高科数学专题复习课件：6_4　数列求和

高科数学专题复习课件：6_4　数列求和

§6.4 　数列求和 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 等差数列的前 n 项和公式 知识梳理 2. 等比数列的前 n 项和公式 (2)1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ . (3)2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＋ … ＋ 2 n ＝ . 3. 一些常见数列的前 n 项和公式 n ( n ＋ 1) n 2 数列求和的常用方法 (1) 公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和 . (2) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 . (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 . 知识 拓展 (4) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 . (5) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广 . (6) 并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 . 形如 a n ＝ ( － 1) n f ( n ) 类型，可采用两项合并求解 . 例如， S n ＝ 100 2 － 99 2 ＋ 98 2 － 97 2 ＋ … ＋ 2 2 － 1 2 ＝ (100 ＋ 99) ＋ (98 ＋ 97) ＋ … ＋ (2 ＋ 1) ＝ 5 050. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 (3) 求 S n ＝ a ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 . ( 　　 ) √ √ × (5) 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin 2 1° ＋ sin 2 2° ＋ sin 2 3° ＋ … ＋ sin 2 88° ＋ sin 2 89° ＝ 44.5 . ( 　　 ) √ × 1.( 2017· 潍坊 调研 ) 设 { a n } 是公差不为 0 的等差数列， a 1 ＝ 2 ，且 a 1 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 的前 n 项和 S n 等于 考点自测 答案 解析 设等差数列的公差为 d ，则 a 1 ＝ 2 ， a 3 ＝ 2 ＋ 2 d ， a 6 ＝ 2 ＋ 5 d . 即 (2 ＋ 2 d ) 2 ＝ 2(2 ＋ 5 d ) ，整理得 2 d 2 － d ＝ 0. A.2 016 B.2 017 C.2 018 D.2 019 答案 解析 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 3. 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 1) n － 1 ·(4 n － 3) ，则它的前 100 项之和 S 100 等于 A.200 B. － 200 C.400 D. － 400 答案 解析 S 100 ＝ (4 × 1 － 3) － (4 × 2 － 3) ＋ (4 × 3 － 3) － … － (4 × 100 － 3 ) ＝ 4 × [(1 － 2) ＋ (3 － 4) ＋ … ＋ (99 － 100)] ＝ 4 × ( － 50) ＝－ 200. 4. 若数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 2 n － 1 ，则数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ __________ _ _. 答案 解析 2 n ＋ 1 － 2 ＋ n 2 答案 解析 1 008 因为数列 a n ＝ n cos 呈 周期性变化，观察此数列规律如下： a 1 ＝ 0 ， a 2 ＝－ 2 ， a 3 ＝ 0 ， a 4 ＝ 4. 故 S 4 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 2. a 5 ＝ 0 ， a 6 ＝－ 6 ， a 7 ＝ 0 ， a 8 ＝ 8 ， 故 a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＋ a 8 ＝ 2 ， ∴ 周期 T ＝ 4. ∴ S 2 017 ＝ S 2 016 ＋ a 2 017 ＝ 1 008. 题型分类　深度剖析 题型一　分组转化法求和 解答 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ； a 1 也满足 a n ＝ n ， 故数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n . (2) 设 b n ＝ 2 ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2 n 项和 . 解答 由 (1) 知 a n ＝ n ，故 b n ＝ 2 n ＋ ( － 1) n n . 记数列 { b n } 的前 2 n 项和为 T 2 n ， 则 T 2 n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 2 n ) ＋ ( － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … ＋ 2 n ). 记 A ＝ 2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 2 n ， B ＝－ 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … ＋ 2 n ， 则 A ＝ ＝ 2 2 n ＋ 1 － 2 ， B ＝ ( － 1 ＋ 2) ＋ ( － 3 ＋ 4) ＋ … ＋ [ － (2 n － 1) ＋ 2 n ] ＝ n . 故数列 { b n } 的前 2 n 项和 T 2 n ＝ A ＋ B ＝ 2 2 n ＋ 1 ＋ n － 2. 引申 探究 本 例 ( 2) 中，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解答 由 (1) 知 b n ＝ 2 n ＋ ( － 1) n · n . 当 n 为偶数时， T n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … － ( n － 1) ＋ n ] 当 n 为奇数时， T n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … － ( n － 2) ＋ ( n － 1) － n ] 思维 升华 分组转化法求和的常见类型 (1) 若 a n ＝ b n ± c n ，且 { b n } ， { c n } 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 { a n } 的前 n 项和 . 提醒： 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 . 跟踪训练 1 　已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 2·3 n － 1 ＋ ( － 1) n ·(ln 2 － ln 3) ＋ ( － 1) n n ln 3 ，求其前 n 项和 S n . 解答 S n ＝ 2(1 ＋ 3 ＋ … ＋ 3 n － 1 ) ＋ [ － 1 ＋ 1 － 1 ＋ … ＋ ( － 1) n ]·(ln 2 － ln 3) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ … ＋ ( － 1) n n ]ln 3 ， 所以当 n 为偶数时， 当 n 为奇数时， 题型二　错位相减法求和 例 2 　 (2016· 山东 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n 2 ＋ 8 n ， { b n } 是等差数列，且 a n ＝ b n ＋ b n ＋ 1 . (1) 求数列 { b n } 的通项公式； 解答 由题意知，当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 6 n ＋ 5 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 11 ，满足上式，所以 a n ＝ 6 n ＋ 5. 解答 又 T n ＝ c 1 ＋ c 2 ＋ … ＋ c n ， 得 T n ＝ 3×[2×2 2 ＋ 3×2 3 ＋ … ＋ ( n ＋ 1)×2 n ＋ 1 ] ， 2 T n ＝ 3×[2×2 3 ＋ 3×2 4 ＋ … ＋ ( n ＋ 1)×2 n ＋ 2 ]. 两式作差，得－ T n ＝ 3×[2×2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1 － ( n ＋ 1)×2 n ＋ 2 ] 所以 T n ＝ 3 n ·2 n ＋ 2 . 思维 升华 错位相减法求和时的注意点 (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ S n － qS n ” 的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 . 跟踪训练 2 　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1 ＝ a 1 ， b 2 ＝ 2 ， q ＝ d ， S 10 ＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解答 解答 由 d >1 ，知 a n ＝ 2 n － 1 ， b n ＝ 2 n － 1 ， ① － ② 可得 题型三　裂项相消法求和 例 3 　 (2015· 课标全国 Ⅰ ) S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 a n >0 ， ＋ 2 a n ＝ 4 S n ＋ 3. (1) 求 { a n } 的通项公式 ； 解答 所以 { a n } 是首项为 3 ，公差为 2 的等差数列，通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 1. 解答 由 a n ＝ 2 n ＋ 1 可知 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， 则 答案 解析 则 f ( x ) ＝ . 思维 升华 解答 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 2 S n － 1 S n ＝ S n － 1 － S n ， ① 由题意得 S n － 1 · S n ≠ 0 ， 解答 四 审结构定方案 审题路线图系列 审题路线图 规范解答 返回 ② － ① ，得 ∴ T n <4 . [ 12 分 ] 返回 课时作业 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 西安模拟 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 2 016 ，且 a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 0( n ∈ N * ) ，则 S 2 016 等于 A.0 B.2 016 C.2 015 D.2 014 √ 答案 解析 ∵ a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 0( n ∈ N * ) ， ∴ a n ＋ 2 a n q ＋ a n q 2 ＝ 0 ， q 为等比数列 { a n } 的公比， 即 q 2 ＋ 2 q ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ q ＝－ 1. ∴ a n ＝ ( － 1) n － 1 ·2 016 ， ∴ S 2 016 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ ( a 3 ＋ a 4 ) ＋ … ＋ ( a 2 015 ＋ a 2 016 ) ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 等差数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 1 ，其前 n 项和为 S n ，则 数列 的 前 10 项的和 为 A.120 B.70 C.75 D.100 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 . 在 数列 { a n } 中 ， 若 a n ＋ 1 ＋ ( － 1) n a n ＝ 2 n － 1 ，则数列 { a n } 的前 12 项和 等于 A.76 B.78 C.80 D.82 √ 答案 解析 由已知 a n ＋ 1 ＋ ( － 1) n a n ＝ 2 n － 1 ， 得 a n ＋ 2 ＋ ( － 1) n ＋ 1 · a n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 ，得 a n ＋ 2 ＋ a n ＝ ( － 1) n (2 n － 1) ＋ (2 n ＋ 1) ，取 n ＝ 1,5,9 及 n ＝ 2,6,10 ，结果相加可得 S 12 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 11 ＋ a 12 ＝ 78. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 由题意，得 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 100 ＝ 1 2 － 2 2 － 2 2 ＋ 3 2 ＋ 3 2 － 4 2 － 4 2 ＋ 5 2 ＋ … ＋ 99 2 － 100 2 － 100 2 ＋ 101 2 ＝－ (1 ＋ 2) ＋ (3 ＋ 2) － (4 ＋ 3) ＋ … － (99 ＋ 100) ＋ (101 ＋ 100) ＝－ (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 99 ＋ 100) ＋ (2 ＋ 3 ＋ … ＋ 100 ＋ 101) ＝－ 50 × 101 ＋ 50 × 103 ＝ 100. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 设数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n － 7 ，则 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 15 | 等于 A.153 B.210 C.135 D.120 √ 答案 解析 ∴ 从第 4 项开始大于 0 ， ∴ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 15 | ＝－ a 1 － a 2 － a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 15 ＝ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 3 ＋ … ＋ (2 × 15 － 7) ＝ 9 ＋ ＝ 153. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 在等差数列 { a n } 中， a 1 ＞ 0 ， a 10 · a 11 ＜ 0 ，若此数列的前 10 项和 S 10 ＝ 36 ，前 18 项和 S 18 ＝ 12 ，则数列 {| a n |} 的前 18 项和 T 18 的值是 ______. 60 由 a 1 ＞ 0 ， a 10 · a 11 ＜ 0 可知 d ＜ 0 ， a 10 ＞ 0 ， a 11 ＜ 0 ， ∴ T 18 ＝ a 1 ＋ … ＋ a 10 － a 11 － … － a 18 ＝ S 10 － ( S 18 － S 10 ) ＝ 60. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a n － 1 ＋ a n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 ∵ { a n } 为正项数列， ∴ a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 0 ， 即 a n ＋ 1 － a n ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 数列 { a n } 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 . ∴ a n ＝ n ， ∴ T 1 ， T 2 ， T 3 ， … ， T 100 中有理数的个数为 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 3 ， a 2 ＝ 5 ，且 { a n － 1} 是等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解 答 ∵ { a n － 1} 是等比数列且 a 1 － 1 ＝ 2 ， ∴ a n － 1 ＝ 2·2 n － 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n ＋ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 b n ＝ na n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 b n ＝ na n ＝ n ·2 n ＋ n ， 故 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b n ＝ (2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ n ·2 n ) ＋ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ). 令 T ＝ 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ n ·2 n ， 则 2 T ＝ 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ 3 × 2 4 ＋ … ＋ n ·2 n ＋ 1 . 两式相减，得－ T ＝ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n － n ·2 n ＋ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ T ＝ 2(1 － 2 n ) ＋ n ·2 n ＋ 1 ＝ 2 ＋ ( n － 1)·2 n ＋ 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 设数列 { a n } 的公比为 q . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，点 ( a n ， S n ) 在 的 图象上 ( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得当 n ≥ 2 时， c n ＝ c 1 ＋ ( c 2 － c 1 ) ＋ ( c 3 － c 2 ) ＋ … ＋ ( c n － c n － 1 ) ＝ 0 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 n － 1) ＝ n 2 － 1 ＝ ( n ＋ 1)( n － 1) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13