【数学】2020届一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形学案

【数学】2020届一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形学案

第2讲　小题考法——三角恒等变换与解三角形 一、主干知识要记牢 ‎1．两组三角公式 ‎(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β．‎ ‎②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β．‎ ‎③tan(α±β)＝．‎ 辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)．‎ ‎(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎①sin 2α＝2sin αcos α．‎ ‎②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．‎ 降幂公式：sin2α＝，cos2α＝．‎ ‎③tan 2α＝．‎ ‎2．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．‎ ‎3．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C．‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝．‎ ‎4．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C．‎ 二、二级结论要用好 ‎1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．‎ ‎2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°．‎ ‎3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．‎ ‎4．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．‎ 三、易错易混要明了 ‎1．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．‎ ‎2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B．‎ 考点一　三角恒等变换与求值 ‎1．三角恒等变换的策略 ‎(1)常值代换：特别是“‎1”‎的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．‎ ‎(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．‎ ‎(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．‎ ‎(4)弦、切互化：一般是切化弦．‎ ‎2．解决条件求值问题的关注点 ‎(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．‎ ‎(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．‎ ‎(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．‎ ‎1．(2018·邵阳模拟)若角α的终边经过点(－1,2)，则sin(　C　)‎ A．－ B．－ C． D． 解析　由题得sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以sin＝sin α·＋cos α·＝×－×＝，故选C．‎ ‎2．(2018·延安一模)已知sin＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos2θ的值为(　C　)‎ A． B． C． D． 解析　∵sin＋3cos(π－θ)＝cos θ－3cos θ＝‎ ‎－2cos θ＝‎ sin(－θ)，‎ ‎∴tan θ＝2，则sin θcos θ＋cos2θ＝＝＝，故选C．‎ ‎3．(2018·湖北联考)已知3π≤θ≤4π，且 ＋＝，则θ＝(　D　)‎ A．或 B．或 C．或 D．或 解析　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，‎ ‎∴cos ＞0，sin ＜0，‎ ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ.k∈Z，‎ 即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z，‎ ‎∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或，故选D．‎ 考点二　利用正、余弦定理解三角形 解三角形问题的求解策略 已知条件 解题思路 两角A，B与一边a 由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c 两边b，c及其夹角A 由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C 三边a，b，c 由余弦定理可求出角A，B，C 两边a，b及其中一边的对角A 由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况 ‎1．(2018·潍坊二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝，则A＝(　C　)‎ A． B． C． D． 解析　∵＝，‎ ‎∴由正弦定理可得＝，‎ 即abcos B＝(‎2c－b)bcos A．∴由余弦定理可得 ab·＝(‎2c－b)·b·，‎ 整理可得bc＝b2＋c2－a2.∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.故选C．‎ ‎2．(2018·武汉一模)在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　A　)‎ A． B． C． D． 解析　＝，所以sin C＝sin A，所以0＜sin C≤，因AB＜BC，C必定为锐角，故C∈．‎ ‎3．(2018·郴州二模)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋b2－c2)tan C＝ab，则角C的值　　．‎ 解析　在△ABC中，由(a2＋b2－c2)tan C＝ab，整理得＝，即cos C＝，∵cos C≠0，∴sin C＝，∵C为△ABC内角，∴C＝或，因为ΔABC为锐角三角形，∴C＝，故答案为．‎ 考点三　正、余弦定理的实际应用 解三角形实际问题的常见类型及解题思路 ‎(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎1．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝‎100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为__22.6__m/s(精确到0.1，≈1.414，≈2.236)．‎ 解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v．‎ 在Rt△ADB中，AB＝＝＝200．‎ 在Rt△ADC中，AC＝＝＝100．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·AB·cos∠BAC，‎ 即(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，‎ 所以这辆汽车的速度约为‎22.6 m/s．‎ ‎2．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 ‎000 m，速度为‎50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为__2_650__m．(取＝1.4，＝1.7)‎ 解析　如图，作CD垂直于AB交AB的延长线于点D，‎ 由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°．‎ 又在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，‎ 由正弦定理，得＝，‎ ‎∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．‎ ‎∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350．‎ 故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．‎