高考数学专题复习课件：3-2-2 导数与函数的极值、最值

高考数学专题复习课件：3-2-2 导数与函数的极值、最值

课时 2 　导数与函数的极值、最值 题型一　用导数解决函数极值问题 命题点 1 　根据函数图象判断极值 【 例 1 】 设函数 f ( x ) 在 R 上可导，其导函数为 f ′( x ) ，且函数 y ＝ (1 － x ) f ′( x ) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( 　　 ) A ．函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B ．函数 f ( x ) 有极大值 f ( － 2) 和极小值 f (1) C ．函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f ( － 2) D ．函数 f ( x ) 有极大值 f ( － 2) 和极小值 f (2) 【 解析 】 由题图可知，当 x ＜－ 2 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ； 当－ 2 ＜ x ＜ 1 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ； 当 1 ＜ x ＜ 2 时， f ′( x ) ＜ 0 ； 当 x ＞ 2 时， f ′ ( x ) ＞ 0. 由此可以得到函数 f ( x ) 在 x ＝－ 2 处取得极大值，在 x ＝ 2 处取得极小值． 【 答案 】 D 【 方法规律 】 (1) 求函数 f ( x ) 极值的步骤： ① 确定函数的定义域； ② 求导数 f ′( x ) ； ③ 解方程 f ′( x ) ＝ 0 ，求出函数定义域内的所有根； ④ 列表检验 f ′( x ) 在 f ′( x ) ＝ 0 的根 x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f ( x ) 在 x 0 处取极大值，如果左负右正，那么 f ( x ) 在 x 0 处取极小值． (2) 若函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 内有极值，那么 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 【 方法规律 】 求函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值的步骤 (1) 求函数在 ( a ， b ) 内的极值； (2) 求函数在区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ； (3) 将函数 f ( x ) 的极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【 答案 】 D 【 方法规律 】 求函数在无穷区间 ( 或开区间 ) 上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 跟踪训练 3 (2017· 江西鹰潭余江一中二模 ) 已知函数 f ( x ) 的定义域是 R ， f ′ ( x ) 是 f ( x ) 的导数， f (1) ＝ e ， g ( x ) ＝ f ′( x ) － f ( x ) ， g (1) ＝ 0 ， g ( x ) 的导数恒大于零，则函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － e x (e ＝ 2.718 28 … 是自然对数的底数 ) 的最小值是 ( 　　 ) A ．－ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 【 答案 】 B 当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： 【 答题模板 】 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步： ( 求导数 ) 求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ； 第二步： ( 求极值 ) 求 f ( x ) 在给定区间上的单调性和极值； 第三步： ( 求端点值 ) 求 f ( x ) 在给定区间上的端点值； 第四步： ( 求最值 ) 将 f ( x ) 的各极值与 f ( x ) 的端点值进行比较，确定 f ( x ) 的最大值与最小值； 第五步： ( 反思 ) 反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． 【 温馨提醒 】 (1) 本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间 [1 ， 2] 上的最值，属常规题型． (2) 本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3) 思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题 . ► 方法与技巧 1 ．如果在区间 [ a ， b ] 上函数 y ＝ f ( x ) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2 ．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可． 3 ．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值． 4 ．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小． ► 失误与防范 1 ．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能． 2 ．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． 3 ．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值 .