:连接PF,因为△PAD是等边三角形,‎ 所以PF⊥AD.‎ 因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以BF⊥AD.‎ 又PF∩BF=F,所以AD⊥平面BFP,‎ 又PB平面BFP,所以AD⊥PB.‎ ‎(2)能在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD.‎ 由(1)知AD⊥BF,因为PD⊥BF,AD∩PD=D,‎ 所以BF⊥平面PAD.‎ 又BF平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD,‎ 又平面ABCD∩平面PAD=AD,且PF⊥AD,‎ 所以PF⊥平面ABCD.‎ 连接CF交DE于点H,过H作HG∥PF交PC于点G,‎ 所以GH⊥平面ABCD.‎ 又GH平面DEG,所以平面DEG⊥平面ABCD.‎ 因为AD∥BC,所以△DFH∽△ECH,‎ 所以==,所以==,‎ 所以GH=PF=,‎ 所以VDCEG=VGCDE=S△CDE·GH=×DC·CE·sin ·GH=.‎ ‎3.如图(1),在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.‎ ‎(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF;‎ ‎(2)求证:BD⊥A1F;‎ ‎(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?并说明理由.‎ 解:(1)证明:因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DM∥EF,又EF平面A1EF,DM平面A1EF,所以DM∥平面A1EF.‎ ‎(2)证明:因为A1E⊥BD,EF⊥BD且A1E∩EF=E,‎ 所以BD⊥平面A1EF.‎ 又A1F平面A1EF,所以BD⊥A1F.‎ ‎(3)直线A1B与直线CD不能垂直.‎ 理由如下:‎ 因为平面A1BD⊥平面BCD,平面A1BD∩平面BCD=BD,EF⊥BD,EF平面BCD,所以EF⊥平面A1BD.‎ 因为A1B平面A1BD,所以A1B⊥EF,‎ 又因为EF∥DM,所以A1B⊥DM.‎ 假设A1B⊥CD,‎ 因为CD∩DM=D,所以A1B⊥平面BCD,‎ 所以A1B⊥BD,‎ 这与∠A1BD为锐角矛盾,所以直线A1B与直线CD不能垂直.‎
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