高科数学专题复习课件:高考专题突破四 高考中的立体几何问题

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高科数学专题复习课件:高考专题突破四 高考中的立体几何问题

高考专题突破 四 高考 中的立体几何问题 考点自测   课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 考点自测 1. 正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, D 为 BC 中点, E 为 A 1 C 1 中点,则 DE 与平面 A 1 B 1 BA 的位置关系 为 A. 相交 B . 平行 C. 垂直相交 D . 不确定 答案 解析 如图取 B 1 C 1 中点为 F ,连接 EF , DF , DE , 则 EF ∥ A 1 B 1 , DF ∥ B 1 B , ∴ 平面 EFD ∥ 平面 A 1 B 1 BA , ∴ DE ∥ 平面 A 1 B 1 BA . 2. 设 x 、 y 、 z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形: ① x 、 y 、 z 均为直线; ② x 、 y 是直线, z 是平面; ③ z 是直线, x 、 y 是平面; ④ x 、 y 、 z 均为平面 . 其中使 “ x ⊥ z 且 y ⊥ z ⇒ x ∥ y ” 为真命题 的是 A. ③④ B. ①③ C . ②③ D . ①② 由正方体模型可知 ①④ 为假命题;由线面垂直的性质定理可知 ②③ 为真命题 . 答案 解析 3.(2016· 成都模拟 ) 如图是一个几何体的三视图 ( 侧视图中的弧线是半圆 ) ,则该几何体的表面积 是 A.20 + 3π B.24 + 3π C.20 + 4π D.24 + 4π 答案 解析 根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体,其中正方体的棱长为 2 ,半圆柱的底面半径为 1 ,母线长为 2 ,故该几何体的表面积为 4 × 5 + 2 × π + 2 × π = 20 + 3π. 4.( 2017· 沈阳 调研 ) 设 α , β , γ 是三个平面, a , b 是两条不同直线,有下列三个条件: ① a ∥ γ , b ⊂ β ; ② a ∥ γ , b ∥ β ; ③ b ∥ β , a ⊂ γ . 如果命题 “ α ∩ β = a , b ⊂ γ ,且 ________ ,则 a ∥ b ” 为真命题,则可以在横线处填入的条件是 ________.( 把所有正确的序号填上 ) 答案 解析 ① 或 ③ 由线面平行的性质定理可知, ① 正确 ; 当 b ∥ β , a ⊂ γ 时, a 和 b 在同一平面内,且没有公共点,所以平行, ③ 正确 . 故 应填入的条件为 ① 或 ③ . 5. 如图,在三棱锥 P - ABC 中, D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点 . 若 PA ⊥ AC , PA = 6 , BC = 8 , DF = 5. 则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是 ________ ;平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是 ________.( 填 “ 平行 ” 或 “ 垂直 ” ) 答案 解析 平行 垂直 ① 因为 D , E 分别为棱 PC , AC 的中点,所以 DE ∥ PA . 又因为 PA ⊄ 平面 DEF , DE ⊂ 平面 DEF ,所以直线 PA ∥ 平面 DEF . ② 因为 D , E , F 分别为棱 PC , AC , AB 的中点, PA = 6 , BC = 8 , 所以 DE ∥ PA , DE = PA = 3 , EF = BC = 4. 又因为 DF = 5 ,故 DF 2 = DE 2 + EF 2 , 所以 ∠ DEF = 90° ,即 DE ⊥ EF . 又 PA ⊥ AC , DE ∥ PA ,所以 DE ⊥ AC . 因为 AC ∩ EF = E , AC ⊂ 平面 ABC , EF ⊂ 平面 ABC , 所以 DE ⊥ 平面 ABC ,又 DE ⊂ 平面 BDE , 所以平面 BDE ⊥ 平面 ABC . 题型分类 深度剖析 例 1   (2016· 全国甲卷 ) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,点 E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交 BD 于点 H ,将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D ′ EF 的位置 . (1) 证明: AC ⊥ HD ′ ; 题型一 求空间几何体的表面积与体积 证明 由已知得 AC ⊥ BD , AD = CD , 故 AC ∥ EF ,由此得 EF ⊥ HD ,折后 EF 与 HD 保持 垂直关系,即 EF ⊥ HD ′ , 所以 AC ⊥ HD ′ . 解答 所以 OH = 1 , D ′ H = DH = 3 , 故 OD ′⊥ OH . 由 (1) 知 AC ⊥ HD ′ ,又 AC ⊥ BD , BD ∩ HD ′ = H , 所以 AC ⊥ 平面 DHD ′ ,于是 AC ⊥ OD ′ , 又由 OD ′⊥ OH , AC ∩ OH = O ,所以 OD ′⊥ 平面 ABC . (1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解 . 其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积 . (2) 若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解 . (3) 若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解 . 思维升华 跟踪训练 1   正三棱锥的高为 1 ,底面边长为 2 , 内有一个球与它的四个面都相切 ( 如图 ). 求: (1) 这个正三棱锥的表面积; 解答 (2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积 . 解答 设正三棱锥 P - ABC 的内切球球心为 O ,连接 OP , OA , OB , OC ,而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r . ∴ V P - ABC = V O - PAB + V O - PBC + V O - PAC + V O - ABC 题型二 空间点、线、面的位置关系 例 2   (2016· 济南模拟 ) 如图,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中,侧棱垂直于底面, AB ⊥ BC , AA 1 = AC = 2 , BC = 1 , E , F 分别是 A 1 C 1 , BC 的中点 . (1) 求证:平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ; 证明 在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, BB 1 ⊥ 底面 ABC . 因为 AB ⊂ 平面 ABC , 所以 BB 1 ⊥ AB . 又因为 AB ⊥ BC , BC ∩ BB 1 = B , 所以 AB ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 又 AB ⊂ 平面 ABE , 所以平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 . 证明 (2) 求证: C 1 F ∥ 平面 ABE ; 方法一  如图 1 ,取 AB 中点 G ,连接 EG , FG . 因为 E , F 分别是 A 1 C 1 , BC 的中点, 所以 FG ∥ AC ,且 FG = AC . 因为 AC ∥ A 1 C 1 ,且 AC = A 1 C 1 , 所以 FG ∥ EC 1 ,且 FG = EC 1 , 所以四边形 FGEC 1 为平行四边形 , 所以 C 1 F ∥ EG . 又因为 EG ⊂ 平面 ABE , C 1 F ⊄ 平面 ABE , 所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . 方法二  如图 2 ,取 AC 的中点 H ,连接 C 1 H , FH . 因为 H , F 分别是 AC , BC 的中点,所以 HF ∥ AB , 又因为 E , H 分别是 A 1 C 1 , AC 的中点, 所以 EC 1 綊 AH , 所以四边形 EAHC 1 为平行四边形, 所以 C 1 H ∥ AE , 又 C 1 H ∩ HF = H , AE ∩ AB = A , 所以平面 ABE ∥ 平面 C 1 HF , 又 C 1 F ⊂ 平面 C 1 HF , 所以 C 1 F ∥ 平面 ABE . 解答 (3) 求三棱锥 E - ABC 的体积 . 因为 AA 1 = AC = 2 , BC = 1 , AB ⊥ BC , 所以三棱锥 E - ABC 的体积 (1) ① 证明面面垂直,将 “ 面面垂直 ” 问题转化为 “ 线面垂直 ” 问题,再将 “ 线面垂直 ” 问题转化为 “ 线线垂直 ” 问题 . ② 证明 C 1 F ∥ 平面 ABE : ( ⅰ ) 利用判定定理,关键是在平面 ABE 中找 ( 作 ) 出直线 EG ,且满足 C 1 F ∥ EG .( ⅱ ) 利用面面平行的性质定理证明线面平行,则先要确定一个平面 C 1 HF 满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化 . ( 2) 计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,不能直接用公式时,注意进行体积的转化 . 思维 升华 跟踪训练 2   如图,在三棱锥 S - ABC 中,平面 SAB ⊥ 平面 SBC , AB ⊥ BC , AS = AB . 过 A 作 AF ⊥ SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是棱 SA , SC 的中点 . 求证: (1) 平面 EFG ∥ 平面 ABC ; 证明 由 AS = AB , AF ⊥ SB 知 F 为 SB 中点, 则 EF ∥ AB , FG ∥ BC ,又 EF ∩ FG = F , AB ∩ BC = B , 因此平面 EFG ∥ 平面 ABC . (2) BC ⊥ SA . 证明 由平面 SAB ⊥ 平面 SBC ,平面 SAB ∩ 平面 SBC = SB , AF ⊂ 平面 SAB , AF ⊥ SB , 所以 AF ⊥ 平面 SBC ,则 AF ⊥ BC . 又 BC ⊥ AB , AF ∩ AB = A ,则 BC ⊥ 平面 SAB , 又 SA ⊂ 平面 SAB ,因此 BC ⊥ SA . 题型三 平面图形的翻折问题 例 3   (2015· 陕西 ) 如图 1 ,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ∠ BAD = , AB = BC = 1 , AD = 2 , E 是 AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交点 . 将 △ ABE 沿 BE 折起到 △ A 1 BE 的位置,如图 2. (1) 证明: CD ⊥ 平面 A 1 OC ; 证明 几何画板展示 在题图 1 中,连接 EC , 因为 AB = BC = 1 , AD = 2 , ∠ BAD = , AD ∥ BC , E 为 AD 中点, 所以 BC 綊 ED , BC 綊 AE , 所以四边形 BCDE 为平行四边形,故有 CD ∥ BE , 所以四边形 ABCE 为正方形,所以 BE ⊥ AC , 即在题图 2 中, BE ⊥ OA 1 , BE ⊥ OC ,且 A 1 O ∩ OC = O , 从而 BE ⊥ 平面 A 1 OC ,又 CD ∥ BE , 所以 CD ⊥ 平面 A 1 OC . (2) 若平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE ,求平面 A 1 BC 与平面 A 1 CD 夹角的余弦值 . 解答 由已知,平面 A 1 BE ⊥ 平面 BCDE , 又由 (1) 知, BE ⊥ OA 1 , BE ⊥ OC , 所以 ∠ A 1 OC 为二面角 A 1 -BE - C 的平面角, 如图,以 O 为原点,以 OB , OC , OA 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 , 因为 A 1 B = A 1 E = BC = ED = 1 , BC ∥ ED , 设平面 A 1 BC 的法向量 n 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,平面 A 1 CD 的法向量 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,平面 A 1 BC 与平面 A 1 CD 夹角为 θ , 平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 . 一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化 . 思维 升华 跟踪训练 3   ( 2017· 深圳 月考 ) 如图 (1) ,四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥ 平面 ABCD , AB = 1 , BC = PC = 2 ,作如图 (2) 折叠,折痕 EF ∥ DC . 其中点 E , F 分别在线段 PD , PC 上,沿 EF 折叠后,点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ⊥ CF . (1) 证明: CF ⊥ 平面 MDF ; 证明 几何画板展示 因为 PD ⊥ 平面 ABCD , AD ⊂ 平面 ABCD , 所以 PD ⊥ AD . 又因为 ABCD 是矩形, CD ⊥ AD , PD 与 CD 交于点 D , 所以 AD ⊥ 平面 PCD . 又 CF ⊂ 平面 PCD , 所以 AD ⊥ CF ,即 MD ⊥ CF . 又 MF ⊥ CF , MD ∩ MF = M ,所以 CF ⊥ 平面 MDF . 解答 (2) 求三棱锥 M - CDE 的体积 . 因为 PD ⊥ DC , PC = 2 , CD = 1 , ∠ PCD = 60° , 如图,过点 F 作 FG ⊥ CD 交 CD 于点 G , 题型四 立体几何中的存在性问题 例 4   (2016· 邯郸第一中学研究性考试 ) 在直棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, AA 1 = AB = AC = 1 , E , F 分别是 CC 1 , BC 的中点, AE ⊥ A 1 B 1 , D 为棱 A 1 B 1 上的点 . (1) 证明: DF ⊥ AE . 证明 ∵ AE ⊥ A 1 B 1 , A 1 B 1 ∥ AB , ∴ AE ⊥ AB . 又 ∵ AA 1 ⊥ AB , AA 1 ∩ AE = A , ∴ AB ⊥ 平面 A 1 ACC 1 . 又 ∵ AC ⊂ 平面 A 1 ACC 1 , ∴ AB ⊥ AC . 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz , 即 ( x , y , z - 1) = λ (1,0,0) ,则 D ( λ , 0,1) , (2) 是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 为 ? 若 存在,说明点 D 的位置;若不存在,说明理由 . 解答 结论:存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 为 . 理由如下: 由题意知平面 ABC 的法向量为 m = (0,0,1). 设平面 DEF 的法向量为 n = ( x , y , z ) , 令 z = 2(1 - λ ) ,则 n = (3,1 + 2 λ , 2(1 - λ )). ∴ 存在满足条件的点 D ,此时 D 为 A 1 B 1 的中点 . (1) 对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后 在 该 假设 条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设 . (2) 对于探索性问题用向量法比较容易入手 . 一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在 . 思维 升华 跟踪训练 4   如图,四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,侧棱 A 1 A ⊥ 底面 ABCD , AB ∥ DC , AB ⊥ AD , AD = CD = 1 , AA 1 = AB = 2 , E 为棱 AA 1 的中点 . (1) 证明: B 1 C 1 ⊥ CE ; 证明 如图,以点 A 为原点,分别以 AD , AA 1 , AB 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,依题意得 A (0,0,0) , B (0,0,2) , C (1,0,1) , B 1 (0,2,2) , C 1 (1,2,1) , E (0,1,0). 解答 (2) 求二面角 B 1 - CE - C 1 的正弦值; 消去 x ,得 y + 2 z = 0 ,不妨令 z = 1 ,可得一个法向量为 m = ( - 3 ,- 2,1). 由 (1) 知, B 1 C 1 ⊥ CE ,又 CC 1 ⊥ B 1 C 1 , CC 1 ∩ CE = C ,可得 B 1 C 1 ⊥ 平面 CEC 1 , 设平面 B 1 CE 的法向量 m = ( x , y , z ) , (3) 设点 M 在线段 C 1 E 上,且直线 AM 与平面 ADD 1 A 1 所成角的正弦值 为 , 求线段 AM 的长 . 解答 设 θ 为直线 AM 与平面 ADD 1 A 1 所成的角,则 课时作业 1.(2016· 北京顺义区一模 ) 如图所示,已知平面 α ∩ 平面 β = l , α ⊥ β . A , B 是直线 l 上的两点, C , D 是平面 β 内的两点,且 AD ⊥ l , CB ⊥ l , DA = 4 , AB = 6 , CB = 8. P 是平面 α 上的一动点,且有 ∠ APD = ∠ BPC ,则四棱锥 P - ABCD 体积的最大值 是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由题意知, △ PAD , △ PBC 是直角三角形, 又 ∠ APD = ∠ BPC ,所以 △ PAD ∽△ PBC . 因为 DA = 4 , CB = 8 ,所以 PB = 2 PA . 作 PM ⊥ AB 于点 M ,由题意知, PM ⊥ β . 令 AM = t (0< t <6) ,则 PA 2 - t 2 = 4 PA 2 - (6 - t ) 2 , 所以 PA 2 = 12 - 4 t . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(2016· 江西赣中南五校第一次联考 ) 已知 m , n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,则下列命题中正确 的是 A. 若 α ⊥ γ , α ⊥ β ,则 γ ∥ β B . 若 m ∥ n , m ⊂ α , n ⊂ β ,则 α ∥ β C. 若 m ∥ n , m ⊥ α , n ⊥ β ,则 α ∥ β D . 若 m ∥ n , m ∥ α ,则 n ∥ α 答案 解析 √ 对于 A ,若 α ⊥ γ , α ⊥ β ,则 γ ∥ β 或相交 ; 对于 B ,若 m ∥ n , m ⊂ α , n ⊂ β ,则 α ∥ β 或相交 ; 对于 D ,若 m ∥ n , m ∥ α ,则 n ∥ α 或 n ⊂ α . 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.(2016· 华中师大附中质检 ) 已知三棱锥 D - ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB = AC = , BC = 2 ,则二面角 D - BC - A 的大小为 ________. 答案 解析 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图,取 BC 的中点 E ,连接 AE , DE , ∵ AB = AC , ∴ AE ⊥ BC . 又三棱锥 D - ABC 的三个侧面与底面全等, ∴ BD = CD , ∴ DE ⊥ BC , 则 ∠ AED 是二面角 D - BC - A 的平面角 . 由 AE 2 + DE 2 = AD 2 ,知 ∠ AED = 90°. 故二面角 D - BC - A 的大小为 90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ∠ ABC = 90° , AD ∶ BC ∶ AB = 2 ∶ 3 ∶ 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折,给出四个结论: ① DF ⊥ BC ; ② BD ⊥ FC ; ③ 平面 DBF ⊥ 平面 BFC ; ④ 平面 DCF ⊥ 平面 BFC . 在翻折过程中,可能成立的结论是 ______.( 填写结论序号 ) ②③ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为 BC ∥ AD , AD 与 DF 相交不垂直,所以 BC 与 DF 不垂直,则 ① 错误;设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P ,当 BP ⊥ CF 时就有 BD ⊥ FC ,而 AD ∶ BC ∶ AB = 2 ∶ 3 ∶ 4 ,可使条件满足,所以 ② 正确 ; 当 点 P 落在 BF 上时, DP ⊂ 平面 BDF ,从而平面 BDF ⊥ 平 面 BCF ,所以 ③ 正确 ; 因为 点 D 的投影不可能在 FC 上,所以平面 DCF ⊥ 平面 BFC 不成立,即 ④ 错误 . 故答案为 ②③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图,在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点, 当 = ______ 时, D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F . 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图,连接 A 1 B ,则 A 1 B 是 D 1 E 在平面 ABB 1 A 1 内的射影 . ∵ AB 1 ⊥ A 1 B , ∴ D 1 E ⊥ AB 1 , 又 ∵ D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F ⇒ D 1 E ⊥ AF . 连接 DE ,则 DE 是 D 1 E 在底面 ABCD 内的射影, ∴ D 1 E ⊥ AF ⇒ DE ⊥ AF . ∵ ABCD 是正方形, E 是 BC 的中点, ∴ 当且仅当 F 是 CD 的中点时, DE ⊥ AF , 即当点 F 是 CD 的中点时, D 1 E ⊥ 平面 AB 1 F , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图,在三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, ∠ BAC = 90° , AB = AC = 2 , A 1 A = 4 , A 1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 是 B 1 C 1 的中点 . (1) 证明: A 1 D ⊥ 平面 A 1 BC ; 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 E 为 BC 的中点, 由题意得 A 1 E ⊥ 平面 ABC , 因为 AE ⊂ 平面 ABC ,所以 A 1 E ⊥ AE . 因为 AB = AC ,所以 AE ⊥ BC . 又 A 1 E ∩ BC = E ,故 AE ⊥ 平面 A 1 BC . 由 D , E 分别为 B 1 C 1 , BC 的中点,得 DE ∥ B 1 B 且 DE = B 1 B ,从而 DE ∥ A 1 A 且 DE = A 1 A , 所以四边形 A 1 AED 为平行四边形 . 故 A 1 D ∥ AE . 又因为 AE ⊥ 平面 A 1 BC ,所以 A 1 D ⊥ 平面 A 1 BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 (2) 求二面角 A 1 - BD-B 1 的平面角的余弦值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法一  如图所示,作 A 1 F ⊥ BD 且 A 1 F ∩ BD = F ,连接 B 1 F . 由 AE = EB = , ∠ A 1 EA = ∠ A 1 EB = 90° ,得 A 1 B = A 1 A = 4. 由 A 1 D = B 1 D , A 1 B = B 1 B ,得 △ A 1 DB 与 △ B 1 DB 全等 . 由 A 1 F ⊥ BD ,得 B 1 F ⊥ BD , 因此 ∠ A 1 FB 1 为二面角 A 1 -BD-B 1 的平面角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二  以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA , EB 为 x , y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 Exyz ,如图所示 . 由题意知各点坐标如下: 设平面 A 1 BD 的法向量为 m = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 平面 B 1 BD 的法向量为 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.(2016· 山东牟平一中期末 ) 如图,在四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, AC ⊥ B 1 D , BB 1 ⊥ 底面 ABCD , E , F , H 分别为 AD , CD , DD 1 的中点, EF 与 BD 交于点 G . (1) 证明:平面 ACD 1 ⊥ 平面 BB 1 D ; ∵ BB 1 ⊥ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD , ∴ AC ⊥ BB 1 . 又 AC ⊥ B 1 D , BB 1 ∩ B 1 D = B 1 , ∴ AC ⊥ 平面 BB 1 D . ∵ AC ⊂ 平面 ACD 1 , ∴ 平面 ACD 1 ⊥ 平面 BB 1 D . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 证明: GH ∥ 平面 ACD 1 . 证明 设 AC ∩ BD = O ,连接 OD 1 . ∵ E , F 分别为 AD , CD 的中点, EF ∩ OD = G , ∴ G 为 OD 的中点 . ∵ H 为 DD 1 的中点, ∴ HG ∥ OD 1 . ∵ GH ⊄ 平面 ACD 1 , OD 1 ⊂ 平面 ACD 1 , ∴ GH ∥ 平面 ACD 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(2016· 四川广安第二次诊断 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥ 底面直角梯形 ABCD , ∠ DAB 为直角, AD = CD = 2 , AB = 1 , E , F 分别为 PC , CD 的中点 . (1) 求证: CD ⊥ 平面 BEF ; 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图,以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则 A (0,0,0) , B (1,0,0) , C (2,2,0) , D (0,2,0) , F (1,2,0) , 设 PA = b ,则 P (0,0 , b ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又 BE ∩ BF = B ,由此得 CD ⊥ 平面 BEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设 PA = k ,且二面角 E - BD - C 的平面角大于 30° ,求 k 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 E 在 xOy 平面上的射影为 G ,过点 G 作 GH ⊥ BD ,垂足为点 H ,连接 EH , 又 EH ⊂ 平面 EGH , ∴ EH ⊥ BD , 从而 ∠ EHG 即为二面角 E - BD - C 的平面角 . 由 PA = k ,得 P (0,0 , k ) , E (1,1 , ) , G (1,1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即 x - 2 y =- 1 . ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由 k >0 知 ∠ EHG 是锐角,由 ∠ EHG >30° , 得 tan ∠ EHG >tan 30° , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.( 2017· 铁 岭 调研 ) 如图所示,平面 ABDE ⊥ 平面 ABC , △ ABC 是等腰直角三角形, AC = BC = 4 ,四边形 ABDE 是直角梯形, BD ∥ AE , BD ⊥ BA , BD = AE = 2 , O , M 分别为 CE , AB 的中点 . (1) 求证: OD ∥ 平面 ABC ; 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如图,取 AC 中点 F ,连接 OF , FB . ∵ F 是 AC 中点, O 为 CE 中点, ∴ OF ∥ DB 且 OF = DB , ∴ 四边形 BDOF 是平行四边形, ∴ OD ∥ FB . 又 ∵ FB ⊂ 平面 ABC , OD ⊄ 平面 ABC , ∴ OD ∥ 平面 ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 (2) 求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∵ 平面 ABDE ⊥ 平面 ABC ,平面 ABDE ∩ 平面 ABC = AB , DB ⊂ 平面 ABDE ,且 BD ⊥ BA , ∴ DB ⊥ 平面 ABC . ∵ BD ∥ AE , ∴ EA ⊥ 平面 ABC . 又 △ ABC 是等腰直角三角形,且 AC = BC , ∴∠ ACB = 90° , ∴ 以 C 为原点,分别以 CA , CB 所在直线为 x , y 轴,以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示 . ∵ AC = BC = 4 , ∴ C (0,0,0) , A (4 , 0,0) , B (0,4,0) , D (0,4,2) , E (4,0,4) , O (2,0,2) , M (2,2,0) , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设平面 ODM 的法向量为 n = ( x , y , z ) , 令 x = 2 ,得 y = 1 , z = 1 , ∴ n = (2,1,1). 设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 θ , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3) 能否在 EM 上找一点 N ,使得 ON ⊥ 平面 ABDE ?若能,请指出点 N 的位置,并加以证明;若不能,请说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当 N 是 EM 中点时, ON ⊥ 平面 ABDE . 由 (2) 设 N ( a , b , c ) , 即 ( a - 2 , b - 2 , c ) = λ (4 - a ,- b, 4 - c ) , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ 当 N 是 EM 的中点时, ON ⊥ 平面 ABDE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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