2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第6讲　离散型随机变量及其分布列

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章　第6讲　离散型随机变量及其分布列

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·河北保定模拟)若离散型随机变量X的分布列如下表，则常数c的值为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c2－c ‎3－8c A.或　　　　　　 B． C. D．1‎ 解析：选C.由随机变量的分布列的性质知，0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，9c2－c＋3－8c＝1，解得c＝.故选C.‎ ‎2．(2020·陕西咸阳模拟)设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，那么a的值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.因为随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝a，其中k＝0，1，2，所以P(ξ＝0)＝a＝a，P(ξ＝1)＝a＝，P(ξ＝2)＝a＝，所以a＋＋＝1，解得a＝.故选D.‎ ‎3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)‎ A．P(X＝2) B．P(X≤2)‎ C．P(X＝4) D．P(X≤4)‎ 解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C.‎ ‎4．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)‎ A.‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P B.‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P C.‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P D.‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 解析：选C.随机变量ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C.‎ ‎5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)‎ A．10% B．20%‎ C．30% D．40%‎ 解析：选B.设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.‎ ‎6．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________．‎ 解析：由题意知，X服从超几何分布，‎ 其中N＝10，M＝3，n＝4，‎ 故P(X＝2)＝＝.‎ 答案： ‎7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．‎ 解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，‎ 则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.‎ 答案： ‎8．随机变量X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．‎ 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.‎ 又a＋b＋c＝1，所以b＝，‎ 所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.‎ 又a＝－d，c＝＋d，‎ 根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，‎ 所以－≤d≤.‎ 答案：　[－，]‎ ‎9．(2020·宿州模拟)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2020年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动．为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用．方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体．经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.‎ ‎(1)求P(ξ＝3)．‎ ‎(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖．记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖．求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望．‎ 解：(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，‎ 所以P(ξ＝3)＝＝＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，‎ P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，‎ P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，‎ P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，‎ P(η＝0)＝1－－－＝.‎ 所以η的分布列如下：‎ η ‎50‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎0‎ P 所以Eη＝50×＋30×＋10×＋0×＝.‎ ‎10．(2020·三明模拟)为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，某地要求这种产品在进入市场前必须进行两轮苛刻的核辐射检测，只有两轮检测都合格才能上市销售，否则不能销售．已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测结果只有“合格”、“不合格”两种，且两轮检测是否合格相互之间没有影响．‎ ‎(1)求该产品不能上市销售的概率；‎ ‎(2)如果这种产品可以上市销售，则每件产品可获利50元；如果这种产品不能上市销售，则每件产品亏损80元(即获利为－80元)．现有这种产品4件，记这4件产品获利的金额为X元，求X的分布列．‎ 解：(1)记“该产品不能上市销售”为事件A，‎ 则P(A)＝1－＝，‎ 所以该产品不能上市销售的概率为.‎ ‎(2)由已知可知X的取值为－320，－190，－60，70，200.‎ P(X＝－320)＝C＝，‎ P(X＝－190)＝C＝，‎ P(X＝－60)＝C＝＝，‎ P(X＝70)＝C＝，‎ P(X＝200)＝C＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎－320‎ ‎－190‎ ‎－60‎ ‎70‎ ‎200‎ P ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·唐山模拟)我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：‎ 空气污染指数 ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～250‎ ‎251～300‎ ‎>300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重污染 我们把空气污染指数在0～100内的称为A类天，在101～200内的称为B类天，大于200的称为C类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：‎ ‎(1)从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；‎ ‎(2)从这18天中任取3天，记X是达到A类天或B类天的天数，求X的分布列．‎ 解：(1)从这18天中任取3天，取法种数为C＝816，3天中至少有2个A类天的取法种数为CC＋C＝46，所以这3天至少有2个A类天的概率为.‎ ‎(2)X的所有可能取值是3，2，1，0.‎ 当X＝3时，P(X＝3)＝＝，‎ 当X＝2时，P(X＝2)＝＝，‎ 当X＝1时，P(X＝1)＝＝＝，‎ 当X＝0时，P(X＝0)＝＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎2.(2020·湖南邵阳联考)为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：‎ 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 ‎20人 ‎30人 ‎50人 ‎(1)如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；‎ ‎(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)用分层抽样的方法，抽样比是＝，‎ 所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2(人)，‎ 参与整理、打包衣物的志愿者有30×＝3(人)，‎ 故所求概率P＝1－＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0，1，2，‎ 则P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎3．(2020·安徽宿州三调)为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．‎ 某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，‎ 列表如下：‎ 用户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年用电量/度 ‎1 000‎ ‎1 260‎ ‎1 400‎ ‎1 824‎ ‎2 180‎ ‎2 423‎ ‎2 815‎ ‎3 325‎ ‎4 411‎ ‎4 600‎ ‎(1)计算表中编号10的用户该年应交的电费；‎ ‎(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列与数学期望．‎ 解：(1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，‎ 第三档电价比第一档电价每度多0.3元，‎ 编号为10的用户一年的用电量是4 600度，‎ 所以该户该年应交电费 ‎4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．‎ ‎(2)设取到第二阶梯的户数为X，‎ 易知第二阶梯的有4户，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ 故X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎