【数学】2020届一轮复习北师大版 统计与概率 学案

【数学】2020届一轮复习北师大版 统计与概率 学案

‎【知识网络】‎ ‎【考点聚焦】‎ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）‎ 内 容 要 求 A B C 计数原理 加法原理与乘法原理 ‎√‎ 排列与组合 ‎√‎ 二项式定理 ‎√‎ 概率 随机事件与概率 ‎√‎ 古典概型 ‎√‎ 几何概型 ‎√‎ 互斥事件及其发生的概率 ‎√‎ 统计 抽样方法 ‎√‎ 总体分布的估计 ‎√‎ 总体特征数的估计 ‎√‎ 1. 原题（选修2-3第二十七页习题1.2A组第四题）变式1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六 号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ）‎ A．336 B．408 C．240 D．264‎ ‎【答案】选 ‎【解析】方法数为：选 变式2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】选 ‎2.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A组第九题）变式1在正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为_________．‎ 图4‎ ‎【答案】‎ 变式2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】选．‎ ‎【解析】如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对，所以所求概率为，选．‎ ‎3.原题（选修2-3第四十页复习参考题A组第三题）变式1 设集合 ‎，定义集合对中含有个元素，中至少含有个元素，且中最小的元素不小于中最大的元素.记满足的集合对的总个数为，满足的集合对的总个数为，则的值为( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】选 ‎【解析】根据题意，的个数可以这样取：，故同样得的个数为故选 变式2 把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：与为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有 个．‎ ‎【答案】19.‎ ‎4.原题（选修2-3第四十一页复习参考题B组第1题（3））变式 已知集合，定义映射，且点．若的外接圆圆心为D，且，则满足条件的映射有（ ） ‎ ‎ A.12个； B.10个； C.6个； D.16个；‎ ‎【答案】A.‎ ‎5.原题（选修2-3第八十六页例2）一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 与 之间的回归方程。‎ 温度 ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎32‎ ‎35‎ 产卵数个 ‎7‎ ‎11‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎66‎ ‎115‎ ‎325‎ 变式 为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表， ‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 数学分数x ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ 物理分数y ‎72‎ ‎77‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎93‎ ‎95‎ 化学分数z ‎67‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎87‎ ‎90‎ ‎92‎ ‎(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；‎ ‎(2) 用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；‎ ‎(3) 求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.‎ 参考数据：，，，，，，，，，，.‎ ‎ ‎ ‎6.原题（选修2-3第九十五页例1）变式 ‎ 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在120，150]内为优秀，甲校：‎ 乙校：‎ ‎(I )计算的值;‎ ‎(II)由以上统计数据填写右面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异.‎ ‎(III)根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中任取3人，求优秀学生人数的分布列和数学期望;‎ 附：‎ ‎【解析】 (I )‎ 甲校 乙校 总计 优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 非优秀 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 总计 ‎55‎ ‎50‎ ‎105‎ ‎7. 原题（必修3第62页的“如何得到敏感性问题的诚实反应”）变式 ‎ 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（１）你的学号是奇数吗？（２）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是 . ‎ ‎8. 原题（必修3第72页）变式 为了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了100位居民的月均用水量.第八题图是调查结果的频率直方图.（1）估计该样本的平均数和中位数；（2）若以该样本数据的频率作为总体的概率，从该市（人数很多）任选3人，求用水量超过3吨的人数的期望值.‎ ‎【解析】（1）平均数为 ‎.因为（0.08+0.16+0.30+0.44）×0.5=0.49，所以中位数为 ‎（2）样本数据中用水量超过3吨的频率为0.1，则从总体中任选一人，用水量超过3吨的概率为0.1.设所选3人中用水量超过3吨的人数为，则～,所以即（1）平均数为1.98，中位数为；（2）期望值为0.3.‎ ‎9. 原题（必修3第73页的探究“数据有时会被利用”）变式 2011年春节刚过，为留住本地人才，有一家公司在火车站等处张贴招聘启示，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在50名员工中，最高年收入达到了100万，他们年收入的平均数是3．5万.”‎ 如果你希望获得年薪2．5万元.(1)你判断自己是否能够成为此公司的一名高收入者？(2)如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从0．5万到100万”，这个信息是否足以使你作出自己受聘的决定？为什么？(3)如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的变化范围是1万到3万，你又能否用这条信息来作出是否受聘的决定？(4)你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么平均值比估计出的中位数高很多？‎ ‎10. 原题（必修3第79页练习第2题）变式 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用表示编号为n的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩 ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率.‎ ‎11. 原题（必修3第79页练习第3题）变式 在春运高峰时有顾客反映某家航空公司售票处售票的速度太慢.为此，航空公司收集了100位顾客购票时所花费时间的样本数据(单位：分钟)，结果如下表：‎ ‎2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9‎ ‎1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.3‎ ‎6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1‎ ‎3.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0‎ ‎3.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.4‎ ‎4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9‎ ‎7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3‎ ‎3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5‎ ‎11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0‎ ‎4.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7 1.5‎ 航空公司认为，为一位顾客办理一次售票业务所需的时间在5分钟之内就是合理的.上面的数据是否支持航空公司的说法？顾客提出的意见是否合理？请你对上面的数据进行适当的分析，回答下面问题：(1)根据原始数据计算中位数、平均数和标准差.(2)对数据进行适当的分组，分析数据分布的特点，并进行分析.(3)你认为应该用哪一个统计量来分析上述问题比较合适？‎ ‎（2）对数据进行分组的结果，100名顾客购票花费时间的分组表 接收 ‎ 频数（人）‎ ‎ 频数（%）‎ ‎ 1分钟以下 ‎ 14‎ ‎ 14‎ ‎ 1~2‎ ‎ 24‎ ‎ 24‎ ‎ 2~3‎ ‎ 20‎ ‎ 20‎ ‎ 3~4‎ ‎ 15‎ ‎ 15‎ ‎ 4~5‎ ‎ 9‎ ‎ 9‎ ‎ 5~6‎ ‎ 6‎ ‎ 6‎ ‎ 6~7‎ ‎ 5‎ ‎ 5‎ ‎ 7~8‎ ‎ 3‎ ‎ 3‎ ‎ 8~9‎ ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 9以上 ‎ 2‎ ‎ 2‎ ‎ 合计 ‎ 100‎ ‎ 100‎ 绘制直方图观察数据分布的特点，直方图如下：‎ 从直方图可以看出，顾客购票所花费时间的分布为右偏.有顾客反映这家航空公司售票处售票的速度太慢，这可能是由少数人提出来的.因此这些少数顾客提出的意见并不能代表大多数人，可以认为顾客提出的意见是不完全合理的.‎ ‎(3) 从中位数来看，其结果为2.5分钟，因此，从总体上看，该航空公司办理一项售票业务所需的时间大约为2.5分钟，在航空公司认为的合理时间5分钟之内，因此，可以说顾客提出的意见是不合理的.用中位数感觉较合理一些. ‎ ‎12. 原题（必修3第82页习题2.2A组第5题）变式 在一次人才招聘会上，有两家公司提供如下信息：公司甲：我们公司的收入水平很高，去年在80名员工中，最高年收入达到了150万元，员工的年收入平均数是4万；公司乙：我们公司规模比较大，共有150人，员工年收入的中间50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的变化范围是2.5万到3.5万.某位大学毕业生希望获得年薪3万元，根据以上信息，他应该选择哪家公司更好？‎ ‎13. 原题（必修3第八十六页思考）变式 假设儿子身高与父亲身高呈线性相关关系，若小明身高为172cm，他的爸爸和爷爷的身高分别为170cm和175cm，预测小明儿子的身高为 cm. ‎ ‎【解析】依题意可得如下表格 父亲身高x(cm)‎ ‎175‎ ‎170‎ ‎172‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎170‎ ‎172‎ ‎?‎ 由点（175，170），（170，172）得直线方程为，所以当时，‎ ‎14. 原题（必修3第92的“相关关系的强与弱”）变式 如图是根据，的观测数据（i=1，2，…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是 （ ）‎ ‎ A.①② B.①④ C.②③ D.③④‎ ‎【答案】D.‎ ‎15. 原题（必修3第127页探究）变式1 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案，在一次考试中有5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为 .‎ ‎【解析】答对每道题的概率为，设答对的题数为，则～,所以 变式2 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案，每题至少有一个选项是正确的，在一次考试中有10道多选题，一个小组中的10位学生答题情况如下表：‎ 答对题数 ‎0～2‎ ‎3～4‎ ‎5～6‎ ‎7～8‎ ‎9～10‎ 概率 ‎0.10‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.30‎ ‎0.20‎ ‎（1）对于每位学生来说，答对题数不少于7题的概率；‎ ‎（2）小组中若有2人以上（含2人）答对题数不超过6题的概率大于0.9，则这个小组需要重新考核，请问这个小组是否需要重新考核？‎ ‎【解析】（1）；‎ ‎ （2）每位学生答对题数不超过6题的概率为0.5，设10位学生中答对题数不超过6题的人数为，则～,所以 所以该小组需要重新考核.‎ ‎16. 原题（必修3第127页例3）变式 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是 . ‎ ‎【解析】本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识.易得函数的增区间为和,由已知可得,，故.抛两次的骰子的所有可能种数为36种，则满足条件的有30种，所以所求概率为.‎ ‎17. 原题（必修3第130页练习第3题）变式 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.‎ ‎18. 原题（必修3第134页习题3.2B组第3题）变式 假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 .‎ ‎【解析】【方法一】：－；【方法二】：.‎ ‎19. 原题（必修3第140页例4）变式 如图，直线与抛物线交于A、B两点，分别作AC、BD垂直x 轴于C、D两点，从梯形ABDC中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为________；利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积，若通过1000次试验产生了落在梯形ABDC内的1000个点，则可估计落在阴影部分内的点的个数大约有________个.‎ ‎20. 原题（必修3第140页练习第1题）变式 如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，为半径的圆弧与正方形的边所围成的.某人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中某人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样， 则它击中阴影部分的概率是 . ‎ ‎【解析】本题考查几何概型的概率的计算，因为正方形的面积为,而阴影部分的面积不易直接计算，所以先计算空白部分的面积为,从而得阴影部分的面积为.根据几何概型的概率公式，可得.‎ ‎21. 原题（必修3第142页习题3.3A组第3题）变式 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 .‎ ‎【感受高考】‎ ‎1. 【2018高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 2. 【2018年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )‎ ‎（A）24 （B）48 （C）60 （D）72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为，故选D.‎ ‎3.【2018高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）‎ ‎（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎4. 【2018高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示,画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率．故选B．‎ ‎5.【2018高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）‎ ‎(A)各月的平均最低气温都在以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于的月份有5个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 6. 【2018高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.‎ ‎7. 【2018‎ 年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 8. 【2018高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的展开式通项为(,1,2,…,5),令得,所以的系数是.‎ ‎9. 【2018高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.‎ ‎10. 【2018高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求,确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？‎ ‎【答案】（I）见解析（II）19（III）‎ ‎【解析】‎ ‎ ；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.‎ 当时,‎ ‎.‎ 当时,‎ ‎.‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.‎ ‎11. 【2018高考新课标2理数】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 保费 ‎0.85‎ ‎1.25‎ ‎1.5‎ ‎1.75‎ ‎2‎ 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；‎ ‎（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；‎ ‎（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）设表示事件： “一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 ‎ （Ⅲ）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为