高考数学专题复习课件:3-2-3导数与函数的综合问题

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高考数学专题复习课件:3-2-3导数与函数的综合问题

【 答案 】 D 命题点 2  证明不等式 【 例 2 】 (2016· 课标全国 Ⅲ ) 设函数 f ( x ) = α cos 2 x + ( α - 1)(cos x + 1) ,其中 α > 0 ,记 | f ( x )| 的最大值为 A . (1) 求 f ′( x ) ; (2) 求 A ; (3) 证明 | f ′( x )| ≤ 2 A . 【 解析 】 (1) f ′( x ) =- 2 α sin 2 x - ( α - 1)sin x . (2) 当 α ≥ 1 时, | f ( x )| = | α cos 2 x + ( α - 1)(cos x + 1)| ≤ α + 2( α - 1) = 3 α - 2 = f (0) . 因此 A = 3 α - 2. 当 0 < α < 1 时, 将 f ( x ) 变形为 f ( x ) = 2 α cos 2 x + ( α - 1)cos x - 1. 设 t = cos x ,则 t ∈ [ - 1 , 1] , 命题点 3  不等式恒成立问题 【 例 3 】 (2016· 湖南长沙长郡中学第六次月考 ) 已知函数 f ( x ) = x ln x - ax 2 + a ( a ∈ R) ,其导函数为 f ′( x ) . (1) 求函数 g ( x ) = f ′( x ) + (2 a - 1) x 的极值; (2) 当 x > 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) < 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【 方法规律 】 (1) 利用导数解不等式,一般可构造函数,利用已知条件确定函数单调性解不等式; (2) 证明不等式 f ( x ) < g ( x ) ,可构造函数 F ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ,利用导数求 F ( x ) 的值域,得到 F ( x ) < 0 即可; (3) 利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 【 方法规律 】 研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极 ( 最 ) 值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 跟踪训练 2 已知函数 f ( x ) = x 2 + x sin x + cos x 的图象与直线 y = b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 【 解析 】 f ′( x ) = x (2 + cos x ) , 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = 0. ∴ 当 x > 0 时, f ′ ( x ) > 0 , f ( x ) 在 (0 ,+ ∞ ) 上递增. 当 x < 0 时, f ′ ( x ) < 0 , f ( x ) 在 ( - ∞ , 0) 上递减. ∴ f ( x ) 的最小值为 f (0) = 1. ∵ 函数 f ( x ) 在区间 ( - ∞ , 0) 和 (0 ,+ ∞ ) 上均单调, ∴ 当 b > 1 时,曲线 y = f ( x ) 与直线 y = b 有且仅有两个不同交点. 综上可知, b 的取值范围是 (1 ,+ ∞ ) . 于是,当 x 变化时, f ′ ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: x (3 , 4) 4 (4 , 6) f ′( x ) + 0 - f ( x ) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得, x = 4 时,函数 f ( x ) 取得极大值,也是最大值. 所以,当 x = 4 时,函数 f ( x ) 取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元 / 千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【 方法规律 】 在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求实际问题中的最大 ( 小 ) 值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义可知该极值点就是最值点. 【 解析 】 由 y ′ = x 2 - 39 x - 40 = 0 , 得 x =- 1 或 x = 40 , 由于 0 < x < 40 时, y ′ < 0 ; x > 40 时, y ′ > 0. 所以当 x = 40 时, y 有最小值. 【 答案 】 40 即 f ( x ) < g ( x ) 恒成立. (11 分 ) 因此,当 a = 1 时,在区间 [1 ,+ ∞ ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) 图象的下方. (12 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集;最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小;参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的应用. (2) 对于一些复杂问题,要善于将问题转化,转化成能用熟知的导数研究问题 . ► 方法与技巧 1 .用导数方法证明不等式 f ( x ) > g ( x ) 时,找到函数 h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) 的零点是解题的突破口. 2 .在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴 ( 或某直线 ) 的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 ( 最 ) 值的应用. 3 .在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. ► 失误与防范 1 .利用导数解决恒成立问题时,若分离参数后得到 “ a < f ( x ) 恒成立 ” ,要根据 f ( x ) 的值确定 a 的范围中端点能否取到. 2 .利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义 .
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