2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第5讲　第2课时　直线与椭圆的位置关系

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第5讲　第2课时　直线与椭圆的位置关系

‎[基础题组练]‎ ‎1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)‎ A．至多为1　　　　　　 B．2‎ C．1 D．0‎ 解析：选B.由题意知，>2，即<2，‎ 所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.‎ ‎2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A.设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.‎ ‎3．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是(　　)‎ A. B． C. D．2‎ 解析：选B.由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，，所以|AB|＝.‎ ‎4．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又＝2，‎ 所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝，故选B.‎ ‎5．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选D.因为(＋)·＝(＋)· ‎＝·＝0，‎ 所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.‎ 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，‎ 则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，‎ 所以S△F1PF2＝mn＝1.‎ ‎6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．‎ 解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．‎ 由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得 x1＋x2＝，x1x2＝0.‎ 则|AB|＝ ‎＝ ‎＝ ＝.‎ 答案： ‎7．直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．‎ 解析：由点差法可求出k1＝－·，‎ 所以k1·＝－，即k1k2＝－.‎ 答案：－ ‎ 8.从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．‎ 解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，‎ kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，‎ 所以－＝－，y0＝，‎ 把P代入椭圆方程得＋＝1，‎ 所以＝，所以e＝＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋2＝0的距离是3.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．‎ 解：(1)由题意得b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝3，所以c＝.所以a＝＝，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，所以xA＝0，xB＝，‎ 所以|AB|＝，|AB|2＝.‎ 令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4×，所以当＝，即k2＝1，得k＝±1时，|AB|2取得最大值为，即|AB|的最大值为，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.‎ 因为2<，所以当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.‎ ‎10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，‎ 点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．‎ 解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.‎ 在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，‎ 解得a＝2，因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)联立方程，得，消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)＞0，①‎ 设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，‎ 因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM 的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②‎ 把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(一题多解)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得＝－·.因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以＝，e＝＝＝，故选C.‎ 法二：将直线方程x－y＋5＝0代入＋＝1(a>b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以＝8，解得a＝2b，又c＝＝b，所以e＝＝.故选C.‎ ‎2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为(　　)‎ A．2－ B．－1‎ C.＋1 D．2＋ 解析：选D.法一：可设|PF1|＝t，则|QF1|＝2|PF1|＝2t，‎ 由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－t，|QF2|＝2a－2t，‎ ‎|PQ|＝4a－3t，‎ 则|PQ|2＋|PF1|2＝|QF1|2，即(4a－3t)2＋t2＝4t2，‎ 即有4a－3t＝t，解得t＝a，‎ 则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为 ＝＝＝2＋.故选D.‎ 法二：同法一得出t＝a，‎ 则＝＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝＝2＋.‎ 故选D.‎ ‎3．(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左，右焦点，点A的坐标为，则∠F1AF2的平分线所在直线的斜率为________．‎ 解析：法一：因为F1，F2是椭圆＋＝1的左，右焦点，‎ 所以F1(－1，0)，F2(1，0)，又A，‎ 所以AF1⊥x轴，‎ 所以|AF1|＝，则|AF2|＝，所以点F2(1，0)关于l(∠F1AF2的平分线所在直线)对称的点F′2在线段AF1的延长线上，‎ 又|AF′2|＝|AF2|＝，所以|F′2F1|＝1，‎ 所以F′2(－1，－1)，线段F′2F2的中点坐标为，‎ 所以所求直线的斜率为＝－2.‎ 法二：如图．‎ 设∠F1AF2的平分线交x轴于点N，‎ ‎∠F1AN＝β，∠ANF2＝α.‎ 因为tan 2β＝＝＝＝，‎ 所以tan β＝或－2(舍)．‎ 在Rt△AF1N中，tan β＝，即＝，‎ 所以|F1N|＝，‎ 所以kl＝tan α＝tan(π－∠ANF1)＝－tan∠ANF1＝－＝－＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．‎ 解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20即e2＋e－1>0，e>或e<，又0b>0)的离心率e＝，原点到过点A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．‎ 解：(1)直线AB的方程为＋＝1，‎ 即bx－ay－ab＝0.‎ 原点到直线AB的距离为＝，‎ 即3a2＋3b2＝4a2b2，①‎ 由e＝＝，得c2＝a2，②‎ 又a2＝b2＋c2，③‎ 所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2.‎ 故椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)得F1(－，0)，F2(，0)，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，‎ 联立直线与椭圆的方程得 (k2＋3)y2＋2ky－1＝0.‎ 故④‎ 而S△PQF1＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|‎ ‎＝ ，⑤‎ 将④代入⑤，得S△PQF1＝＝.‎ 又S△PQF1＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2r，　‎ 所以＝2r，‎ 故r＝＝≤，‎ 当且仅当＝，即k＝±1时取等号．‎ 故△PQF1内切圆半径r的最大值为.‎