2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·江西上饶一模)直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)‎ A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不能确定 解析：选B.将圆的方程化为标准方程得＋＝，所以圆心坐标为，半径r＝.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，所以直线与圆相切．故选B.‎ ‎2．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．‎ ‎3．(2020·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　)‎ A.或－ B．或－ C. D． 解析：选B.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±，故选B.‎ ‎4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝6‎ B．(x－2)2＋(y－1)2＝22‎ C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22‎ D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝32‎ 解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)．因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝，由d2＋22＝6，得＝2，所以r2－14＝±8，r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.‎ ‎5．(2020·广东湛江一模)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　)‎ A．2或10 B．4或8‎ C．4或6 D．2或4‎ 解析：选B.圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72的圆心C的坐标为(3，3)，半径r＝6，‎ 因为直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 则有d＝＝，‎ 解得m＝4或8，故选B.‎ ‎6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________．‎ 解析：在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________．‎ 解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB|＝可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.‎ 答案：± ‎8．(2020·广东天河一模)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝________．‎ 解析：由x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆的半径r＝1，圆心C(1，0)，‎ 直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，‎ 当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，‎ 此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝，‎ 则有＝，解得k＝1或7.‎ 答案：1或7‎ ‎9．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．‎ ‎(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；‎ ‎(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．‎ 解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.‎ 设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.‎ 又|O1O2|＝＝2，‎ 所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.‎ ‎(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，‎ 又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，‎ 相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.‎ 设线段AB的中点为H，‎ 因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.‎ 又|O1H|＝＝，‎ 所以＝，解得r＝4或r＝20.‎ 所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.‎ ‎10．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．‎ 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.‎ 由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.‎ 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．‎ ‎(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.‎ 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径 r＝.‎ 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，‎ 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，‎ 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.‎ 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.‎ 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.‎ 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两点A，B满足：∠AOB＝60°，则实数a的最大值是(　　)‎ A．5 B．3‎ C. D．2 解析：选C.根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线x＝a上，‎ 分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，‎ 如图：当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，‎ 此时∠AOC＝30°，‎ 有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)2＋(a－0)2＝16，‎ 解得a＝，故实数a的最大值是，故选C.‎ ‎2．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为(　　)‎ A. B． C．2 D．4 解析：选D.如图，‎ 因为圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，‎ 所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为＝，‎ 所以圆心坐标为(，2)，设过原点与圆相切的直线方程为y＝k1x，‎ 由圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k1＝0(舍去)或k1＝－4.‎ 所以若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为4.‎ 故选D.‎ ‎3．(2020·安徽皖南八校联考)圆C与直线2x＋y－11＝0相切，且圆心C的坐标为(2，2)，设点P的坐标为(－1，y0)．若在圆C上存在一点Q，使得∠CPQ＝30°，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B．[－1，5]‎ C．[2－，2＋] D．[2－2，2＋2]‎ 解析：选C.由点C(2，2)到直线2x＋y－11＝0的距离为＝，可得圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝＝≥sin 30°，即CP≤2，则≤2，解得2－≤y0≤2＋.故选C.‎ ‎4．(2020·河南洛阳二模)已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝________．‎ 解析：如图，过O作OE⊥AB于点E，连接OA，则|OE|＝＝，‎ 易知|AE|＝|EB|，‎ 不妨令|AD|＝5m(m>0)，由3＝5可得|BD|＝3m，|AB|＝8m，‎ 则|DE|＝4m－3m＝m，‎ 在Rt△ODE中，有＝()2＋m2，①‎ 在Rt△OAE中，有r2＝()2＋(4m)2，②‎ 联立①②，解得r＝.‎ 答案： ‎5．已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.‎ ‎(1)求⊙H的方程；‎ ‎(2)若存在过点P(a，0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，‎ 因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2，1)，所以m＝2，n＝1.‎ 又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.‎ 所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.‎ 因为M，N两点均在⊙H上，所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①‎ ＋＝2，‎ 即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②‎ 设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，‎ 由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，从而2－≤|HI|≤2＋，‎ 即≤≤3，‎ 整理可得2≤a2－4a＋5≤18，‎ 解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，‎ 所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3，2＋]．‎ ‎6.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．‎ 解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，‎ 则圆C的半径为m，‎ 又|MN|＝3，‎ 所以m2＝4＋＝，解得m＝，‎ 所以圆C的方程为＋(y－2)2＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，‎ 即kAN＋kBN＝0.‎ 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以，则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.‎ 综上可知，kAN＋kBN为定值．‎