【数学】2020届一轮复习北师大版 选讲部分 作业

【数学】2020届一轮复习北师大版 选讲部分 作业

‎1．【2018黑龙江大庆高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.‎ ‎ (I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;‎ ‎ (Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）圆的极坐标方程为， 的平面直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为， ，‎ ‎∵圆的普通方程为，‎ ‎∴把代入方程得， ，‎ ‎∴的极坐标方程为， 的平面直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得； ， .‎ ‎∴的面积为 ‎∴的面积为.‎ ‎2．【2018贵州高三适应性考试】[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）过原点作直线，使与， 分别相交于点， （， 与点均不重合），求的最大值.‎ ‎【答案】(1) 和.(2)4.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 联立，解得或.‎ 所以与交点的直角坐标为和.‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为.‎ 设直线的极坐标方程为.‎ 则点的极坐标为，点的极坐标为.‎ 所以 ‎.‎ 当时， 取得最大值，最大值是4.此时， ， 与点均不重合.‎ ‎3．【2018广东惠州高三4月模拟】选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为．‎ ‎（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；‎ ‎（2）， 为曲线上的两点，且，求△的面积最大值．‎ ‎【答案】(1)a=1;(2)见解析.‎ 试题解析：（1）由题意可得曲线是以为圆心，以为半径的圆； ‎ 直线的直角坐标方程为. ‎ 由直线与圆只有一个公共点，则可得. ‎ ‎∴（舍）或 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2）法一：由题意，曲线的极坐标方程为.‎ 设的极角为， 的极角为，则： ‎ ‎∵ ‎ ‎∴当时， 取得最大值为. ‎ ‎∴的面积最大值为． ‎ 法二：∵曲线是以为圆心，以为半径的圆，且.‎ ‎∴由正弦定理得： ，即.‎ ‎∴由余弦定理得： ，则： ，当且仅当时取等号．‎ ‎∴的面积最大值为．‎ ‎4．【2018陕西咸阳高三二模】在平面直角坐标系中，曲线的方程是： ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设过原点的直线与曲线交于， 两点，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 法3：设直线： ，与圆的方程联立，结合圆锥曲线的弦长公式可得直线的斜率为.‎ 法4：设直线： ，结合弦长公式可得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式解方程可得直线的斜率为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线： ，即，‎ 将， 代入得 曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）法1：由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 如图，在中，易得，可知 直线的斜率为.‎ 法2：设直线： （为参数），代入中得，整理得，‎ 由得，即，‎ 解得，从而得直线的斜率为.‎ 法3：设直线： ，代入中得 ‎，即，‎ 由得，即，‎ 解得直线的斜率为.‎ 法4：设直线： ，则圆心到直线的距离为，‎ 由圆的弦长公式及，得圆心到直线距离，‎ 所以，解得直线的斜率为. …‎ ‎5．【2018湖南衡阳高三二模】已知直线的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中）.‎ ‎(1)若点的直角坐标为，且点在曲线内，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若,当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：(1)由得曲线对应的直⻆角坐标⽅方程为: ‎ 由点在曲线的内部， ,‎ 求得实数m的取值范围为.‎ ‎(2)直线的极坐标⽅方程为，代入曲线的极坐标⽅方程整理理得 设直线与曲线的两个交点对应的极径分别为，‎ 则直线截得曲线的弦长为： .‎ 即直线与曲线截得的弦长的取值范围是.‎ ‎6．【2018安徽安庆高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，点， ， 是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据将极坐标化为直角坐标，利用三角函数平方关系消参数得普通方程，（2）先设直线参数方程，再代人圆方程，利用参数几何意义求的值.‎ 试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.‎ 所以点的直角坐标为. ‎ 将消去参数，得，即为曲线的普通方程. ‎ ‎ ‎ 解法二：过点作圆：的切线，切点为，‎ 连接，因为点由平面几何知识得： ‎ ‎，‎ 所以 .‎ ‎7．【2018安徽合肥高三质检二】选修4-4：坐标系与参数方程 已知过点的直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于点， ，且， ， 成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式求解即可．（2）利用直线的参数方程中参数的几何意义并结合一元二次方程根于系数的关系求解．‎ ‎（2）将代入消去整理得 ‎，‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 设， 对应的参数分别为，‎ 则．‎ ‎， ， 成等比数列，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或（舍去）‎ ‎.‎ 点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．#‎ ‎8．【2018湖南郴州高三质监二】选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）,‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线任一点为，求点直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ） .‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直线的普通方程为，‎ ‎∵ ∴ ∴‎ 故曲线的直角坐标方程为，‎ ‎9．【2018江西上饶高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线（为参数）与曲线相交于两点．‎ ‎（1）试写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）. .（2）1. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用极坐标和直角坐标互化的公式写出曲线C的直角坐标方程，直接消去参数t得到直线的普通方程. (2)第（2）问，利用直线参数方程中t的几何意义和韦达定理解答.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知有，又，‎ 所以曲线的直角坐标方程为： ，即. ‎ 由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为： . ‎ ‎（2）将参数方程代入方程，整理得， ‎ 则. ‎ 所以，由直线方程参数得几何意义知： . ‎ ‎10．【2018河南安阳高三二模】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线： ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线： 与圆的交点为， ，与直线的交点为，求线段的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎（2）‎ 所以.‎ ‎11．【2018广西桂林三市高三二调】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数， 为的倾斜角），曲线的根坐标方程为，射线， ， 与曲线分别交于不同于极点的三点.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）当时，直线过, 两点，求与的值.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）， .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知求得及，即可证明 ‎（2）当时，求得和点坐标，求得直线的方程，即可求得与的值．‎ ‎（2）当时， 点的极坐标为，‎ 点的极坐标为 直线，‎ ‎∴， .‎ ‎12．【2018新疆乌鲁木齐高三二诊】选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设，直线交曲线于两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标．‎ ‎【答案】（Ⅰ），曲线：；（Ⅱ）或．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由（为参数）消去参数可得，‎ ‎∴直线的普通方程为．‎ 由可得，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线上的三点所对应的参数分别为，‎ 将代入，‎ 整理得，‎ 则，‎ 与异号，‎ 由，得，‎ 当，即时，最大，此时最大，‎ 且，此时，代入可得此时点的坐标为或．‎ ‎13．【2018河南郑州高三预测二】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式可求得实数的取值范围.(2)以零点和分三段讨论。‎ ‎【点睛】绝对值函数的最值问题，一般按n个零点分n+1段讨论,也可以结合图像分析。#‎ ‎14．【2018湖南衡阳高三二模】已知.若函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,结合函数的最小值为，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得 ‎，再根据基本不等式即可求得 的最小值.‎ 试题解析：(1) ,‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值为.‎ ‎15．【2018内蒙古呼和高特高三一调】已知函数.‎ ‎（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设，且，求证： .‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可． （2）利用基本不等式转化证明即可．‎ 试题解析：（1）‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎16．【2018四川德阳高三二诊】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意 或，‎ 由此可解不等式；‎ ‎（2）由于关于的不等式的解集非空，函数的最小值为-1，由此解得的范围． ‎ ‎（2） ，‎ 由于 ，‎ 所以当时，的最小值为-1.‎ 所以实数的取值范围为：. ‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数思想，属于中档题 ‎17.【2018重庆高三二诊】选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若正实数， 满足，当取（1）中最大值时，求的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ 试题解析：‎ ‎（1）， 时等号成立，‎ ‎∴的最小值为， ， ， ．‎ ‎（2）时， ，‎ ‎∴， ， 时等号成立．‎ ‎18．【2018安徽马鞍山高三质监二】已知，.‎ ‎（1）若且的最小值为1，求的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.‎ 试题解析：（1）(当时，等号成立）‎ ‎∵的最小值为 1，∴，∴ 或，又，∴.‎ ‎（2）由得，，∵，‎ ‎∴，即 ‎ 且 且 ‎.‎ ‎19．【2018河北石家庄高三一模】已知函数的定义域为；‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设实数为的最大值，若实数， ， 满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：（1）由题意可知恒成立，令，‎ 去绝对值可得： ，‎ 画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为； ‎ ‎（2）由（1）可知，所以， ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为 ‎20．【2018安徽安庆高三二模】选修4-5：不等式选讲 已知，不等式的解集是.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）设，证明： .‎ ‎【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为两个方程组，分别求解，最后取并集，（2）作差，并部分因式分解，根据a.b范围确定符号，即证的结果.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以，， 即，. ‎ 所以 ‎，故.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. #‎ ‎21．【2018山西太原高三二模】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 或；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由m=1,按零点-1, 分三段讨论解不等式。（2）分离参数，即求的最小值大于等于m.‎ ‎【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。‎ 对于一次绝对值函数，我们常采用绝对值不等式求函数的最大（小）值。‎ ‎22．【2018安徽合肥高三质检二】选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，函数的图象与轴围成的三角形的面积大于60，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）解不等式可得且，根据不等式的解集为得到 ‎，解得，即为所求．（2）由题意可得函数的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为， ， ，于是 ‎，解得，即为所求的范围．‎ ‎（2）依题意得， .‎ 又，‎ ‎∴的图象与轴围成的的三个顶点的坐标为， ， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎23．【2018四川德阳高三二诊】已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）. ‎ 试题解析：（1）由题意 或，‎ 所以或，‎ 即或，或或，‎ 故原不等式的解集为.‎ ‎（2） ，‎ 由于 ，‎ 所以当时， 的最小值为-1.‎ 所以实数的取值范围为： .#‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数思想，属于中档题 ‎24．【2018山东枣庄高三二模】已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数.当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数的取值范围.‎