高科数学专题复习课件：8_7　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

高科数学专题复习课件：8_7　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.7 　立体几何中的向量方法 ( 一 )—— 证明平行与垂直 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 直线的方向向量：在直线上任取 一 向量 作为它的方向向量 . (2) 平面的法向量可利用方程组求出：设 a ， b 是平面 α 内两不共线向量 ， n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为 1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 知识梳理 非零 2. 用向量证明空间中的平行关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ∥ l 2 ( 或 l 1 与 l 2 重合 ) ⇔ . (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，与平面 α 共面的两个不共线向量 v 1 和 v 2 ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔ . (3) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ∥ α 或 l ⊂ α ⇔ . (4) 设平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 ， u 2 ，则 α ∥ β ⇔ . v 1 ∥ v 2 存在两个实数 x ， y ，使 v ＝ x v 1 ＋ y v 2 v ⊥ u u 1 ∥ u 2 3. 用向量证明空间中的垂直关系 (1) 设直线 l 1 和 l 2 的方向向量分别为 v 1 和 v 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ ⇔ . (2) 设直线 l 的方向向量为 v ，平面 α 的法向量为 u ，则 l ⊥ α ⇔ . (3 ) 设 平面 α 和 β 的法向量分别为 u 1 和 u 2 ，则 α ⊥ β ⇔ ⇔ . v 1 ⊥ v 2 v 1 · v 2 ＝ 0 v ∥ u u 1 ⊥ u 2 u 1 · u 2 ＝ 0 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 直线的方向向量是唯一确定的 .( 　　 ) (2) 平面的单位法向量是唯一确定的 .( 　　 ) (3) 若两平面的法向量平行，则两平面平行 .( 　　 ) (4) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 .( 　　 ) (5) 若 a ∥ b ，则 a 所在直线与 b 所在直线平行 .( 　　 ) (6) 若空间向量 a 平行于平面 α ，则 a 所在直线与平面 α 平行 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ × × 1. 已知 A (1,0,0) ， B (0,1,0) ， C (0,0,1) ，则下列向量是平面 ABC 法向量的是 考点自测 答案 解析 设 n ＝ ( x ， y ， z ) 为平面 ABC 的法向量， ∴ x ＝ y ＝ z . 故选 C. 2. 直线 l 的方向向量 a ＝ (1 ，－ 3,5) ，平面 α 的法向量 n ＝ ( － 1,3 ，－ 5) ，则 有 A. l ∥ α B. l ⊥ α C. l 与 α 斜交 D. l ⊂ α 或 l ∥ α 答案 解析 由 a ＝－ n 知， n ∥ a ，则有 l ⊥ α ，故选 B. 3. 平面 α 的法向量为 (1,2 ，－ 2) ，平面 β 的法向量为 ( － 2 ，－ 4 ， k ) ，若 α ∥ β ，则 k 等于 A.2 B . － 4 C.4 D. － 2 ∵ α ∥ β ， ∴ 两平面法向量 平行 ， 答案 解析 4.( 教材改编 ) 设 u ， v 分别是平面 α ， β 的法向量， u ＝ ( － 2,2,5) ，当 v ＝ (3 ，－ 2,2) 时， α 与 β 的位置关系为 ________ ；当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时， α 与 β 的位置关系为 ________. 答案 解析 α ⊥ β α ∥ β 当 v ＝ (3 ，－ 2,2) 时， u · v ＝ ( － 2,2,5)·(3 ，－ 2,2) ＝ 0 ⇒ α ⊥ β . 当 v ＝ (4 ，－ 4 ，－ 10) 时， v ＝－ 2 u ⇒ α ∥ β . 5.( 教材改编 ) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D 1 D 的中点， N 是 A 1 B 1 的中点，则直线 ON ， AM 的位置关系是 ________. 答案 解析 垂直 题型分类　深度剖析 题型一　利用空间向量证明平行问题 例 1 　 (2016· 重庆模拟 ) 如图所示，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形，且 PA ＝ AD ＝ 2 ， E ， F ， G 分别是线段 PA ， PD ， CD 的中点 . 求证： PB ∥ 平面 EFG . 证明 ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， ABCD 为正方形， △ PAD 是直角三角形 ， 且 PA ＝ AD ， ∴ AB ， AP ， AD 两两垂直，以 A 为坐标原点 ， 建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz ， 则 A (0,0,0) ， B (2 ， 0,0) ， C (2,2,0) ， D (0,2,0) ， P (0 ， 0,2) ， E (0,0,1 ) ， F (0,1,1) ， G (1 ， 2,0). 即 (2,0 ，－ 2) ＝ s (0 ，－ 1,0) ＋ t (1,1 ，－ 1) ， ∵ PB ⊄ 平面 EFG ， ∴ PB ∥ 平面 EFG . 引申 探究 本例中条件不变，证明平面 EFG ∥ 平面 PBC . 证明 又 ∵ EF ⊄ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， ∴ EF ∥ 平面 PBC ， 同理可证 GF ∥ PC ，从而得出 GF ∥ 平面 PBC . 又 EF ∩ GF ＝ F ， EF ⊂ 平面 EFG ， GF ⊂ 平面 EFG ， ∴ 平面 EFG ∥ 平面 PBC . 思维 升华 (1) 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 . (2) 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可 . 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 . 跟踪训练 1 　 (2016· 北京海淀区模拟 ) 正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别是 C 1 C ， B 1 C 1 的中点 . 求证： MN ∥ 平面 A 1 BD . 证明 如 图所示，以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD 1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 . 设正方体的棱长为 1 ，则 M (0,1 ， ) ， N ( ， 1,1) ， D (0,0,0 ) ， A 1 (1,0,1) ， B (1,1,0) ， 设平面 A 1 BD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 取 x ＝ 1 ，得 y ＝－ 1 ， z ＝－ 1. 所以 n ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1). 又 MN ⊄ 平面 A 1 BD ，所以 MN ∥ 平面 A 1 BD . 例 2 　如图所示，正三棱柱 ( 底面为正三角形的直三棱柱 ) ABC — A 1 B 1 C 1 的所有棱长都为 2 ， D 为 CC 1 的中点 . 求证： AB 1 ⊥ 平面 A 1 BD . 题型二　利用空间向量证明垂直问题 命题点 1 　证线面垂直 证明 方法一　 设平面 A 1 BD 内的任意一条直线 m 的方向向量为 m . 由共面向量定理，则存在实数 λ ， μ ，使 m ＝ λ ＋ μ . 令 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，显然它们不共面，并且 | a | ＝ | b | ＝ | c | ＝ 2 ， a · b ＝ a·c ＝ 0 ， b·c ＝ 2 ，以它们为空间的一个基底， 方法二 　 取 BC 的中点 O ，连接 AO . 因为 △ ABC 为正三角形 ，所以 AO ⊥ BC . 因为在正三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中 ， 平面 ABC ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ， 所以 AO ⊥ 平面 BCC 1 B 1 . 取 B 1 C 1 的中点 O 1 ，以 O 为原点 ， 分别 以 ， ， 所在 直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 B (1,0,0) ， D ( － 1,1,0) ， A 1 (0,2 ， ) ， A (0,0 ， ) ， B 1 (1,2,0). 设平面 A 1 BD 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， ＝ ( － 1,2 ， ) ，＝ ( － 2,1,0). 令 x ＝ 1 ，则 y ＝ 2 ， z ＝－ ， 故 n ＝ (1,2 ，－ ) 为平面 A 1 BD 的一个法向量， 故 AB 1 ⊥ 平面 A 1 BD . 例 3 　 ( 2017· 武汉 月考 ) 如图，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，且 PA ＝ PD ＝ AD ，设 E ， F 分别为 PC ， BD 的中点 . (1) 求证： EF ∥ 平面 PAD ； 命题点 2 　证面面垂直 证明 如图，取 AD 的中点 O ，连接 OP ， OF . 因为 PA ＝ PD ，所以 PO ⊥ AD . 因为侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ， 平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， 所以 PO ⊥ 平面 ABCD . 又 O ， F 分别为 AD ， BD 的中点，所以 OF ∥ AB . 又 ABCD 是正方形，所以 OF ⊥ AD . 以 O 为原点， OA ， OF ， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， 所以 EF ∥ 平面 PAD . (2) 求证：平面 PAB ⊥ 平面 PDC . 证明 又 PA ⊥ PD ， PD ∩ CD ＝ D ，所以 PA ⊥ 平面 PDC . 又 PA ⊂ 平面 PAB ，所以平面 PAB ⊥ 平面 PDC . 思维 升华 证明垂直问题的方法 (1) 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 . 其中灵活建系是解题的关键 . (2) 其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直： ① 证明两平面的法向量互相垂直； ② 利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可 . 跟踪训练 2 　 (2016· 青岛模拟 ) 如图，在多面体 ABC － A 1 B 1 C 1 中，四边形 A 1 ABB 1 是正方形， AB ＝ AC ， BC ＝ AB ， B 1 C 1 綊 BC ，二面角 A 1 － AB － C 是直二面角 . 求证： (1) A 1 B 1 ⊥ 平面 AA 1 C ； 证明 ∵ 二面角 A 1 － AB － C 是直二面角，四边形 A 1 ABB 1 为正方形， ∴ AA 1 ⊥ 平面 BAC . 又 ∵ AB ＝ AC ， BC ＝ AB ， ∴∠ CAB ＝ 90° ，即 CA ⊥ AB ， ∴ AB ， AC ， AA 1 两两互相垂直 . 建立如图所示的空间直角坐标系，点 A 为坐标原点 ， 设 AB ＝ 2 ，则 A (0,0,0) ， B 1 (0,2,2) ， A 1 (0,0,2) ， C (2,0,0) ， C 1 (1,1,2 ). 设平面 AA 1 C 的一个法向量 n ＝ ( x ， y ， z ) ， ∴ A 1 B 1 ⊥ 平面 AA 1 C . (2) AB 1 ∥ 平面 A 1 C 1 C . 证明 设平面 A 1 C 1 C 的一个法向量 m ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， 令 x 1 ＝ 1 ，则 y 1 ＝－ 1 ， z 1 ＝ 1 ，即 m ＝ (1 ，－ 1,1). ∴ · m ＝ 0 × 1 ＋ 2 × ( － 1) ＋ 2 × 1 ＝ 0 ， 又 AB 1 ⊄ 平面 A 1 C 1 C ， ∴ AB 1 ∥ 平面 A 1 C 1 C . 题型三　利用空间向量解决探索性问题 例 4 　 (2016· 北京 ) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊥ PD ， PA ＝ PD ， AB ⊥ AD ， AB ＝ 1 ， AD ＝ 2 ， AC ＝ CD ＝ . (1) 求证： PD ⊥ 平面 PAB ； ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， AB ⊥ AD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD . ∵ PD ⊂ 平面 PAD ， ∴ AB ⊥ PD . 又 PA ⊥ PD ， PA ∩ AB ＝ A ，且 PA ， PB ⊂ 平面 PAB ， ∴ PD ⊥ 平面 PAB . 证明 (2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； 解答 取 AD 中点 O ，连接 CO ， PO ， ∵ PA ＝ PD ， ∴ PO ⊥ AD . 又 ∵ PO ⊂ 平面 PAD ， 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∵ CO ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ CO ， ∵ AC ＝ CD ， ∴ CO ⊥ AD . 以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系 . 易知 P (0,0,1) ， B (1,1,0) ， D (0 ，－ 1,0) ， C (2,0,0). 设 n ＝ ( x 0 ， y 0 ， 1 ) 为平面 PCD 的一个法向量 . 设 PB 与平面 PCD 的夹角为 θ . (3) 在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 BM ∥ 平面 PCD ？若存在， 求 的 值；若不存在，说明理由 . 解答 ∵ BM ⊄ 平面 PCD ， ∴ BM ∥ 平面 PCD ， 思维 升华 对于 “ 是否存在 ” 型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到 “ 存在点 ” ，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定 “ 不存在 ”. 跟踪训练 3 　 (2016· 深圳模拟 ) 如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ⊥ 平面 ABCD ， NB ⊥ 平面 ABCD ，且 MD ＝ NB ＝ 1 ， E 为 BC 的中点 . (1) 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值； 解答 如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz ， 依题意得 D (0,0,0) ， A (1,0,0) ， M (0,0,1) ， C (0,1,0) ， B (1,1,0) ， N (1,1,1) ， E ( ， 1,0) ， (2) 在线段 AN 上是否存在点 S ，使得 ES ⊥ 平面 AMN ？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 . 解答 假设在线段 AN 上存在点 S ，使得 ES ⊥ 平面 AMN . 连接 AE ，如图所示 . 由 ES ⊥ 平面 AMN ， 典例 　 (12 分 )(2016· 吉林实验中学月考 ) 如图 1 所示，正 △ ABC 的边长为 4 ， CD 是 AB 边上的高， E ， F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将 △ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A － DC － B ，如图 2 所示 . (1) 试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系 ， 并 说明理由 ； (2) 求二面角 E － DF － C 的余弦值； (3) 在线段 BC 上是否存在一点 P ，使 AP ⊥ DE ？证明你的结论 . 利用 向量法解决立体几何问题 思想与方法系列 19 规范解答 思想方法指 导 几何画板展示 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法 (1) 用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由 “ 形 ” 转 “ 数 ” 的转化思想 . (2) 两种思路： ① 选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断 . ② 建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题 . 返回 解 　 (1) AB ∥ 平面 DEF ，理由如下： 在 △ ABC 中，由 E ， F 分别是 AC ， BC 中点，得 EF ∥ AB . 又 AB ⊄ 平面 DEF ， EF ⊂ 平面 DEF ， ∴ AB ∥ 平面 DEF . [1 分 ] (2) 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A (0,0,2) ， B (2,0,0) ， C (0,2 ， 0) ， E (0 ， ， 1) ， F (1 ， ， 0) ， [3 分 ] 设平面 EDF 的法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 返回 课时作业 1.(2016· 茂名调研 ) 已知 a ＝ (2 ，－ 1,3) ， b ＝ ( － 1,4 ，－ 2) ， c ＝ (7,5 ， λ ). 若 a ， b ， c 三向量共面，则实数 λ 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 由题意得 c ＝ t a ＋ μ b ＝ (2 t － μ ，－ t ＋ 4 μ ， 3 t － 2 μ ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.( 2017· 西安质检 ) 若平面 α ， β 的法向量分别是 n 1 ＝ (2 ，－ 3,5) ， n 2 ＝ ( － 3,1 ，－ 4) ， 则 A. α ∥ β B. α ⊥ β C. α ， β 相交但不垂直 D . 以上答案均不正确 √ 答案 解析 ∵ n 1 · n 2 ＝ 2 × ( － 3) ＋ ( － 3) × 1 ＋ 5 × ( － 4) ≠ 0 ， ∴ n 1 与 n 2 不垂直，且不共线 . ∴ α 与 β 相交但不垂直 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知平面 α 内有一点 M (1 ，－ 1,2) ，平面 α 的一个法向量为 n ＝ (6 ，－ 3,6) ，则下列点 P 中，在平面 α 内的 是 A. P (2,3,3) B. P ( － 2,0,1) C. P ( － 4,4,0) D. P (3 ，－ 3,4) √ 答案 解析 ∴ 点 P 在平面 α 内，同理可验证其他三个点不在平面 α 内 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A. 相交 B . 平行 C. 在平面内 D . 平行或在平面内 √ 答案 解析 ∴ AB 与平面 CDE 平行或在平面 CDE 内 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 设 u ＝ ( － 2,2 ， t ) ， v ＝ (6 ，－ 4,4) 分别是平面 α ， β 的法向量 . 若 α ⊥ β ，则 t 等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 答案 解析 ∵ α ⊥ β ，则 u · v ＝－ 2 × 6 ＋ 2 × ( － 4) ＋ 4 t ＝ 0 ， ∴ t ＝ 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2016· 泰安模拟 ) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，棱长为 a ， M ， N 分别为 A 1 B 和 AC 上的点， A 1 M ＝ AN ＝ ， 则 MN 与平面 BB 1 C 1 C 的位置关系 是 A. 斜交 B . 平行 C. 垂直 D. MN 在平面 BB 1 C 1 C 内 √ 答案 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 又 C 1 D 1 ⊥ 平面 BB 1 C 1 C ， 所以 ＝ (0 ， a, 0) 为平面 BB 1 C 1 C 的一个法向量 . 所以 MN ∥ 平面 BB 1 C 1 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.( 2017· 广州质检 ) 已知平面 α 内的三点 A (0,0,1) ， B (0,1,0) ， C (1,0,0) ，平面 β 的一个法向量 n ＝ ( － 1 ，－ 1 ，－ 1) ，则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是 ____ _ _. 答案 解析 α ∥ β 设平面 α 的法向量为 m ＝ ( x ， y ， z ) ， ∴ m ＝ (1,1,1) ， m ＝－ n ， ∴ m ∥ n ， ∴ α ∥ β . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ①②③ ∴ 是 平面 ABCD 的法向量，则 ③ 正确 . ∴ AB ⊥ AP ， AD ⊥ AP ，则 ①② 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 *9. 如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为底面中心， M 为 SO 中点，动点 P 在圆锥底面内 ( 包括 圆 周 ). 若 AM ⊥ MP ，则点 P 形成的轨迹长度为 ________. 答案 解析 由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示 . 则 A (0 ，－ 1,0) ， B (0,1,0) ， S (0,0 ， ) ， M (0,0 ， ) ，设 P ( x ， y, 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，在三棱锥 P-ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点， PO ⊥ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上 . 已知 BC ＝ 8 ， PO ＝ 4 ， AO ＝ 3 ， OD ＝ 2. (1) 证明： AP ⊥ BC ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，以 O 为坐标原点， OD ， OP 所在直线为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz . 则 O (0,0,0) ， A (0 ，－ 3,0) ， B (4,2,0) ， C ( － 4,2,0) ， P (0,0,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM ＝ 3. 试证明平面 AMC ⊥ 平面 BMC . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 (1) 知 AP ＝ 5 ， 又 AM ＝ 3 ，且点 M 在线段 AP 上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又根据 (1) 的结论知 AP ⊥ BC ，且 BM ∩ BC ＝ B ， ∴ AP ⊥ 平面 BMC ，于是 AM ⊥ 平面 BMC . 又 AM ⊂ 平面 AMC ，故平面 AMC ⊥ 平面 BMC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2016· 长沙模拟 ) 如图， 在 四棱锥 P — ABCD 中， PD ⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD ＝ DC ， E 、 F 分别是 AB 、 PB 的中点 . (1) 求证： EF ⊥ CD ； 证明 如图，分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 设 AD ＝ a ，则 D (0,0,0) ， A ( a, 0,0) ， B ( a ， a, 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 在平面 PAD 内求一点 G ，使 GF ⊥ 平面 PCB ，并证明你的结论 . 解答 若使 GF ⊥ 平面 PCB ，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 *12. 如图所示，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF ∥ AB ， EF ⊥ FB ， AB ＝ 2 EF ， ∠ BFC ＝ 90° ， BF ＝ FC ， H 是 BC 的中点 . (1) 求证： FH ∥ 平面 EDB ； 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB ⊥ BC . 又 EF ∥ AB ， ∴ EF ⊥ BC . 又 EF ⊥ FB ， FB ∩ BC ＝ B ， ∴ EF ⊥ 平面 BFC . ∴ EF ⊥ FH ， ∴ AB ⊥ FH . 又 BF ＝ FC ， H 为 BC 的中点， ∴ FH ⊥ BC . 又 AB ∩ BC ＝ B ， ∴ FH ⊥ 平面 ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设 BH ＝ 1 ，则 A (1 ，－ 2,0) ， B (1,0,0) ， C ( － 1,0,0) ， D ( － 1 ，－ 2,0) ， E (0 ，－ 1,1) ， F (0,0,1). 设 AC 与 BD 的交点为 G ，连接 GE ， GH ， 又 GE ⊂ 平面 EDB ， HF ⊄ 平面 EDB ， ∴ FH ∥ 平面 EDB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2) 求证： AC ⊥ 平面 EDB . 证明 ∴ AC ⊥ GE . 又 AC ⊥ BD ， EG ∩ BD ＝ G ， ∴ AC ⊥ 平面 EDB .