【数学】2020届一轮复习北师大版 正弦定理与余弦定理作业
1.在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
答案 2
解析 由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由ABsinC=ACsinB知AC=AB·sinBsinC=6·sin45°sin60°=2.
2.在△ABC中,若a2-c2+b2=3ab,则C= .
答案 30°
解析 cos C=a2+b2-c22ab=3ab2ab=32,又0°
0,所以sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C=3sin Ccos A,又sin C>0,所以cos A=13.
6.(2018盐城时杨中学高三月考)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b是方程x2-23x+3=0的两个根,且2sin(A+B)-3=0,则c= .
答案 3
解析 由a,b是方程x2-23x+3=0的两个根得a+b=23,ab=3,由2sin(A+B)-3=0及A+B+C=π得sin(A+B)=sin C=32,所以锐角△ABC中,C=π3,所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12-9=3,所以c=3.
7.(2019江苏三校模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则∠C的值为 .
答案 π6
解析 在△ABC中,sin B=sin(A+C),
即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
则sin Ccos A+sin Asin C=0,又sin C≠0,所以cos A+sin A=0,tan A=-1,又A∈(0,π),所以A=3π4,sin A=22,因为asinA=csinC,a=2,c=2,所以sin C=12,因为C∈0,π4,所以C=π6.
8.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos B-bcos A=35c,则tanAtanB= .
答案 4
9.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在△ABC中,∠B=π3,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.
(1)若△BCD的面积为33,求CD的长;
(2)若ED=62,求角A的大小.
解析 (1)由已知得S△BCD=12BC·BD·sin B=33,又∠B=π3,BC=2,∴BD=23,
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos B=289,∴CD=273.
(2)∵在△CDE中,CDsin∠DEC=DEsin∠DCE,AD=DC,∴∠A=∠DCE,
∴CD=AD=DEsinA=62sinA,在△BCD中,BCsin∠BDC=CDsinB,由∠BDC=∠DCA+∠A=2∠A,得2sin2A=CDsin π3,∴CD=3sin2A,∴62sinA=3sin2A,解得cos A=22,又A∈0,π2,∴A=π4.
基础滚动练
(滚动循环 夯实基础)
1.函数f(x)=1-log3x的定义域是 .
答案 (0,3]
2.设集合M=xx+3x-2<0,N={x|(x-1)(x-3)<0},则集合M∩N= .
答案 (1,2)
3.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为 .
答案 5x+y+2=0
解析 因为y'=-5ex,所以曲线在点(0,-2)处的切线斜率为-5,切线方程为y+2=-5x,即为5x+y+2=0.
4.已知函数f(x)=2-x,x≤0,log81x,x>0,若f(x)=14,则实数x的值为 .
答案 3
解析 当x≤0时, f(x)=2-x=14,解得x=2(舍去);当x>0时, f(x)=log81x=14,解得x=3,符合题意,故实数x的值为3.
5.(2019陕西延安模拟)已知函数y=xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
答案 -∞,1e+1
解析 令g(x)=xex+x2+2x+a,
则g'(x)=ex+xex+2x+2=(x+1)(ex+2),易知x<-1时,g'(x)<0,函数g(x)是减函数,x>-1时,g'(x)>0,函数g(x)是增函数,所以函数g(x)的最小值为g(-1)=-1-1e+a,要使函数y=xex+x2+2x+a恰有两个不同的零点,只需-1-1e+a<0,即a<1+1e.
6.给出下列三个命题:(1)命题“∀x∈R,cos x>0”的否定是“∃x∈R,cos x≤0”;(2)若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1;(3)在△ABC中,“A>45°”是“sin A>22”的充要条件.其中正确的命题有 .(填所有正确命题的序号)
答案 (1)
解析 命题“∀x∈R,cos x>0”的否定是“∃x∈R,cos x≤0”,(1)是真命题;若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1或a=0,(2)是假命题;在△ABC中,“A>45°”是“sin A>22”的必要不充分条件,(3)是假命题,所以正确的命题有(1).
7.(2019江苏宿迁高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos A(bcos C+
ccos B)=a.
(1)求角A;
(2)若cos B=35,求sin(B-C)的值.
解析 (1)由已知及正弦定理可知,
2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,
即2cos Asin A=sin A.因为A∈(0,π),所以sin A≠0,
所以2cos A=1,即cos A=12.又A∈(0,π),所以A=π3.
(2)因为cos B=35,B∈(0,π),所以sin B=1-cos2B=45.
所以sin 2B=2sin Bcos B=2425,cos 2B=1-2sin2B=-725.
由(1)知A=π3,则B+C=23π,故C=23π-B.
所以sin(B-C)=sinB-2π3-B=sin2B-2π3
=sin 2Bcos2π3-cos 2Bsin2π3=2425×-12--725×32
=73-2450.