2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　1 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　1 第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·丽水模拟)倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A.x－y＋1＝0　　　　　 B.x－y－＝0‎ C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0‎ 解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.‎ ‎2．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)‎ A．y＝x＋2 B．y＝x－2‎ C．y＝x＋ D．y＝－x＋2‎ 解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为，‎ 所以直线l在y轴上的截距为2，‎ 所以直线l的方程为y＝x＋2.‎ ‎3．直线xsin 2－ycos 2＝0的倾斜角的大小是(　　)‎ A．－ B．－2‎ C. D．2‎ 解析：选D.因为直线xsin 2－ycos 2＝0的斜率k＝＝tan 2，所以直线的倾斜角为2.‎ ‎4．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直线是(　　)‎ 解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.‎ 则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，‎ 在y轴上的截距＞1.故选C.‎ ‎5．(2020·温州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)‎ A. B．－ C．－ D. 解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ ‎6．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)‎ A．2x＋y－12＝0‎ B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0‎ C．x－2y－1＝0‎ D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0‎ 解析：选B.当直线过原点时，由直线过点(5，2)，可得直线的斜率为，故直线的方程为y＝x，即2x－5y＝0.当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k(k≠0)，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为＋＝1，把点(5，2)代入可得＋＝1，解得k＝6.故直线的方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0.‎ ‎7．过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．‎ 解析：设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－×3＝－.‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，‎ 即3x＋4y＋15＝0.‎ 答案：3x＋4y＋15＝0‎ ‎8．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．‎ 解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.‎ 由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，‎ 如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．‎ 所以b的取值范围是[－2，2]．‎ 答案：[－2，2]‎ ‎10．一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．‎ 解析：设所求直线的方程为＋＝1，‎ 因为A(－2，2)在直线上，所以－＋＝1.①‎ 又因为直线与坐标轴围成的三角形面积为1，‎ 所以|a|·|b|＝1.②‎ 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程组(2)无解．‎ 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，‎ 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．‎ 答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0‎ ‎11．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：‎ ‎(1)直线l的斜率为1；‎ ‎(2)直线l在x轴上的截距为－3.‎ 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，‎ 于是直线l的方程可化为y＝－x＋.‎ 由题意得－＝1，解得m＝－1.‎ ‎(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.‎ 由题意得2m－6＝－3，解得m＝.‎ 法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.‎ ‎12．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ 解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.‎ 因为S＝·|OA|·|OB|‎ ‎＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝ ‎≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，‎ 即k＝，所以Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知点A(2，－3)、B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D.≤k≤4‎ 解析：选A.如图所示，由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA，即k≥或k≤－4，故选A.‎ ‎2．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C．1 D．9‎ 解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.‎ ‎3．(2020·金丽衢十二校高考模拟)直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P(1，1)到该直线的距离的最大值为________．‎ 解析：直线l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令，解得x＝－2，y＝3.‎ 所以直线l恒过定点Q(－2，3)，‎ P(1，1)到该直线的距离最大值为|PQ|＝＝.‎ 答案：(－2，3)　 ‎4．直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴上与y轴上的截距之比为________．‎ 解析：设直线l的倾斜角为θ.所以tan 2θ＝－.‎ ＝－，所以tan θ＝2或tan θ＝－，‎ 由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)．‎ 所以tan θ＝2.‎ 又设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.‎ 所以tan θ＝－.即＝－＝－.‎ 答案：－ ‎5.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎6．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？‎ 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20)，‎ 所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．‎ 易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，‎ 在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，‎ PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，‎ 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．‎ 又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m.‎ 所以S＝(100－m) ‎＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．‎ 所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1.‎ 所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．‎