高科数学专题复习课件：9_5　椭　圆

高科数学专题复习课件：9_5　椭　圆

§9.5 　椭　圆 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 椭圆的概念 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹 叫做 . 这两个定点叫做椭圆 的 ， 两焦点间的距离叫做椭圆 的 . 集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a >0 ， c >0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 ， 则集合 P 为椭圆； (2) 若 ， 则集合 P 为线段； (3) 若 ， 则集合 P 为空集 . 知识梳理 椭圆 焦点 焦距 a > c a ＝ c a < c 标准方程 ( a > b >0) ( a > b >0) 图形 性 质 范围 － a ≤ x ≤ a － b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b － a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 2. 椭圆的标准方程和几何性质 性 质 顶点 A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) B 1 ( － b, 0) ， B 2 ( b, 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长 为 ； 短轴 B 1 B 2 的长 为 焦距 | F 1 F 2 | ＝ ___ 离心率 e ＝ ∈ (0,1) a ， b ， c 的关系 2 a 2 b 2 c a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 点 P ( x 0 ， y 0 ) 和椭圆的关系 (1) 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆内 ⇔ (2) 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆上 ⇔ (3) 点 P ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆外 ⇔ 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹 是椭圆 . ( 　　 ) (2) 椭圆上一点 P 与两焦点 F 1 ， F 2 构成 △ PF 1 F 2 的周长为 2 a ＋ 2 c ( 其中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 ).( 　　 ) (3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 .( 　　 ) (4) 方程 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) 表示的曲线是椭圆 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ × √ 1.( 教材改编 ) 椭圆 的 焦距为 4 ，则 m 等于 A.4 B.8 C.4 或 8 D.12 考点自测 答案 解析 解得 m ＝ 4 或 m ＝ 8. 2.(2015· 广东 ) 已知 椭圆 的 左焦点为 F 1 ( － 4,0) ，则 m 等于 A.2 B.3 C.4 D.9 答案 解析 由题意知 25 － m 2 ＝ 16 ，解得 m 2 ＝ 9 ，又 m >0 ，所以 m ＝ 3. 3.(2016· 全国乙卷 ) 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长 的 ， 则该椭圆的离心率 为 答案 解析 4. 如果方程 x 2 ＋ ky 2 ＝ 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 _____. 答案 解析 (0,1) 即 k <1 ，又 k >0 ，所以 0< k <1. 5.( 教材改编 ) 已知点 P 是 椭圆 ＝ 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F 1 ， F 2 为顶点的三角形的面积等于 1 ，则点 P 的坐标 为 _______________________. 答案 解析 设 P ( x ， y ) ，由题意知 c 2 ＝ a 2 － b 2 ＝ 5 － 4 ＝ 1 ， 所以 c ＝ 1 ，则 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) ，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1 ， 题型分类　深度剖析 例 1 　 ( 2016· 济南模拟 ) 如图所示，一圆形纸片的圆心为 O ， F 是圆内一定点， M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD ，设 CD 与 OM 交于点 P ，则点 P 的轨迹 是 A. 椭圆 B . 双曲线 C. 抛物线 D . 圆 题型一　椭圆的定义及标准方程 命题点 1 　利用定义求轨迹 答案 解析 几何画板展示 由条件知 | PM | ＝ | PF |. ∴ | PO | ＋ | PF | ＝ | PO | ＋ | PM | ＝ | OM | ＝ R >| OF |. ∴ P 点的轨迹是以 O ， F 为焦点的椭圆 . 命题点 2 　利用待定系数法求椭圆方程 例 2 　 (1) 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍， 并且 过 点 P (3,0) ，则椭圆的方程为 ______________________. 答案 解析 答案 解析 设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 且 m ≠ n ). ∵ 椭圆经过点 P 1 ， P 2 ， ∴ 点 P 1 ， P 2 的坐标适合椭圆方程 . 命题点 3 　利用定义解决 “ 焦点三角形 ” 问题 答案 解析 3 设 | PF 1 | ＝ r 1 ， | PF 2 | ＝ r 2 ， ＝ 4 a 2 － 4 c 2 ＝ 4 b 2 ， 又 ∵ ＝ r 1 r 2 ＝ b 2 ＝ 9 ， ∴ b ＝ 3. 引申 探究 1. 在例 3 中增加条件 “△ PF 1 F 2 的周长为 18 ” ，其他条件不变，求该椭圆的方程 . 由原题得 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 9 ， 又 2 a ＋ 2 c ＝ 18 ， 所以 a － c ＝ 1 ，解得 a ＝ 5 ， 解答 解答 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ，又 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ， 所以 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 || PF 2 |cos 60 ° ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 即 (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 3| PF 1 || PF 2 | ＝ 4 c 2 ， 所以 3| PF 1 || PF 2 | ＝ 4 a 2 － 4 c 2 ＝ 4 b 2 ， 所以 b ＝ 3. 思维 升华 (1) 求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2 a >| F 1 F 2 | 这一条件 . (2) 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a ， b 的方程组 . 如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) 的形式 . (3) 当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F 1 ， F 2 组成的三角形通常称为 “ 焦点三角形 ” ，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求 | PF 1 |·| PF 2 | ；通过整体代入可求其面积等 . 跟踪训练 1 　 (1) 已知两圆 C 1 ： ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 169 ， C 2 ： ( x ＋ 4) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，动圆在圆 C 1 内部且和圆 C 1 相内切，和圆 C 2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程 为 答案 解析 几何画板展示 设圆 M 的半径为 r ， 则 | MC 1 | ＋ | MC 2 | ＝ (13 － r ) ＋ (3 ＋ r ) ＝ 16>8 ＝ | C 1 C 2 | ， 所以 M 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的椭圆， 且 2 a ＝ 16,2 c ＝ 8 ， 答案 解析 ∴ PF 1 ⊥ PF 2 ， ∠ F 1 PF 2 ＝ 90°. 设 | PF 1 | ＝ m ， | PF 2 | ＝ n ， 则 m ＋ n ＝ 4 ， m 2 ＋ n 2 ＝ 12,2 mn ＝ 4 ， 例 4 　 (1) 已知点 F 1 ， F 2 是椭圆 x 2 ＋ 2 y 2 ＝ 2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点， 那么 的 最小值 是 题型二　椭圆的几何性质 A.0 B.1 C.2 D.2 答案 解析 (2)(2016· 全国丙卷 ) 已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： ( a ＞ b ＞ 0 ) 的左焦点， A ， B 分别为椭圆 C 的左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 . 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率 为 答案 解析 (1) 利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ① 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x ， y 的范围，离心率的范围等不等关系 . ② 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系 . (2) 求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a ， b ， c 的等式或不等式，利用 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 消去 b ，即可求得离心率或离心率的范围 . 思维 升华 答案 解析 解得 B ， C 两点坐标为 又因为 b 2 ＝ a 2 － c 2 . 题型三　直线与椭圆 解答 又 a 2 － c 2 ＝ b 2 ＝ 3 ，所以 c 2 ＝ 1 ，因此 a 2 ＝ 4. (2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B ( B 不在 x 轴上 ) ，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H . 若 BF ⊥ HF ，且 ∠ MOA ≤∠ MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围 . 解答 设直线 l 的斜率为 k ( k ≠ 0) ， 则直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 2). 整理得 (4 k 2 ＋ 3) x 2 － 16 k 2 x ＋ 16 k 2 － 12 ＝ 0. 由 (1) 知， F (1,0) ，设 H (0 ， y H ) ， 在 △ MAO 中， ∠ MOA ≤∠ MAO ⇔ | MA | ≤ | MO | ， 思维 升华 (1) 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题 . 涉及弦中点的问题时用 “ 点差法 ” 解决，往往会更简单 . 提醒 ：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式 . 解答 则 4 x 2 ＋ 5 y 2 ＝ 80 与 y ＝ x － 4 联立， 解答 (2) 如果 △ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 椭圆右焦点 F 的坐标为 (2,0) ， 设线段 MN 的中点为 Q ( x 0 ， y 0 ) ， 由三角形重心的性质知 又 B (0,4) ， ∴ (2 ，－ 4) ＝ 2( x 0 － 2 ， y 0 ) ， 故得 x 0 ＝ 3 ， y 0 ＝－ 2 ， 即 Q 的坐标为 (3 ，－ 2). 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ， y 1 ＋ y 2 ＝－ 4 ， 即 6 x － 5 y － 28 ＝ 0. 高考 中求椭圆的离心率问题 高频 小考点 8 离心率 是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a ， b ， c 的关系式 ( 等式或不等式 ) ，并且最后要把其中的 b 用 a ， c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法 . 考点分析 典例 1 　 (2015· 福建 ) 已知椭圆 E ： ( a ＞ b ＞ 0) 的右焦点为 F ，短轴的一个端点为 M ，直线 l ： 3 x － 4 y ＝ 0 交椭圆 E 于 A ， B 两点 . 若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4 ，点 M 到直线 l 的距离不 小于 ， 则椭圆 E 的离心率的取值范围 是 答案 解析 左焦点 F 0 ，连接 F 0 A ， F 0 B ，则四边形 AFBF 0 为平行四边形 . ∵ | AF | ＋ | BF | ＝ 4 ， ∴ | AF | ＋ | AF 0 | ＝ 4 ， ∴ a ＝ 2. 典例 2 　 ( 12 分 ) (2016 · 浙江 ) 如 图，设 椭圆 ＋ y 2 ＝ 1( a ＞ 1). (1) 求直线 y ＝ kx ＋ 1 被椭圆截得的线段长 ( 用 a ， k 表示 ) ； 解答 设直线 y ＝ kx ＋ 1 被椭圆截得的线段为 AM ， (2) 若任意以点 A (0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 . 解答 假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P ， Q ，满足 | AP | ＝ | AQ |. 记直线 AP ， AQ 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 且 k 1 >0 ， k 2 ＞ 0 ， k 1 ≠ k 2 . ［ 5 分 ］ 因为 ① 式关于 k 1 ， k 2 的方程有解的充要条件是 1 ＋ a 2 ( a 2 － 2) ＞ 1 ，所以 a ＞ . 因此，任意以点 A (0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 ＜ a ≤ ， ［ 10 分 ］ 课时作业 1.(2016· 湖南六校联考 ) 已知椭圆的中心在原点，离心率 e ＝ ， 且它的一个焦点与抛物线 y 2 ＝－ 4 x 的焦点重合，则此椭圆方程 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 由已知可得抛物线的焦点为 ( － 1,0) ，所以 c ＝ 1 ， 解得 a ＝ 2 ， b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 3 ， 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 9>4 － k >0 ，即 4> k > － 5 时， a ＝ 3 ， c 2 ＝ 9 － (4 － k ) ＝ 5 ＋ k ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 c 2 ＝－ k － 5 ， √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施 . 如图所示，假设 “ 嫦娥四号 ” 卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行 . 若用 2 c 1 和 2 c 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的焦距，用 2 a 1 和 2 a 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的长轴长，给出下列式子： ① a 1 ＋ c 1 ＝ a 2 ＋ c 2 ； ② a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ； ③ ； ④ c 1 a 2 > a 1 c 2 . 其中正确式子的 序号是 A. ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④ √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 观察图形可知 a 1 ＋ c 1 > a 2 ＋ c 2 ，即 ① 式不正确； a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ＝ | PF | ，即 ② 式正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2016· 贵州七校联考 ) 以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 ，则椭圆长轴长的最小值 为 答案 解析 √ 设 a ， b ， c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 依题意知，当三角形的高为 b 时面积最大， ( 当且仅当 b ＝ c ＝ 1 时取等号 ) ，故选 D. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 1 ( － a, 0) ， A 2 ( a, 0) ， ∴ y 2 ＝ ax － x 2 >0 ， ∴ 0< x < a . 整理得 ( b 2 － a 2 ) x 2 ＋ a 3 x － a 2 b 2 ＝ 0 ，其在 (0 ， a ) 上有解， 令 f ( x ) ＝ ( b 2 － a 2 ) x 2 ＋ a 3 x － a 2 b 2 ， ∵ f (0) ＝－ a 2 b 2 <0 ， f ( a ) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如图， Δ ＝ ( a 3 ) 2 － 4( b 2 － a 2 )·( － a 2 b 2 ) ＝ a 2 ( a 4 － 4 a 2 b 2 ＋ 4 b 4 ) ＝ a 2 ( a 2 － 2 b 2 ) 2 ≥ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 若 椭圆 ( a >0 ， b >0) 的焦点在 x 轴上，过点 (2,1) 作圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 的切线，切点分别为 A ， B ，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 ， 则 椭圆方程为 ____________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设切点坐标为 ( m ， n ) ， 即 m 2 ＋ n 2 － n － 2 m ＝ 0. ∵ m 2 ＋ n 2 ＝ 4 ， ∴ 2 m ＋ n － 4 ＝ 0 ， 即直线 AB 的方程为 2 x ＋ y － 4 ＝ 0. ∵ 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴ 2 c － 4 ＝ 0 ， b － 4 ＝ 0 ，解得 c ＝ 2 ， b ＝ 4 ， ∴ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＝ 20 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 已知 P 为 椭圆 上 的一点， M ， N 分别为圆 ( x ＋ 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 和圆 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 4 上的点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小值为 ___. 答案 解析 7 由题意知椭圆的两个焦点 F 1 ， F 2 分别是两圆的圆心，且 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 10 ，从而 | PM | ＋ | PN | 的最小值为 | PF 1 | ＋ | PF 2 | － 1 － 2 ＝ 7. 9.(2017· 石家庄 质检 ) 椭圆 ＋ y 2 ＝ 1 的左，右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上一动点，若 ∠ F 1 PF 2 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围 是 ________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设椭圆上一点 P 的坐标为 ( x ， y ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵△ AOP 是等腰三角形， A ( － a, 0) ， ∴ P (0 ， a ). ∴ ( x 0 ， y 0 － a ) ＝ 2( － a － x 0 ，－ y 0 ). 解答 4 a 2 ＋ 4 b 2 ＝ 5 a 2 ,4 a 2 ＋ 4( a 2 － c 2 ) ＝ 5 a 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若斜率为 2 的直线 l 过点 (0,2) ，且 l 交椭圆 C 于 P ， Q 两点， OP ⊥ OQ ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， 直线 l 的方程为 y － 2 ＝ 2( x － 0) ，即 2 x － y ＋ 2 ＝ 0. 得 x 2 ＋ 4(2 x ＋ 2) 2 － 4 b 2 ＝ 0 ， 即 17 x 2 ＋ 32 x ＋ 16 － 4 b 2 ＝ 0. Δ ＝ 32 2 ＋ 16 × 17( b 2 － 4)>0 ，解得 b > . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即 x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 ， x 1 x 2 ＋ (2 x 1 ＋ 2)(2 x 2 ＋ 2) ＝ 0 ， 5 x 1 x 2 ＋ 4( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 ＝ 0. 解答 又因为 B (0 ， b ) ， F ( － c, 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 设直线 BF 与椭圆交于点 P ( P 异于点 B ) ，过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q ( Q 异于点 B ) ，直线 PQ 与 y 轴交于点 M ， | PM | ＝ λ | MQ |. ① 求 λ 的值； ② 若 | PM |sin ∠ BQP ＝ ， 求椭圆的方程 . 解答 设点 P ( x P ， y P ) ， Q ( x Q ， y Q ) ， M ( x M ， y M ). 直线 BF 的方程为 y ＝ 2 x ＋ 2 c . 将直线方程与椭圆方程联立，消去 y ，整理得 3 x 2 ＋ 5 cx ＝ 0 ， 因为 BQ ⊥ BP ，所以直线 BQ 的方程为 y ＝－ x ＋ 2 c ，与椭圆方程联立，消去 y ，整理得 21 x 2 － 40 cx ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.(2016· 长春调研 ) 已知 椭圆 ( a > b >0 ) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，上顶点为 B ， O 为坐标原点， M 为椭圆上任意一点 . 过 F ， B ， A 三点的圆的圆心坐标为 ( p ， q ). (1) 当 p ＋ q ≤ 0 时，求椭圆的离心率的取值范围； 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设椭圆半焦距为 c . 整理得 ab － bc ＋ b 2 － ac ≤ 0 ，即 ( a ＋ b )( b － c ) ≤ 0 ， 所以 b ≤ c ，于是 b 2 ≤ c 2 ，即 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ≤ 2 c 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13