山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

山东省潍坊市诸城市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019—2020学年度上学期诸城期末考试高一数学试题 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.已知，则的解析式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，求得的解析式.‎ ‎【详解】的定义域为，‎ 令，则， ‎ 且，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，属于基础题.‎ ‎3.函数的零点的个数是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性和零点存在性定理，判断出函数零点的个数.‎ ‎【详解】由于函数定义域为，‎ 在定义域上是增函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据零点存在性定理，结合的单调性可知在有唯一零点.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数单调性的判断，属于基础题.‎ ‎4.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.‎ ‎【详解】∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴 ‎∴函数的单调增区间为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次函数的单调区间,掌握一元二次函数的对称轴是解题的关键,属于基础题.‎ ‎5.下列函数中值域为的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数的值域，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，由于，所以，即函数的值域为，不符合题意.‎ 对于B选项，，所以函数的值域为，不符合题意.‎ 对于C选项，函数的值域为，不符合题意.‎ 对于D选项，函数，即函数值域为，符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，属于基础题.‎ ‎6.幂函数在上是增函数，则的值为( )‎ A. 0 B. ‎2 ‎C. -1 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的概念和单调性，求得的值.‎ ‎【详解】由于为幂函数，所以，解得或，‎ 当时，，在上递减，不符合题意.‎ 当时，，在上递增，符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查根据幂函数的定义和单调性求参数，属于基础题.‎ ‎7.以下命题（其中，表示直线，表示平面）中，正确的命题是( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面有关定理对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，直线可能含于平面，所以A选项错误.‎ 对于B选项，可能异面，所以B选项错误.‎ 对于C选项，由于，，所以，所以C选项正确.‎ 对于D选项，可能异面，所以D选项错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎8.三个数，，之间的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“分段法”比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】由于，，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎9.两条直线与互相垂直，则等于( )‎ A. -1 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于两条直线垂直，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查两直线垂直的条件，属于基础题.‎ ‎10.在下面的四个平面图形中，正四面体的展开图可以是( )‎ A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四面体的展开图判断出正确选项.‎ ‎【详解】根据正四面体的展开图可知，正四面体的展开图可以是①②，③④不能构成正四面体.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查正四面体展开图的特征，属于基础题.‎ ‎11.三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理计算出球的半径，进而计算出球的体积.‎ ‎【详解】设底面正三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，‎ 即，‎ 所以求的半径为，‎ 所以球的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.‎ ‎12.如果函数对任意，满足，且，则( )‎ A. 504 B. ‎1009 ‎C. 2018 D. 4036‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及，找到规律，由此求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由于函数对任意，满足，且，‎ 令，则；‎ 令，则，；‎ 以此类推，可知，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查抽象函数有关计算，属于基础题.‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.点到直线的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点到直线的距离公式，求得点到直线的距离.‎ ‎【详解】依题意，点到直线的距离为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查点到直线的距离，属于基础题.‎ ‎14.已知，且，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数和对数运算，化简求得的值.‎ ‎【详解】依题意，且，，‎ 所以，‎ 由于，且，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.‎ ‎15.已知圆锥的底面半径为2，高为6，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出内接圆柱的底面半径，求得内接圆柱的高，由此求得内接圆柱的表面积的表达式，进而求得其表面积的最大值.‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为，高为，‎ 由图可知：，‎ 解得.‎ 所以内接圆柱的表面积为 ‎，‎ 所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆锥的内接圆柱表面积有关计算，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，根据图像与有三个交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】画出的图像如下图所示，‎ 要使方程有三个不同的实数根，‎ 则需图像与有三个交点，‎ 由图可知，的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知集合，，或.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解指数不等式求得集合，进而求得.‎ ‎（2）根据，得到，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 或，‎ ‎∴或，‎ 实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数不等的解法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数，属于基础题.‎ ‎18.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）∵直线的方程为，‎ ‎∴，倾斜角，‎ 由题知所求直线的倾斜角为，即斜率为，‎ ‎∵直线经过点，‎ ‎∴所求直线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）∵直线与平行，‎ 可设直线的方程为 ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴或 ‎∴所求直线的方程为或 ‎【点睛】本小题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线距离公式，属于基础题.‎ ‎19.已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6.‎ ‎（1）求正四棱台的表面积；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得侧面高，由此求得正四棱台的表面积.‎ ‎（2）求得正四棱台的高，由此求得三棱锥的体积.‎ ‎【详解】如图，‎ ‎（1）为正四棱台，，，.‎ 在等腰梯形中，过作，‎ 可得， ‎ 求得，‎ 正四棱台的表面积；‎ ‎（2）连接，，可得，，‎ 过作，根据正四棱台的性质可知平面，平面,,‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正四棱台表面积计算，考查锥体体积计算，属于基础题.‎ ‎20.扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元，根据初步测算，每个销售价格满足函数 ‎，其中x是“扎比瓦卡”的月产量（每月全部售完）.‎ ‎（1）将利润表示为月产量的函数；‎ ‎（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，该厂所获利润最大利润为30000元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合分段函数，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润的解析式.‎ ‎（2）根据二次函数的性质，求得利润的最大值以及此时月产量.‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，‎ ‎.‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）当时，；‎ 根据二次函数的性质可知，当时，‎ 当时，为减函数，，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查分段函数最值的求法，属于中档题.‎ ‎21.如图所示，在正方体中，点为棱的中点，为中点.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将平面延展为平面，通过证明，证得平面.‎ ‎（2）通过证明、，证得平面，由此证得平面平面.‎ ‎【详解】（1）取中点，连接，，，‎ 由正方体中，‎ ‎，‎ 取中点，连接，则，,‎ 四边形为平行四边形，‎ 又且，‎ ‎，‎ 面，面，‎ ‎∴面，‎ ‎（2）在正方形中，‎ 由,‎ 得,‎ 因为,‎ ‎,‎ ‎，‎ 因为面，‎ 且面 ‎，‎ 又因为，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22.函数.‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）若任意，对任意，总有不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用二次函数的性质，求得在区间上的值域；‎ ‎（2）首先求得在区间上的最大值和最小值，由此得到对任意，不等式恒成立，构造函数，结合一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎，‎ 对称轴 ‎，‎ ‎，‎ ‎∴函数在上的值域为. ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴对称轴，‎ ‎∴在区间上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即对任意，不等式恒成立，‎ 设，‎ 由于在区间上恒成立，所以 则，即，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二次函数在闭区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，属于难题.‎