高科数学专题复习课件：第十章 10_1分类加法计数原理与分布乘法计数原理

高科数学专题复习课件：第十章 10_1分类加法计数原理与分布乘法计数原理

§10.1 　 分类加法计数原理与分布乘法计数原理 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理 知识梳理 　　　原理 异同点　　 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 定义 完成一件事有两类不同方案 ， 在 第 1 类方案中有 m 种不同 的 方法 ，在第 2 类方案中有 n 种 不 同 的方法，那么完成这件事 共 有 N ＝ 种 不同的方法 完成一件事需要两个步骤 ， 做 第 1 步有 m 种不同的方法 ， 做 第 2 步有 n 种不同的方法 ， 那么 完成这件事共有 N ＝ 种 不同的方法 m ＋ n m × n 区别 各种方法相互独立，用其中 任 何 一种方法都可以完成这件事 各个步骤中的方法互相依存 ， 只有 各个步骤都完成才能 做 完 这件事 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( 　　 ) (2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 .( 　　 ) (3) 在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( 　　 ) 思考辨析 × √ √ ( 4) 如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 m i ( i ＝ 1,2,3 ， … ， n ) ，那么完成这件事共有 m 1 m 2 m 3 … m n 种方法 .( 　　 ) (5) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .( 　　 ) √ √ 考点自测 1. 用 0,1 ， … ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数 为 A.243 B.252 C.261 D.279 答案 解析 由分步乘法计数原理知，用 0,1 ， … ， 9 十个数字组成三位数 ( 可用重复数字 ) 的个数为 9 × 10 × 10 ＝ 900 ，组成没有重复数字的三位数的个数为 9 × 9 × 8 ＝ 648 ，则组成有重复数字的三位数的个数为 900 － 648 ＝ 252. 故选 B . 2.( 教材改编 ) 已知集合 M ＝ {1 ，－ 2,3} ， N ＝ { － 4,5,6 ，－ 7} ，从 M ， N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数 是 A.12 B.8 C.6 D.4 答案 解析 分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况 ， 第二 步再确定纵坐标，有 2 种情况 ， 因此 第一、二象限内不同点的个数是 3 × 2 ＝ 6 ，故选 C. 3. 满足 a ， b ∈ { － 1,0,1,2} ，且关于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的有序数对 ( a ， b ) 的个数 为 A.14 B.13 C.12 D.10 答案 解析 当 a ＝ 0 时，关于 x 的方程为 2 x ＋ b ＝ 0 ，此时有序数对 (0 ，－ 1) ， (0,0) ， (0,1) ， (0,2) 均满足要求 ； 当 a ≠ 0 时， Δ ＝ 4 － 4 ab ≥ 0 ， ab ≤ 1 ，此时满足要求的有序数对为 ( － 1 ，－ 1) ， ( － 1,0) ， ( － 1,1) ， ( － 1,2) ， (1 ，－ 1) ， (1,0) ， (1,1) ， (2 ，－ 1) ， (2,0 ). 综 上，满足要求的有序数对共有 13 个，故选 B. 4. 从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数 为 A.24 B.18 C.12 D.6 答案 解析 分两类情况讨论：第 1 类，奇偶奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 2 种选择，共有 3 × 2 × 2 ＝ 12( 个 ) 奇数 ； 第 2 类，偶奇奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 1 种选择，共有 3 × 2 × 1 ＝ 6( 个 ) 奇数 . 根据 分类加法计数原理，知共有 12 ＋ 6 ＝ 18( 个 ) 奇数 . 5.( 教材改编 )5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 ________ 种 . 解析 答案 32 每位同学都有 2 种报名方法，因此，可分五步安排 5 名同学报名 ， 由分步 乘法计数 原理 ，知总的报名方法共 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ＝ 32( 种 ). 题型分类　深度剖析 题型一　 分类加法计数原理的应用 例 1 　 高三一班有学生 50 人，其中男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，其中男生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，其中男生 35 人，女生 20 人 . 解答 (1) 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ 完成 这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法 . 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有 50 ＋ 60 ＋ 55 ＝ 165( 种 ) 不同的选法 . (2) 从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 解答 完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法 . 根据分类加法计数原理，共有 30 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 80( 种 ) 不同的选法 . 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置 . 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (2016· 全国丙卷 ) 定义 “ 规范 01 数列 ” { a n } 如下： { a n } 共有 2 m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为 1 ，且对任意 k ≤ 2 m ， a 1 ， a 2 ， … ， a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m ＝ 4 ，则不同的 “ 规范 01 数列 ” 共有 A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 第一位为 0 ，最后一位为 1 ，中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110 ；只有 2 个 1 相邻时， 共 个 ，其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意；三个 1 都不在一起时 有 个 ，共 2 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 14( 个 ). 答案 解析 题型二　 分步乘法计数原理的应用 例 2 　 (1)(2016· 全国甲卷 ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数 为 解析 答案 A.24 B.18 C.12 D.9 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种 ， 从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种 ， 所以 从 E 点到 G 点的最短路径为 6 × 3 ＝ 18( 种 ) ，故选 B. ( 2) 有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有 ______ 种不同的报名方法 . 答案 解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人 ， 第一 个项目有 6 种选法 ， 第二 个项目有 5 种选法 ， 第三 个项目有 4 种选法 ， 根据 分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 6 × 5 × 4 ＝ 120( 种 ). 120 引申探究 1. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每人恰好参加一项，每项人数不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 ， 各 有 3 种不同的报名方法 ， 根据 分步乘法计数原理 ， 可 得不同的报名方法共有 3 6 ＝ 729( 种 ). 解答 2. 本例 (2) 中若将条件 “ 每项限报一人，且每人至多参加一项 ” 改为 “ 每项限报一人，但每人参加的项目不限 ” ，则有多少种不同的报名方法？ 每人参加的项目不限 ， 因此 每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 ， 根据 分步乘法计数原理 ， 可 得不同的报名方法共有 6 3 ＝ 216( 种 ). 解答 (1) 利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 . (2) 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位数的个数为 _____. 可分三步给百、十、个位放数字 ， 第一 步：百位数写有 5 种放法 ； 第二 步：十位数字有 5 种放法 ； 第三 步：个位数字有 4 种放法 ， 根据 分步乘法计数原理，三位数个数为 5 × 5 × 4 ＝ 100. 100 答案 解析 (2)(2017· 石家庄 质检 ) 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为 ________. 五名学生争夺四项比赛的冠军 ( 冠军不并列 ) ，则获得冠军的可能性有 ________ 种 . 4 5 5 4 五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项 ，可 逐个学生落实 ， 每个 学生有 4 种报名方法，共有 4 5 种不同的报名方法 . 五 名学生争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一落实 ， 每个 冠军有 5 种获得的可能性，共有 5 4 种获得冠军的可能性 . 答案 解析 题型三　 两个计数原理的综合应用 例 3 　 (1) 如图，矩形的对角线把矩形分成 A ， B ， C ， D 四部分，现用 5 种不同颜色给四部分涂色，每部分涂 1 种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有 _____ 种 不同的涂色方法 . 260 答案 解析 区域 A 有 5 处涂色方法 ； 区域 B 有 4 种涂色方法 ； 区域 C 的涂色方法可分 2 类 ： 若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法 ； 若 C 与 A 涂不同色，此时区域 C 有 3 种涂色方法 ， 区域 D 也有 3 种涂色方法 . 所以 共有 5 × 4 × 4 ＋ 5 × 4 × 3 × 3 ＝ 260( 种 ) 涂色方法 . (2) 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个 “ 正交线面对 ”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “ 正交线面对 ” 的个数是 ________. 36 第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成 “ 正交线面对 ” ，这样 的 “ 正交线面对 ” 有 2 × 12 ＝ 24( 个 ) ； 第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成 “ 正交线面对 ” ，这样 的 “ 正交线面对 ” 有 12 个 . 所以 正方体中 “ 正交线面对 ” 共有 24 ＋ 12 ＝ 36( 个 ). 答案 解析 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1) 弄清完成一件事是做什么 . (2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类 . (3) 弄清分步、分类的标准是什么 . (4) 利用两个计数原理求解 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2017· 济南质检 ) 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 ) ，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 ___. 答案 解析 96 按区域 1 与 3 是否同色分类： (1) 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2,4,5( 还有 3 种颜色 ) 有 种 方法 . ∴ 区域 1 与 3 涂同色，共有 4 ＝ 24( 种 ) 方法 . (2) 区域 1 与 3 不同色：先涂区域 1 与 3 有 种 方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法，第三步涂区域 4 只有一种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法 . ∴ 这时 共有 × 2 × 1 × 3 ＝ 72( 种 ) 方法 . 故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为 24 ＋ 72 ＝ 96. 典例 　 (1) 把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法 共有 A.24 种 B.4 种 C.4 3 种 D.3 4 种 (2) 某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有 4 次，轮船有 3 次，问此人的走法可有 ________ 种 . 利用 两个基本原理解决计数问题 现场纠错系列 13 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步 . (2) 把握完成一件事情的标准，如典例 (1) 没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误 . 解析 　 (1) 因为每个信箱有三种投信方法，共 4 个信箱， 所以共有 3 × 3 × 3 × 3 ＝ 3 4 ( 种 ) 投法 . (2) 乘火车有 4 种方法，坐轮船有 3 种方法， 共有 3 × 4 ＝ 12( 种 ) 方法 . 答案　 (1)D 　 (2)12 返回 解析 　 (1) 第 1 封信投到信箱中有 4 种投法 ； 第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法 ； 第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法 . 只要 把这 3 封信投完，就做完了这件事情 ， 由分 步乘法计数原理可得共有 4 3 种方法 . (2) 因为某人从甲地到乙地 ， 乘 火车的走法有 4 种 ，坐 轮船的走法有 3 种 ， 每 一种方法都能从甲地到乙地 ， 根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有 4 ＋ 3 ＝ 7( 种 ). 答案　 (1)C 　 (2)7 返回 课时作业 1.(2016· 三门峡模拟 ) 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法 有 A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设四位监考教师分别为 A ， B ， C ， D ，所教班分别为 a ， b ， c ， d ， 假设 A 监考 b ，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法 ， 同理 A 监考 c ， d 时，也分别有 3 种不同方法 ， 由 分类加法计数原理，共有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9( 种 ) 不同的监考方法 . √ 2. 小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面 . 他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法 有 A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 记反面为 1 ，正面为 2 ， 则 正反依次相对有 12121212,21212121 两种 ； 有 两枚反面相对有 21121212,21211212,21212112 三种，共 5 种摆法 ， 故 选 B. 3. 将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，则不同的安排方案 共有 A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由分步乘法计数原理，不同的选派方案共有 2 × 6 ＝ 12( 种 ). √ 4.(2015· 四川 ) 用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中 比 40 000 大的偶数 共有 A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意知，首位数字只能是 4,5 ， 若 万位是 5 ，则有 3 × ＝ 72( 个 ) ； 若 万位是 4 ，则有 2 × ＝ 48( 个 ) ， 故 比 40 000 大的偶数共有 72 ＋ 48 ＝ 120( 个 ). 故选 B. √ 5. 将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案 有 A.1 种 B.3 种 C.6 种 D.9 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱 ， 所以 应该将四面体的对棱涂成相同的颜色 . 故 有 3 × 2 × 1 ＝ 6( 种 ) 涂色方案 . 6. 将字母 a ， a ， b ， b ， c ， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法 共有 A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此 共有 种 不同排法 . 再 排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法 ， 第二 列第二、三行的字母只有 1 种排法 . 因此共有 · 2·1 ＝ 12( 种 ) 不同的排列方法 . 7.(2016· 大连模拟 ) 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 ____ 种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 答案 解析 编号为 1 的方格内填数字 2 ，共有 3 种不同填法 ； 编号 为 1 的方格内填数字 3 ，共有 3 种不同填法 ； 编号 为 1 的方格内填数字 4 ，共有 3 种 不同填法 . 于是 由分类加法计数原理，得共有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9( 种 ) 不同的填法 . 8. 如图所示，在 A ， B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现 A ， B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 _____ 种 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 四个焊点共有 2 4 种情况 ， 其中 使线路通的情况有： 1,4 都通， 2 和 3 至少有一个通时线路才通 ， 共 3 种可能 . 故 不通的情况有 2 4 － 3 ＝ 13( 种 ) 可能 . 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.( 2017· 日照 调研 ) 从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为 _____. 17 答案 解析 当所取两个数中含有 1 时， 1 只能作真数，对数值为 0 ， 当 所取两个数不含有 1 时，可 得到 ＝ 20( 个 ) 对数 ， 但 log 2 3 ＝ log 4 9 ， log 3 2 ＝ log 9 4 ， log 2 4 ＝ log 3 9 ， log 4 2 ＝ log 9 3 ， 综 上可知，共有 20 ＋ 1 － 4 ＝ 17( 个 ) 不同的对数值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2016· 天津模拟 ) 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3 443,94 249 等 . 显然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33 ， … ， 99.3 位回文数有 90 个： 101,111,121 ， … ， 191,202 ， … ， 999. 则 (1)4 位回文数有 ______ 个； 4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0 ，共 9 种填法 ， 中间 两位一样，有 10 种填法，共计 9 × 10 ＝ 90( 种 ) 填法 ， 即 4 位回文数有 90 个 . 90 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)2 n ＋ 1( n ∈ N * ) 位回文数有 ________ 个 . 根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格 . 结合 分步乘法计数原理，知有 9 × 10 n 种填法 . 答案 解析 9 × 10 n 11. 有一项活动需在 3 名老师， 6 名男同学和 8 名女同学中选人参加 . (1) 若只需一人参加，有多少种不同选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有 3,6,8 种方法 ， 总 方法数为 3 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ 分两步，先选教师共 3 种选法，再选学生共 6 ＋ 8 ＝ 14( 种 ) 选法 ， 由 分步乘法计数原理知，总方法数为 3 × 14 ＝ 42. (3) 若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？ 解答 教师，男同学，女同学各一人可分三步 ， 每 步方法依次为 3,6,8 种 . 由 分步乘法计数原理知总方法数为 3 × 6 × 8 ＝ 144( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 12. 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法种数 . 方法一 　设染色按 S － A － B － C － D 的顺序进行，对 S ， A ， B 染色，有 5 × 4 × 3 ＝ 60( 种 ) 染色方法 . 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色，这影响到 D 点颜色的选取方法数，故分类讨论： C 与 A 同色时 ( 此时 C 对颜色的选取方法唯一 ) ， D 应与 A ( C ) ， S 不同色，有 3 种选择 ； C 与 A 不同色时， C 有 2 种可选择的颜色， D 也有 2 种颜色可供选择 . 从而对 C 、 D 染色有 1 × 3 ＋ 2 × 2 ＝ 7( 种 ) 染色方法 . 由分步乘法计数原理，不同的染色方法种数为 60 × 7 ＝ 420 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二 　根据所用颜色种数分类，可分三类 . 第一类：用 3 种颜色，此时 A 与 C ， B 与 D 分别同色，问题相当于从 5 种颜色中选 3 种涂三个点， 共 ＝ 60( 种 ) 涂法； 第二类：用 4 种颜色，此时 A 与 C ， B 与 D 中有且只有一组同色，涂法种数为 2 ＝ 240( 种 ) ； 第三类：用 5 种颜色，涂法种数 共 ＝ 120( 种 ). 综上可知，满足题意的染色方法种数为 60 ＋ 240 ＋ 120 ＝ 420. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知集合 M ＝ { － 3 ，－ 2 ，－ 1,0,1,2} ，若 a ， b ， c ∈ M ，则： (1) y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 可以表示多少 个不同 的二次函数？其中偶函数有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 a 的取值有 5 种情况， b 的取值 6 种情况， c 的取值有 6 种情况 ， 因此 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 可以表示 5 × 6 × 6 ＝ 180( 个 ) 不同的二次函数 . 若 二次函数为偶函数，则 b ＝ 0 ，故有 5 × 6 ＝ 30( 个 ). (2) y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数？ 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的图象开口向上时 ， a 的取值有 2 种情况， b 、 c 的取值均有 6 种情况 ， 因此 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 可以表示 2 × 6 × 6 ＝ 72( 个 ) 图象开口向上的二次函数 .