2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第4讲　随机事件与古典概型

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第4讲　随机事件与古典概型

‎ [基础题组练]‎ ‎1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)‎ A．0.3 B．0.4‎ C．0.6 D．0.7‎ 解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4，故选B.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　)‎ A．0.5 B．0.6‎ C．0.7 D．0.8‎ 解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：‎ 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.‎ ‎3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3AAA＝36种取法，所以P＝＝.故选C.‎ ‎4．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S5＝5a1＋m＝80，即a1＋2m＝16，且a1，m均为正整数，若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，若a1＝10，m＝3，此时a5＝22，若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，所以“公”恰好分得30个橘子的概率为.故选B.‎ ‎5．(2020·陕西榆林模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有CA＋CA＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为＝，故选C.‎ ‎6．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．‎ 解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.‎ 答案：0.98‎ ‎7．(2020·四川绵阳诊断改编)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则P1＝________，P2＝________．‎ 解析：三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321，共6种．‎ 方案一坐3号车可能为：132，213，231，共3种，所以P1＝＝；方案二坐3号车可能为：312，321，共2种．所以P2＝＝.‎ 答案：　 ‎8．已知|p|≤3，|q|≤3，当p，q∈Z，则方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．‎ 解析：由方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)>0，即p2＋q2>1.‎ 当p，q∈Z时，设点M(p，q)，如图，直线p＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p，q)落在圆p2＋q2＝1外时，方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个相异实数根的概率P＝＝.‎ 答案： ‎9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎10．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．‎ 解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.‎ ‎(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.‎ ‎(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，‎ 现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，‎ 基本事件总数n＝A＝6，‎ 恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝CCC＝3，‎ 所以恰有一人取到自己身份证的概率为p＝＝＝.故选A.‎ ‎2．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空隙中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.‎ ‎3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．‎ 解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m＝A＋C＋1＝10.‎ 故幸运数字为3的概率为P＝＝.‎ 答案： ‎4．如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1，2，3；j＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．‎ 解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.‎ 答案： ‎5．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 ‎ ‎000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：‎ 电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：‎ 购物金 额分组 ‎[0.3，0.5)‎ ‎[0.5，0.6)‎ ‎[0.6，0.8)‎ ‎[0.8，0.9]‎ 发放金额 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；‎ ‎(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．‎ 解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：‎ x ‎0.3≤x<0.5‎ ‎0.5≤x<0.6‎ ‎0.6≤x<0.8‎ ‎0.8≤x≤0.9‎ y ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ 频率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.28‎ ‎0.02‎ 这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为 (50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.‎ ‎(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，‎ P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，‎ P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，‎ 从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.‎ ‎6．(2020·延安一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元．‎ 该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；‎ ‎(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？‎ 解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：‎ 情况 第一个包裹 第二个包裹 礼物 质量(kg)‎ 快递费(元)‎ 礼物 质量(kg)‎ 快递费(元)‎ 甲支付的总快递费 ‎1‎ A ‎0.3‎ ‎10‎ B，C ‎3.3‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎2‎ B ‎1.8‎ ‎15‎ A，C ‎1.8‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎3‎ C ‎1.5‎ ‎15‎ A，B ‎2.1‎ ‎20‎ ‎35‎ 所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为.‎ ‎(2)由题目中的天数得出频率，如下：‎ 包裹件数范围 ‎0～100‎ ‎101～200‎ ‎201～300‎ ‎301～400‎ ‎401～500‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 ‎50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260‎ 故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数(近似处理)‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 ‎50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.2＋300×0.1＝235‎ 故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元)．‎ 综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．‎