2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识章末整合课件北师大版必修第一册
章末整合
专题一
集合的运算
例
1
已知全集
U=
{
x|x>
0},
集合
A=
{
x|
3
≤
x<
7},
B=
{
x|
2
0)
.
(1)
若
p
是
q
的必要不充分条件
,
求实数
m
的取值范围
;
(2)
若
p
是
q
的充分不必要条件
,
求实数
m
的取值范围
.
分析
设
p
,
q
所对应的集合分别为
A
,
B
,
再由
p
是
q
的必要不充分条件得到集合
B
是集合
A
的真子集
,
由
p
是
q
的充分不必要条件得到集合
A
是集合
B
的真子集
,
数形结合建立不等式
(
组
)
求解
.
解
:
(1)
设条件
p
对应的集合为
A
,
则
A=
{
x|-
2
≤
x
≤
4},
设条件
q
对应的集合为
B
,
则
B=
{
x|
1
-m
0,
所以
B
≠
⌀
.
若
p
是
q
的必要不充分条件
,
则集合
B
是集合
A
的真子集
,
所以
方法技巧
根据充要条件求参数范围的方法
(1)
解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系
,
然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式
(
组
)
求解
;
有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决
.
(2)
在求解参数的取值范围的题目时
,
一定要注意区间端点值的检验
,
在利用集合关系列不等式时
,
不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍
,
在这里容易增解或漏解
.
解
:
由题意得
p
:
-
2
≤
x
≤
10,
设
P=
{
x|-
2
≤
x
≤
10},
Q=
{
x|
1
-m
≤
x
≤
1
+m
}
.
∵
q
是
p
的必要不充分条件
,
∴
P
⫋
Q.
∴
Q
≠
⌀
,
所以实数
m
的取值范围为
{
m|m
≥
9
}
.
专题四
用基本不等式求最值
(1)
若
m=
1,
求当
x>
1
时函数的最小值
;
(2)
当
x<
1
时
,
函数有最大值
-
3,
求实数
m
的值
.
分析
(1)
由函数的形式可以看出
,
求最小值可用基本不等式求解
;(2)
当
x<
1
时
,
x-
1
<
0,
仍可用基本不等式求最值
,
利用等号成立的条件求参数
m
的值
.
方法技巧
应用基本不等式求最值的技巧
应用
基本不等式求最值
,
必须按照
“
一正、二定、三相等
”
的条件进行
,
若具备这些条件
,
可直接运用基本不等式
;
若不具备这些条件
,
则应进行适当的变形
.
答案
:
C
专题五
解含参不等式
例
5
解关于
x
的不等式
ax
2
-
(2
a+
3)
x+
6
>
0(
a
∈
R
)
.
分析
首先讨论不等式的类型
:(1)
当
a=
0
时
,
是一次不等式
;(2)
当
a
≠0
时
,
是一元二次不等式
,
然后讨论
a
的符号
,
最后讨论两
根
与
2
的
大小
关系
.
解
:
当
a=
0
时
,
化为
x<
2;
当
a
≠0
时
,
原不等式可化为
(
ax-
3)(
x-
2)
>
0
.
方法技巧
解含参不等式的一般方法
(1)
二次项系数不含参数时
,
对
Δ
的取值进行讨论
.
若
Δ>
0,
再根据两根大小进行比较
,
分
x
1
x
2
三种情况解答
.
(2)
二次项系数含参数时
,
首先应讨论二次项系数
a
与
0
的关系
,
①
当
a=
0
时
,
不等式不是一元二次不等式
,
可直接解答
;
②
当
a
≠0
时
,
不等式是一元二次不等式
,
可分
a>
0
和
a<
0
两种情况进行解答
.
变式训练
5
已知常数
a
∈
R
,
解关于
x
的不等式
ax
2
-
2
x+a<
0
.
解
:
(1)
若
a=
0,
则原不等式为
-
2
x<
0,
故解集为
{
x|x>
0}
.
(2)
若
a>
0,
Δ=
4
-
4
a
2
.
①
当
Δ>
0,
即
0
1
时
,
原不等式的解集为
⌀
.
(3)
若
a<
0,
Δ=
4
-
4
a
2
.
①
当
Δ>
0,
即
-
1
0,
∴
当
a=-
1
时
,
原不等式的解集为
{
x|x
∈
R
且
x
≠
-
1}
.
③
当
Δ<
0,
即
a<-
1
时
,
原不等式的解集为
R
.
综上所述
,
当
a
≥
1
时
,
原不等式的解集为
⌀
;
当
0
0};
当
-
1
4
x+m-
4
.
(1)
若
x
∈
R
时
,
不等式恒成立
,
求实数
m
的取值范围
;
(2)
若
x>
1
时
,
不等式恒成立
,
求实数
m
的取值范围
.
分析
(1)
不等式为一元二次不等式
,
利用判别式小于
0,
即可求
m
的取值范围
;
(2)
通过
x>
1
时
,
不等式恒成立
,
判断对应二次函数图象对称轴的位置及当
x=
1
时
y
的值
,
即可求
m
的取值范围
.
也可分离参数
m
,
用基本不等式求最值
,
得出
m
的取值范围
.
解
:
(1)
将不等式
x
2
+mx>
4
x+m-
4
整理
,
转化为
x
2
+
(
m-
4)
x-m+
4
>
0
.
由
Δ=
(
m-
4)
2
-
4(4
-m
)
<
0,
解得
0
0
对于满足
1
0
在
(1,4)
上不成立
;
(2)
当
a<
0
时
,
函数
f
(
x
)
=ax
2
-
2
x+
2
的图象开口向下
,
对称轴为直线
